劉超越， 張成

(北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院, 北京 100081)

0 引言

飛行器多階段軌跡規(guī)劃可以實(shí)現(xiàn)飛行器在不同飛行環(huán)境、不同飛行要求下的飛行狀態(tài)切換。在多階段軌跡規(guī)劃方面，航天工程中有許多應(yīng)用研究，如商用飛機(jī)飛行規(guī)劃問題[1-3]、航向輔助軌道轉(zhuǎn)移問題[4]等。然而，多階段軌跡規(guī)劃在導(dǎo)彈彈道優(yōu)化問題中的應(yīng)用數(shù)量有限。文獻(xiàn)[5-6]對(duì)炮射滑翔制導(dǎo)導(dǎo)彈進(jìn)行了多階段軌跡規(guī)劃，將整個(gè)彈道軌跡劃分為4個(gè)相互連接的飛行階段，利用高斯偽譜法(GPM)將軌跡規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題，實(shí)現(xiàn)了相應(yīng)的飛行任務(wù)。

二級(jí)助推戰(zhàn)術(shù)火箭與炮射滑翔制導(dǎo)導(dǎo)彈相比，具有速度快、突襲性好、射程遠(yuǎn)等優(yōu)點(diǎn)。根據(jù)其作戰(zhàn)任務(wù)，發(fā)射前必須確定一些關(guān)鍵變量[7-8]，包括二級(jí)助推發(fā)動(dòng)機(jī)的點(diǎn)火時(shí)間、制導(dǎo)啟動(dòng)時(shí)間、制導(dǎo)階段的控制等。這些變量對(duì)彈道性能有很大影響，如射程、攻擊速度、攻擊角度等。

上述關(guān)鍵變量的確定過程可以看作是一個(gè)終端時(shí)刻自由、終端狀態(tài)固定且?guī)в新窂郊s束的多階段、非線性最優(yōu)控制問題。求解最優(yōu)控制問題的數(shù)值方法很多，一般分為間接法和直接法[9]。間接法將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)換為Hamilton邊值問題，通過數(shù)值方法求解，存在收斂域小、難以估計(jì)共軛變量初值等不足，且二級(jí)助推戰(zhàn)術(shù)火箭軌跡優(yōu)化問題存在多個(gè)路徑約束，使間接法的推導(dǎo)過程十分復(fù)雜。直接法采用參數(shù)化方法，將連續(xù)空間的最優(yōu)控制問題求解轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃(NLP)問題，通過數(shù)值求解NLP問題獲得最優(yōu)解。由于直接法克服了間接法的諸多不足，目前在飛行器軌跡優(yōu)化領(lǐng)域得到了更廣泛應(yīng)用[10]。

本文研究的GPM是直接法的一種，它采用全局插值多項(xiàng)式在一系列勒讓德- 高斯 (LG)點(diǎn)上近似狀態(tài)變量和控制變量。與一般的配點(diǎn)法相比，GPM能夠以較少節(jié)點(diǎn)獲得較高的求解精度，同時(shí)，根據(jù)GPM共軛變量映射定理[11-13]，采用GPM轉(zhuǎn)化得到NLP問題的庫(kù)恩- 塔克條件(KKT)與原最優(yōu)控制問題1階最優(yōu)必要條件的離散形式具有一致性。因此，GPM因其高效、快速收斂和避免顯式數(shù)值積分等優(yōu)點(diǎn)，在求解最優(yōu)控制問題方面得到了廣泛應(yīng)用[14-15]。

文獻(xiàn)[16]研究了GPM在二級(jí)助推導(dǎo)彈多階段軌跡規(guī)劃問題中的應(yīng)用，得到了最大縱向航程和最大橫向航程兩種最優(yōu)軌跡，但二級(jí)助推發(fā)動(dòng)機(jī)的點(diǎn)火時(shí)間、制導(dǎo)啟動(dòng)時(shí)間以及初始彈道傾角并不能根據(jù)飛行任務(wù)而改變，無(wú)法很好地利用二級(jí)助推導(dǎo)彈的優(yōu)勢(shì)，對(duì)不同的飛行任務(wù)適應(yīng)性也相對(duì)較弱。文獻(xiàn)[17]研究了二級(jí)助推導(dǎo)彈的多階段軌跡規(guī)劃問題，并確定了二級(jí)助推發(fā)動(dòng)機(jī)的點(diǎn)火時(shí)間、制導(dǎo)啟動(dòng)時(shí)間等關(guān)鍵變量，但其研究?jī)H在縱向平面內(nèi)進(jìn)行，無(wú)法進(jìn)一步考慮導(dǎo)彈攻擊目標(biāo)過程中對(duì)禁飛區(qū)等戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境約束區(qū)的規(guī)避情況。

為了較好地模擬導(dǎo)彈飛行過程中的真實(shí)飛行環(huán)境，需要考慮飛行過程中的協(xié)同禁飛區(qū)、敵方火力覆蓋區(qū)等戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境約束。然而，使用GPM解決復(fù)雜約束下的多階段軌跡規(guī)劃問題時(shí)，出現(xiàn)以下困難：1)在區(qū)間內(nèi)部，離散節(jié)點(diǎn)的分布相對(duì)較稀疏，使得規(guī)劃軌跡在戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境約束區(qū)附近精度較低，從而降低了高精度軌跡的求解效率；2)不正確的初值猜測(cè)可能導(dǎo)致最優(yōu)解局部收斂甚至發(fā)散。針對(duì)以上兩個(gè)問題，本文提出了基于準(zhǔn)接觸點(diǎn)的制導(dǎo)攻擊段分段策略，以提高規(guī)劃軌跡在戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境約束區(qū)的求解精度和求解效率。同時(shí)，提出了基于初值生成器的迭代策略，以提高最優(yōu)解的收斂速度和可行性。

本文以二級(jí)助推戰(zhàn)術(shù)火箭為研究對(duì)象，建立戰(zhàn)術(shù)火箭對(duì)地攻擊的數(shù)學(xué)模型，將其描述為帶有路徑約束的多階段最優(yōu)控制問題；利用GPM將該最優(yōu)控制問題的變量進(jìn)行離散化；結(jié)合基于準(zhǔn)接觸點(diǎn)的制導(dǎo)攻擊段分段策略對(duì)彈道進(jìn)一步分段；利用基于初值生成器的迭代策略，求解戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境約束等多種約束條件下二級(jí)助推戰(zhàn)術(shù)火箭的多階段軌跡優(yōu)化問題，同時(shí)確定二級(jí)助推發(fā)動(dòng)機(jī)的點(diǎn)火時(shí)間、制導(dǎo)啟動(dòng)時(shí)間、初始彈道傾角、制導(dǎo)階段的控制等關(guān)鍵變量。

1 二級(jí)助推戰(zhàn)術(shù)火箭對(duì)地攻擊數(shù)學(xué)模型

1.1 戰(zhàn)術(shù)火箭3自由度質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

在戰(zhàn)術(shù)火箭對(duì)地攻擊任務(wù)中，戰(zhàn)術(shù)火箭的運(yùn)動(dòng)主要以航跡控制為主，因此采用三維空間的3自由度質(zhì)點(diǎn)模型即可滿足要求。

戰(zhàn)術(shù)火箭在地面坐標(biāo)系下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

式中：(x,y,z)為戰(zhàn)術(shù)火箭在地面坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)；v為戰(zhàn)術(shù)火箭的飛行速度；θ為彈道傾角；ψv為彈道偏角；m為戰(zhàn)術(shù)火箭質(zhì)量；P為發(fā)動(dòng)機(jī)推力；Fx為阻力；Fy為升力；Fz為側(cè)向力；η為燃料的質(zhì)量秒流量；α為攻角；β為側(cè)滑角。定義狀態(tài)向量x=[v,θ,ψv,x,y,z,m]T，控制向量u=[α,β]T。

戰(zhàn)術(shù)火箭在飛行過程中受到的空氣阻力、升力和側(cè)向力的計(jì)算公式為

(2)

式中：0.5ρv2為動(dòng)壓；ρ為大氣密度；S為戰(zhàn)術(shù)火箭參考橫截面積；Cd、Cl和Cc分別為阻力系數(shù)、升力系數(shù)和側(cè)向力系數(shù)，三者均為攻角、側(cè)滑角和馬赫數(shù)的函數(shù)。

氣動(dòng)數(shù)據(jù)的擬合效果會(huì)對(duì)飛行軌跡設(shè)計(jì)產(chǎn)生重要影響。對(duì)于戰(zhàn)術(shù)火箭，阻力系數(shù)可看作是關(guān)于α和β的二次函數(shù)，升力系數(shù)可看作是關(guān)于α的線性函數(shù)，側(cè)向力系數(shù)可看作是關(guān)于β的線性函數(shù)。將本文中戰(zhàn)術(shù)火箭的氣動(dòng)數(shù)據(jù)擬合，得到的擬合結(jié)果為

(3)

式中：Ma為馬赫數(shù)；a1=-0.108 8，a2=10.740 0，a3=0.217 1；b1=-0.985 5，b2=10.040 0；c1=-0.985 5，c2=10.040 0.

戰(zhàn)術(shù)火箭在大氣層內(nèi)飛行，將標(biāo)準(zhǔn)大氣密度ρ、聲速c進(jìn)行精確擬合：

(4)

式中：T為大氣溫度，T=292.6-0.010 39y+4.497×10-7y2-6.639×10-12y3.

1.2 彈道階段的劃分

二級(jí)助推戰(zhàn)術(shù)火箭的飛行過程可以分為4個(gè)階段：發(fā)射段、爬升段、續(xù)航段和制導(dǎo)攻擊段，如圖1所示。在不同的飛行階段，飛行參數(shù)以及運(yùn)動(dòng)學(xué)模型有所不同。每個(gè)階段的具體表述如下：

圖1 彈道分段Fig.1 Division of trajectory

1)發(fā)射段：始于發(fā)射點(diǎn)，結(jié)束于1級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)的關(guān)機(jī)點(diǎn)，為無(wú)控飛行狀態(tài)。1級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)可為戰(zhàn)術(shù)火箭在飛行初期提供較高的飛行速度。發(fā)射段時(shí)長(zhǎng)固定，為1級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)的工作時(shí)間，設(shè)為[t0,t1]。

2)爬升段：始于1級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)的關(guān)機(jī)點(diǎn)，結(jié)束于2級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)的點(diǎn)火點(diǎn)。1級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)工作結(jié)束后，火箭進(jìn)入爬升段，繼續(xù)以無(wú)控飛行狀態(tài)爬升。爬升段連接發(fā)射段與續(xù)航段，目的是將戰(zhàn)術(shù)火箭續(xù)航段的開始時(shí)刻調(diào)整至最佳時(shí)機(jī)。因此，爬升段的工作時(shí)間不固定，設(shè)為[t1,t2]。

3)續(xù)航段：始于2級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)的點(diǎn)火點(diǎn)，結(jié)束于2級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)的關(guān)機(jī)點(diǎn)，為無(wú)控飛行狀態(tài)。在續(xù)航段，2級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)工作將戰(zhàn)術(shù)火箭姿態(tài)和速度調(diào)整至最佳狀態(tài)，為適應(yīng)戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境、攻擊目標(biāo)做好充分準(zhǔn)備。續(xù)航段時(shí)長(zhǎng)固定，為2級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)的工作時(shí)間，設(shè)為[t2,t3]。

4)制導(dǎo)攻擊段：始于2級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)的關(guān)機(jī)點(diǎn)，結(jié)束于目標(biāo)點(diǎn)。在制導(dǎo)攻擊段，戰(zhàn)術(shù)火箭通過舵的控制，不斷修正飛行路徑，在滿足復(fù)雜戰(zhàn)場(chǎng)約束情況下，精確攻擊目標(biāo)。制導(dǎo)攻擊段的工作時(shí)間不固定，設(shè)為[t3,t4]。

1.3 約束條件

戰(zhàn)術(shù)火箭的對(duì)地攻擊軌跡需要滿足下列約束條件：

1.3.1 邊值約束

1.3.1.1 初值約束

(5)

式中：t0為發(fā)射時(shí)刻；(x0,y0,z0)為發(fā)射點(diǎn)坐標(biāo)；θ(t0)為初始彈道傾角，是軌跡優(yōu)化問題中的離散變量，需要根據(jù)不同的任務(wù)確定最優(yōu)值。

1.3.1.2 終端約束

為了保證戰(zhàn)術(shù)火箭的殺傷效能，需要戰(zhàn)術(shù)火箭攻擊目標(biāo)時(shí)具有較高的速度與較大的落角，因此軌跡優(yōu)化問題的終端約束為

(6)

式中：tf為終端時(shí)刻；vfmin和θf(wàn)min分別為終端最小攻擊速度和最小落角；(xt,0,yt)為目標(biāo)坐標(biāo)。

1.3.2 多階段約束

由于在整個(gè)彈道的不同階段，戰(zhàn)術(shù)火箭的工作情況不同，需要施加不同約束。另外，戰(zhàn)術(shù)火箭質(zhì)量隨著1級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)及2級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)的工作發(fā)生變化。

1)發(fā)射段

(7)

2)爬升段

(8)

3)續(xù)航段

(9)

4)制導(dǎo)攻擊段

(10)

式中：P1、η1和P2、η2分別為1級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)和2級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)的推力、質(zhì)量秒流量；αmax和αmin分別為攻角可行域的上限和下限；βmax和βmin分別為側(cè)滑角可行域的上限和下限。

1.3.3 戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境約束

戰(zhàn)術(shù)火箭在攻擊目標(biāo)過程中，需要規(guī)避協(xié)同禁飛區(qū)和敵方火力覆蓋區(qū)等戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境約束區(qū)域[18]，提高戰(zhàn)術(shù)火箭的生存能力和攻擊目標(biāo)的有效性。

對(duì)于協(xié)同禁飛區(qū)，其上方很大高度范圍之內(nèi)戰(zhàn)術(shù)火箭都是無(wú)法穿越的，因此本文采用無(wú)限高的圓柱體模型，所規(guī)劃的軌跡不能與該圓柱相交。約束條件式為

‖(x(t)-xnf,i,z(t)-znf,i)‖2≥rnf,i，
i=1,2,…,Nnf，

(11)

式中：‖·‖2為兩點(diǎn)之間的距離；(xnf,i,0,znf,i)和rnf,i分別為第i個(gè)協(xié)同禁飛區(qū)的中心坐標(biāo)及半徑。

敵方火力覆蓋區(qū)的作用范圍可近似看作半球，因此相應(yīng)的約束條件式為

‖(x(t)-xfc,i,y(t)-yfc,i,z(t)-zfc,i)‖2≥rfc,i，
i=1,2,…,Nfc，

(12)

式中：(xfc,i,yfc,i,zfc,i)和rfc,i分別為第i個(gè)敵方火力覆蓋區(qū)的中心坐標(biāo)及半徑。

1.3.4 過載約束

為了確保戰(zhàn)術(shù)火箭飛行過程中的結(jié)構(gòu)安全，需要考慮過載約束：

(13)

式中：nl為過載；nlmax和nlmin分別為過載約束的上限和下限。

1.3.5 內(nèi)點(diǎn)約束

在多階段的軌跡規(guī)劃問題中，需要確保每一階段和下一階段的時(shí)間、狀態(tài)等是緊密連接的。因此，需要在階段邊界上施加強(qiáng)制連接條件，即

(14)

式中：k(k=1,2,…,K)為階段數(shù)；K為所有階段的個(gè)數(shù)；tP1和tP2分別為1級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)和2級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)的工作時(shí)間。

1.4 目標(biāo)函數(shù)

考慮到戰(zhàn)術(shù)火箭執(zhí)行攻擊目標(biāo)任務(wù)時(shí)兼?zhèn)鋾r(shí)間較短和控制量較省的性能，目標(biāo)函數(shù)由兩部分構(gòu)成：1)總飛行時(shí)間的最小化；2)飛行過程中控制量的最小化。本文中，控制量是指攻角和側(cè)滑角，為了使積分項(xiàng)處于相同的數(shù)量級(jí)，對(duì)攻角和側(cè)滑角進(jìn)行歸一化處理。因此，目標(biāo)函數(shù)可以描述為

(15)

式中：λ為調(diào)整總飛行時(shí)間和總控制量在目標(biāo)函數(shù)中所占權(quán)重的權(quán)重因子。

1.5 最優(yōu)控制問題框架

將軌跡規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)控制問題：尋找控制變量u=[α,β]T，最小化積分型性能指標(biāo)：

(16)

式中：x=[v,θ,ψv,x,y,z,m]T∈R7為狀態(tài)變量；t∈[t0,tf]，終端時(shí)間tf自由；L為目標(biāo)函數(shù)(15)式的被積函數(shù)。滿足如下運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程約束(見(1)式)：

(17)

邊界條件(見(5)式和(6)式)：

Bmin≤B(x(t0),x(tf),t0,tf)≤Bmax，

(18)

式中：B為邊值約束的簡(jiǎn)化形式；約束的上限和下限符號(hào)分別為Bmax和Bmin. 路徑約束(見(11)式～(13)式)：

Cmin≤C(x(t),u(t),P,η)≤Cmax，

(19)

式中：C為路徑約束的簡(jiǎn)化形式；約束的上限和下限符號(hào)分別為Cmax和Cmin.

2 多階段最優(yōu)控制問題離散化

GPM將最優(yōu)控制問題的狀態(tài)變量和控制變量在一系列LG點(diǎn)上離散，并以離散點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)構(gòu)造拉格朗日插值多項(xiàng)式來(lái)逼近狀態(tài)變量和控制變量。通過對(duì)全局插值多項(xiàng)式求導(dǎo)來(lái)近似狀態(tài)變量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，從而將微分方程約束轉(zhuǎn)換為一組代數(shù)約束。性能指標(biāo)中的積分項(xiàng)由高斯積分計(jì)算。終端狀態(tài)由初始狀態(tài)加右端函數(shù)在整個(gè)過程的積分獲得。經(jīng)上述變換，可將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為具有一系列代數(shù)約束的NLP[19-20]。

2.1 時(shí)域變換

在前邊介紹的多階段軌跡優(yōu)化問題中，時(shí)間間隔t∈[t0,tf]被劃分成K個(gè)階段Sk=[tk-1,tk],k=1,2,…,K. 采用GPM計(jì)算最優(yōu)控制問題時(shí)，需要通過(20)式將每段時(shí)間區(qū)間轉(zhuǎn)換到[-1,1]：

(20)

2.2 狀態(tài)變量與控制變量的插值近似

GPM需要在一系列離散點(diǎn)上對(duì)狀態(tài)變量和控制變量進(jìn)行全局插值多項(xiàng)式逼近。在Sk中，采用拉格朗日插值多項(xiàng)式作為基函數(shù)來(lái)近似狀態(tài)變量和控制變量：

(21)

(22)

2.3 微分方程的約束轉(zhuǎn)換為代數(shù)約束

對(duì)全局插值多項(xiàng)式(21)式微分后，代入運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程(17)式中，并在LG點(diǎn)上離散，可得

(23)

2.4 約束條件離散化

邊界約束(見(18)式)表示為

(24)

在LG點(diǎn)對(duì)路徑約束(見(19)式)進(jìn)行離散化處理，得

(25)

則內(nèi)點(diǎn)約束(14)式可表示為

(26)

最后，目標(biāo)函數(shù)(16)式可用高斯求積公式進(jìn)行離散化表示：

(27)

至此，多階段連續(xù)最優(yōu)控制問題被轉(zhuǎn)化為離散參數(shù)的NLP問題，其標(biāo)準(zhǔn)形式為

(28)

式中：F(z)為性能指標(biāo)函數(shù)；ge(z)為不等式約束；hf(z)為等式約束；p、q分別為不等式約束和等式約束的個(gè)數(shù)；決策向量z=[(z(1))T,(z(2))T,…,(z(k))T,…,(z(K))T]T，包括離散狀態(tài)量、離散控制量、各階段間的連接時(shí)刻和終端時(shí)刻，

(29)

由于IPOPT求解器采用內(nèi)點(diǎn)算法，可以處理具有大量等式和不等式約束的大規(guī)模稀疏非凸問題。為了解決NLP，本文采用開源的NLP求解器IPOPT.

3 最優(yōu)軌跡的求解策略

3.1 基于準(zhǔn)接觸點(diǎn)的制導(dǎo)攻擊段分段策略

GPM是將連續(xù)最優(yōu)控制問題離散化后進(jìn)而求解的數(shù)值方法，LG點(diǎn)為勒讓德多項(xiàng)式的根。由LG點(diǎn)的分布規(guī)律可知：越靠近區(qū)間邊界處LG點(diǎn)越密集；在區(qū)間的內(nèi)部則LG點(diǎn)相對(duì)稀疏。作為一種路徑約束，戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境約束若處于規(guī)劃軌跡的區(qū)間邊界處，則戰(zhàn)場(chǎng)約束區(qū)附近的規(guī)劃軌跡精確度較高；戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境約束若處于規(guī)劃軌跡的區(qū)間內(nèi)部，則戰(zhàn)場(chǎng)約束區(qū)附近的規(guī)劃軌跡精確度會(huì)降低；甚至，當(dāng)區(qū)間內(nèi)部LG點(diǎn)密度較低時(shí)，出現(xiàn)規(guī)劃軌跡與禁飛區(qū)或敵方火力覆蓋區(qū)相交的情況，如圖2所示。因此，戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境約束處于規(guī)劃軌跡的區(qū)間內(nèi)部時(shí)，較難得到高精度的解。

圖2 軌跡與戰(zhàn)場(chǎng)約束區(qū)相交Fig.2 Intersection between trajectory and battlefield constraint region

在本文所述戰(zhàn)術(shù)火箭攻擊目標(biāo)的飛行過程中，發(fā)射段、爬升段和續(xù)航段距離發(fā)射點(diǎn)比較近，一般不會(huì)受到禁飛區(qū)、敵方火力覆蓋區(qū)的干擾，因此，本文采用以準(zhǔn)接觸點(diǎn)為分段節(jié)點(diǎn)將制導(dǎo)攻擊段進(jìn)一步分段的策略[21]，以提高戰(zhàn)場(chǎng)約束區(qū)附近規(guī)劃軌跡的精確度，進(jìn)而提高高精度最優(yōu)軌跡的求解效率。

準(zhǔn)接觸點(diǎn)根據(jù)制導(dǎo)攻擊階段細(xì)分前預(yù)生成的規(guī)劃軌跡來(lái)估計(jì)：制導(dǎo)攻擊階段細(xì)分前，選擇較少的LG點(diǎn)快速解算得到最優(yōu)軌跡，則戰(zhàn)場(chǎng)約束區(qū)的邊界會(huì)被最優(yōu)規(guī)劃軌跡分成一個(gè)優(yōu)弧和一個(gè)劣弧，如圖2所示；理論上，為了滿足快速攻擊和較少控制量的要求，最終高精度規(guī)劃軌跡應(yīng)沿戰(zhàn)場(chǎng)約束區(qū)的邊界飛行。顯然，準(zhǔn)接觸點(diǎn)應(yīng)該選取于戰(zhàn)場(chǎng)約束區(qū)邊界圓的劣弧上。為了有利于產(chǎn)生更平滑的軌跡并且減輕對(duì)機(jī)動(dòng)性的需求，準(zhǔn)接觸點(diǎn)選取為劣弧中點(diǎn)。以準(zhǔn)接觸點(diǎn)為分段節(jié)點(diǎn)將制導(dǎo)攻擊階段進(jìn)一步分段后，戰(zhàn)場(chǎng)約束區(qū)附近的軌跡與LG點(diǎn)分布情況如圖3所示。

圖3 采用制導(dǎo)攻擊段分段策略時(shí)戰(zhàn)場(chǎng)約束區(qū)附近軌跡Fig.3 Trajectory near battlefield constraint region for using the guided attacking segment subdivision strategy

3.2 基于初值生成器的迭代策略

在GPM實(shí)際應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)，不恰當(dāng)?shù)某踔悼赡苁箚栴}收斂到不可行解[22-23]。針對(duì)這一問題，本文提出了改進(jìn)的最優(yōu)軌跡求解策略，即構(gòu)造設(shè)計(jì)變量初值生成器，利用GPM能以較少節(jié)點(diǎn)獲得較高精度的優(yōu)點(diǎn)，提出如下多步迭代優(yōu)化求解步驟：

步驟1對(duì)于未對(duì)制導(dǎo)攻擊段進(jìn)行階段細(xì)分前的軌跡規(guī)劃問題，先在4個(gè)飛行階段采用較少的離散點(diǎn)，快速計(jì)算近似的最優(yōu)軌跡和控制變量。

步驟2利用3.1節(jié)所述準(zhǔn)接觸點(diǎn)選取方法，根據(jù)步驟1求出的最優(yōu)軌跡選取合適的準(zhǔn)接觸點(diǎn)；以選取的準(zhǔn)接觸點(diǎn)為分段節(jié)點(diǎn)，對(duì)制導(dǎo)攻擊段進(jìn)行進(jìn)一步細(xì)分，得到最終的全彈道多階段軌跡優(yōu)化問題模型。

步驟3以步驟1得到的最優(yōu)軌跡和控制量為參考，以較少的離散點(diǎn)計(jì)算步驟2得到的軌跡優(yōu)化問題，得出近似最優(yōu)軌跡和控制變量，通過插值獲得更多離散點(diǎn)。

步驟4將步驟3獲得的變量值作為初值重新求解，將得到的最優(yōu)變量代回動(dòng)力學(xué)微分方程組(1)式中測(cè)算誤差；循環(huán)執(zhí)行此步，直至得到足夠高精度的解。

4 仿真驗(yàn)證與結(jié)果分析

4.1 仿真參數(shù)與結(jié)果

仿真中戰(zhàn)術(shù)火箭的彈體參數(shù)以及約束的參數(shù)值分別如表1和表2所示。

表1 彈體參數(shù)表

表2 約束參數(shù)表

構(gòu)建仿真場(chǎng)景如下：戰(zhàn)術(shù)火箭從發(fā)射點(diǎn)(x0,y0,z0)處，以某一彈道傾角發(fā)射，初始速度v0=10 m/s，彈道偏角ψv=0°，經(jīng)歷發(fā)射段、爬升段、續(xù)航段和制導(dǎo)攻擊段后攻擊位于(300 km,0 km,150 km)處的地面固定目標(biāo)；在飛行過程中部署一個(gè)圓柱狀協(xié)同禁飛區(qū)和一個(gè)半球狀敵方火力覆蓋區(qū)。構(gòu)建兩種不同仿真場(chǎng)景，每個(gè)場(chǎng)景的發(fā)射點(diǎn)位置、戰(zhàn)場(chǎng)約束區(qū)中心位置以及半徑如表3所示。

表3 仿真場(chǎng)景

為了使飛行任務(wù)兼?zhèn)鋾r(shí)間較短和能量較省的特點(diǎn)，令目標(biāo)函數(shù)中的權(quán)重因子λ=2. 對(duì)構(gòu)建的每個(gè)場(chǎng)景，在基于初值生成器的迭代策略下，分別針對(duì)制導(dǎo)攻擊段分段、不分段兩種情形，在相同的高求解精度以及分配相同總LG點(diǎn)個(gè)數(shù)情況下進(jìn)行求解。計(jì)算在PC機(jī)上進(jìn)行，CPU為Intel Core i7-3.6 GHz，應(yīng)用基于MATLAB環(huán)境下的IPOPT軟件包對(duì)NLP問題進(jìn)行求解。仿真結(jié)果如圖4～圖9所示。

圖4 場(chǎng)景1不采用制導(dǎo)攻擊段分段策略時(shí)最優(yōu)軌跡Fig.4 Optimal trajectory without the guided attacking segment subdivision in Scene 1

圖5 場(chǎng)景1采用制導(dǎo)攻擊段分段策略時(shí)最優(yōu)軌跡Fig.5 Optimal trajectory with the guided attacking segment subdivision in Scene 1

圖6 場(chǎng)景2不采用制導(dǎo)攻擊段分段策略時(shí)最優(yōu)軌跡Fig.6 Optimal trajectory without the guided attacking segment subdivision in Scene 2

圖7 場(chǎng)景2采用制導(dǎo)攻擊段分段策略時(shí)最優(yōu)軌跡Fig.7 Optimal trajectory with the guided attacking segment subdivision in Scene 2

圖8 場(chǎng)景1戰(zhàn)術(shù)火箭飛行參數(shù)Fig.8 Flight parameters of tactical rocket in Scene 1

圖9 場(chǎng)景2戰(zhàn)術(shù)火箭飛行參數(shù)Fig.9 Flight parameters of tactical rocket in Scene 2

圖4、圖6分別為不采用制導(dǎo)攻擊段分段策略時(shí)，場(chǎng)景1、場(chǎng)景2戰(zhàn)術(shù)火箭攻擊目標(biāo)的最優(yōu)軌跡；圖5、圖7分別為采用制導(dǎo)攻擊段分段策略時(shí)，場(chǎng)景1、場(chǎng)景2戰(zhàn)術(shù)火箭攻擊目標(biāo)的最優(yōu)軌跡。由圖4、圖5和圖6、圖7對(duì)比可知，采用制導(dǎo)攻擊段分段策略時(shí)求得的最優(yōu)軌跡與不采用時(shí)一致，并且都能夠避開協(xié)同禁飛區(qū)、敵方火力覆蓋區(qū)，精準(zhǔn)擊中地面固定目標(biāo)。

圖8、圖9分別為場(chǎng)景1、場(chǎng)景2對(duì)應(yīng)的飛行參數(shù)曲線。從圖8(a)、圖9(a)中可以看出：在彈道最高點(diǎn)附近時(shí)，由于空氣密度較小，攻角迅速增大以產(chǎn)生足夠大的控制能力；其后隨著飛行高度的降低，空氣密度隨之增加，攻角也逐漸減??；在彈道末端，為了獲得期望的落角，攻角迅速減小。從圖8(b)、圖9(b)中可以看出，進(jìn)入制導(dǎo)攻擊階段后，側(cè)滑角較快趨于0°并保持至攻擊目標(biāo)時(shí)刻，達(dá)到了控制量較省的目的。從圖8(f)、圖9(f)中可以看出，整個(gè)飛行過程中的過載滿足約束。

進(jìn)一步增加仿真場(chǎng)景3、場(chǎng)景4如表4所示。分別對(duì)每個(gè)仿真場(chǎng)景在是否采用制導(dǎo)攻擊段分段策略以及是否采用基于初值生成器的迭代策略不同條件下進(jìn)行仿真驗(yàn)證。每個(gè)仿真場(chǎng)景的仿真結(jié)果關(guān)鍵參數(shù)如表5所示；每個(gè)仿真場(chǎng)景在不同仿真條件下求解的時(shí)間如表6所示。

表4 仿真場(chǎng)景

由表5可知：戰(zhàn)術(shù)火箭的最優(yōu)初始彈道傾角和爬升段時(shí)長(zhǎng)隨不同的仿真場(chǎng)景下而變化，體現(xiàn)了二級(jí)助推戰(zhàn)術(shù)火箭對(duì)不同發(fā)射地點(diǎn)、不同作戰(zhàn)場(chǎng)景的適應(yīng)性；4種仿真場(chǎng)景下，戰(zhàn)術(shù)火箭的落速和落角均滿足表2所設(shè)定的約束條件。

表5 仿真結(jié)果

由表6統(tǒng)計(jì)可知：當(dāng)?shù)玫较嗤鹊慕馇铱偟腖G點(diǎn)個(gè)數(shù)相同時(shí)，采用制導(dǎo)攻擊段分段策略進(jìn)行計(jì)算耗時(shí)比不采用分段策略的計(jì)算耗時(shí)短；同時(shí)，采用基于初值生成器的迭代策略進(jìn)行計(jì)算耗時(shí)比不采用迭代策略耗時(shí)短。由此可知，采用以準(zhǔn)接觸點(diǎn)為分段節(jié)點(diǎn)對(duì)制導(dǎo)攻擊段進(jìn)行分段的策略，可以在戰(zhàn)場(chǎng)約束區(qū)附近分配密度較高的LG點(diǎn)，有利于較快求得高精度的解；基于初值生成器的迭代策略可以加快求解的收斂速度，縮短求解時(shí)間。

表6 仿真計(jì)算時(shí)間

4.2 仿真結(jié)果可行性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果的可行性，將4個(gè)仿真場(chǎng)景分別求解后，最優(yōu)控制量代入運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程中進(jìn)行積分，并將得到的狀態(tài)參數(shù)值分別與本文方法求得的最優(yōu)狀態(tài)量值進(jìn)行對(duì)比，分析誤差范圍。4組結(jié)果中，相同時(shí)間插值點(diǎn)處的狀態(tài)量絕對(duì)誤差的最大值散點(diǎn)圖如圖10所示。由圖10可見，GPM得到的最優(yōu)解與數(shù)值積分結(jié)果的誤差均在允許范圍之內(nèi)，從而驗(yàn)證了優(yōu)化結(jié)果的可行性。

圖10 誤差散點(diǎn)圖Fig.10 Error scatter figure

5 結(jié)論

本文研究了GPM在二級(jí)助推戰(zhàn)術(shù)火箭多階段軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，并提出了基于初值生成器的迭代策略以及基于準(zhǔn)接觸點(diǎn)的制導(dǎo)攻擊段分段策略。仿真驗(yàn)證中對(duì)4種不同仿真場(chǎng)景下算法的時(shí)效性和可行性進(jìn)行了分析。結(jié)果表明，采用該優(yōu)化策略時(shí)，GPM能夠保證較高的求解精度，并有效地提高優(yōu)化軌跡的求解效率。