吳榮華，江 偉

(東華理工大學(xué) 江西省新能源工藝與裝備工程技術(shù)研究中心，江西 南昌 330013)

電力電子電路是一種典型的非線性系統(tǒng)，表現(xiàn)出相當(dāng)復(fù)雜的非線性動力學(xué)行為，如次諧波振蕩、周期跳躍、各種類型的分岔及混沌現(xiàn)象[1-5].逆變器是一種基本的電力電子電路，在工程中會發(fā)生一些不穩(wěn)定現(xiàn)象，如運(yùn)行狀況突變、刺耳電磁噪聲、系統(tǒng)突然崩潰等[6].因而，對逆變器中的非線性現(xiàn)象進(jìn)行研究有重要的意義.

近年來，對逆變器非線性現(xiàn)象的研究已開展，文獻(xiàn)[7]研究了H橋逆變器在比例控制下的非線性現(xiàn)象；文獻(xiàn)[8]深入分析了H橋直流斬波變換器邊界碰撞分岔的機(jī)理；文獻(xiàn)[9]應(yīng)用頻閃映射圖、迭代圖、分岔圖分析了工作在比例調(diào)節(jié)下的逆變器出現(xiàn)的非線性現(xiàn)象；文獻(xiàn)[10]研究了逆變電路在數(shù)字控制下發(fā)生振蕩的內(nèi)在機(jī)理；文獻(xiàn)[11]運(yùn)用斜坡補(bǔ)償?shù)姆椒?，控制了單相SPWM逆變器的快標(biāo)分岔.

目前，對H橋逆變器的非線性研究，主要針對正弦脈寬控制，對于谷值電流控制的H橋逆變器的非線性現(xiàn)象研究未見報(bào)道.谷值電流控制屬于電流控制的一種，興起于20世紀(jì)60年代后期，其暫態(tài)閉環(huán)響應(yīng)快，具有簡單自動的磁通平衡功能[12].因此，筆者以谷值電流控制的H橋逆變器為研究對象，分析其工作原理，建立離散模型，采用頻閃圖、折疊圖、分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜等方法，研究非線性動力學(xué)行為的演變過程，運(yùn)用Jaconbian矩陣法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，為該逆變器的合理設(shè)計(jì)提供指導(dǎo).

1 谷值電流控制的H橋逆變器的工作原理及離散模型

谷值電流控制的H橋逆變器的工作原理如圖1所示，其主電路由直流電壓源E、開關(guān)管VT1～ VT4、感性負(fù)載R及L構(gòu)成.采用電流反饋控制，將參考電流iref和負(fù)載電流i的比較結(jié)果送入RS觸發(fā)器的S端，比較結(jié)果信號與R端的時鐘脈沖信號一起控制開關(guān)管的導(dǎo)通與截止.在每個周期的開始，時鐘脈沖給出的觸發(fā)信號使RS觸發(fā)器輸出低電平，開關(guān)管VT1，VT3截止，VT2，VT4導(dǎo)通，逆變器工作在狀態(tài)1，負(fù)載電流下降；當(dāng)i下降至iref時，RS觸發(fā)器置位，輸出高電平，開關(guān)管VT1，VT3導(dǎo)通，VT2，VT4截止，逆變器工作在狀態(tài)2，負(fù)載電流開始上升，等待下一個時鐘脈沖的到來，如此循環(huán)往復(fù).

圖1 谷值電流控制的H橋逆變器的工作原理圖

開關(guān)管VT1，VT2，VT3，VT4以互補(bǔ)的方式工作，逆變器有2種工作狀態(tài).狀態(tài)1的狀態(tài)方程為

(1)

狀態(tài)2的狀態(tài)方程為

(2)

圖2為負(fù)載電流波形.由圖2可知，在RS觸發(fā)器的控制下，系統(tǒng)在兩種狀態(tài)之間轉(zhuǎn)換，TS=1/fS是觸發(fā)器開關(guān)的時鐘周期，在第n個時鐘脈沖周期內(nèi)，TS-tn表示狀態(tài)1時間，tn表示狀態(tài)2時間.參考電流iref=Isin(2πft)，且fS?f，因此，iref在每個開關(guān)周期TS內(nèi)可近似看作常量.

圖2 負(fù)載電流波形

對式(2)積分可得第n個時鐘周期狀態(tài)2的占空比為

(3)

其中：α=E/R，β=(R×TS)/L，in為負(fù)載電流i在采樣時刻nTS的值.

頻閃映射理論建模的核心為：選擇一個迭代初值，利用狀態(tài)方程求解下一周期的解，如此循環(huán)往復(fù)，最終得到用第n個開關(guān)周期狀態(tài)變量表示第n+1個開關(guān)周期狀態(tài)變量的表達(dá)式[13].由式(1)～(3)導(dǎo)出的電路離散模型為

in+1=(iref-α)e-β(1-Dn)+α，

(4)

其中：in+1為負(fù)載電流i在采樣時刻(n+1)TS的值.

2 谷值電流控制的H橋逆變器的非線性分析

采用頻閃采樣圖、分岔圖、折疊圖和Lyapunov指數(shù)譜等方法，分析逆變器的非線性現(xiàn)象.取控制器的開關(guān)頻率fS=10 kHz，參考電流iref的幅值I=1 A，頻率f=50 Hz，則iref=sin(100 πt).電路的其他參數(shù)為：R=10 Ω，L=10 mH，直流電壓為1～40 V.

2.1 頻閃采樣圖

頻閃采樣圖能快速反映系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其繪制方法如下：基于式(4)的離散模型，對迭代穩(wěn)定后的狀態(tài)變量在開關(guān)周期TS=0.1 ms下采樣并保存采樣值，得到不同輸入電壓下的頻閃采樣圖，如圖3所示.由圖3(a)可知，當(dāng)E=10 V時，逆變器的頻閃圖存在雜亂的采樣點(diǎn)，說明此時系統(tǒng)的狀態(tài)是混沌的；由圖3(b)可知，當(dāng)E=35 V時，頻閃圖是一條單值線，說明此時系統(tǒng)的狀態(tài)是穩(wěn)定的.

(a)：E=10 V; (b)：E=35 V.圖3 不同輸入電壓下的頻閃采樣圖

2.2 分岔圖

分岔圖是研究系統(tǒng)復(fù)雜動力學(xué)行為的有效途徑，它不僅能描繪出系統(tǒng)由穩(wěn)定向混沌的演變，還能得到系統(tǒng)穩(wěn)定與不穩(wěn)定的臨界點(diǎn).以上述的頻閃圖為基礎(chǔ)，取輸入電壓E為可變量，其他參數(shù)固定不變，對50個正弦周期的[(3/2)π,2π]區(qū)域采樣繪制系統(tǒng)的分岔圖，可得負(fù)載電流i隨輸入電壓變化的分岔圖(見圖4).由圖4可知，在輸入電壓E從1 V增大至40 V的過程中，系統(tǒng)由混沌狀態(tài)突然向穩(wěn)定的周期運(yùn)動狀態(tài)轉(zhuǎn)變：當(dāng)E<19 V時，采樣結(jié)果密集分布在一定區(qū)域內(nèi)，說明系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；當(dāng)E>19 V時，每次的采樣結(jié)果都重疊，形成一條單直線，表明系統(tǒng)突變進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，該結(jié)論與圖3的一致.

圖4 負(fù)載電流i隨輸入電壓變化的分岔圖

2.3 折疊圖

折疊圖能直觀反映出系統(tǒng)的非線性現(xiàn)象，其繪制方法如下：選取初值代入系統(tǒng)的離散方程進(jìn)行迭代，對每個正弦周期采樣M個點(diǎn)(M=fS/f=200)，將穩(wěn)定后的數(shù)個正弦周期按采樣時刻對齊后折疊[14].圖5為系統(tǒng)在不同輸入電壓下的折疊圖.由圖5(a)可知，當(dāng)E=10 V時，折疊圖中部分采樣點(diǎn)雜亂無章，表明此時系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；由圖5(b)可知，當(dāng)E=35 V時，每個采樣點(diǎn)均重疊，形成一條穩(wěn)定、光滑的正弦曲線，表明此時系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài).折疊圖的分析結(jié)論與圖4的一致.折疊圖更形象刻畫了不同輸入電壓下系統(tǒng)的非線性動力學(xué)行為.

(a)：E=10 V; (b)：E=35 V.圖5 不同輸入電壓下的折疊圖

2.4 Lyapunov指數(shù)譜

Lyapunov指數(shù)是一種定量描述系統(tǒng)運(yùn)動的特征量，能有效判定系統(tǒng)分岔點(diǎn)的位置.根據(jù)Lyapunov指數(shù)的定義，對于1維映射xn+1=f(xn)，其Lyapunov指數(shù)為

(5)

當(dāng)LE<0時，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)LE>0時，系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)；LE=0對應(yīng)系統(tǒng)穩(wěn)定與不穩(wěn)定的分界點(diǎn)，即分岔點(diǎn).

根據(jù)上述對1維映射的Lyapunov指數(shù)定義，由式(4)可得谷值電流控制的H橋逆變器的Lyapunov指數(shù)為

(6)

令輸入電壓E由1 V變化到40 V，步長為0.05 V，在每個輸入電壓E值下迭代100次，繪制負(fù)載電流i隨輸入電壓變化的Lyapunov指數(shù)譜(見圖6).由圖6可知，當(dāng)E<19 V時，Lyapunov指數(shù)都大于零，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；在E≈19 V處，Lyapunov指數(shù)曲線過零點(diǎn)，可知此位置是系統(tǒng)由混沌進(jìn)入穩(wěn)定的臨界點(diǎn)；此后，Lyapunov指數(shù)總是小于零，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài).

圖6 負(fù)載電流i隨輸入電壓變化的Lyapunov指數(shù)譜

2.5 不同輸入電壓對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

為了分析不同輸入電壓對系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行范圍的影響，取輸入電壓E為變量，繪制出負(fù)載電流i隨負(fù)載電阻R和電感L變化的分岔圖(二者分別見圖7，8).由圖7～8可知，當(dāng)E=10 V時，系統(tǒng)狀態(tài)由穩(wěn)定迅速向混沌轉(zhuǎn)變；當(dāng)E=35 V時，負(fù)載電流i隨電阻R變化的分岔圖穩(wěn)定運(yùn)行的范圍比E=10 V時的大；E=35 V時的負(fù)載電流i隨電感L變化的分岔圖一直是穩(wěn)定的，該結(jié)論與圖4的一致.

(a)：E=10 V; (b)：E=35 V.圖7 不同電壓下負(fù)載電流i隨電阻變化的分岔圖

(a)：E=10 V; (b)：E=35 V.圖8 不同電壓下負(fù)載電流i隨電感變化的分岔圖

3 谷值電流控制的H橋逆變器的穩(wěn)定性分析

對離散迭代模型xn+1=f(xn,dn)(其中xn為第n次迭代值，xn+1為第n+1次迭代值)，基于Jacobian矩陣定義，可得

(7)

其中：XQ，DQ為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解.

在谷值電流控制的H橋逆變器中，參考電流值iref在每個TS均發(fā)生變動，因此無法對每個開關(guān)周期進(jìn)行Jacobian矩陣穩(wěn)定分析，但該文的參考電流值iref是在每個周期的固定時刻采樣的，可認(rèn)為是恒定的，因而取iref為控制參數(shù)，可知in+1=f(in,iref)，in+1=in是逆變器的穩(wěn)定點(diǎn).

由Jacobian矩陣定理可得

(8)

其中：λmax為Jacobian矩陣最大模特征值.當(dāng)|λmax|<1時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當(dāng)|λmax|>1時，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；|λmax|=1是系統(tǒng)穩(wěn)定與不穩(wěn)定的臨界點(diǎn).

將式(3)代入式(4)，可得

(9)

由式(9)可得系統(tǒng)的不動點(diǎn)為

(10)

將式(9)～(10)代入式(8)，可得

(11)

根據(jù)式(11)，取E=19 V，λmax=-1，其他參數(shù)保持不變，可得iref=0.142 A.保持iref=0.142 A不變，取E=10 V，可得|λmax|=1.204>1，可知此時系統(tǒng)是不穩(wěn)定的.取E=35 V，可得|λmax|=0.981 3<1，可知此時系統(tǒng)是穩(wěn)定的.上述分析結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)論一致，從理論上分析了谷值電流控制的H橋逆變器產(chǎn)生不穩(wěn)定的原因.

4 結(jié)束語

筆者研究了谷值電流控制的H橋逆變器中的非線性動力學(xué)行為，建立了離散模型，運(yùn)用頻閃圖、分岔圖、折疊圖及Lyapunov指數(shù)譜詳細(xì)分析了該逆變器的非線性現(xiàn)象，從數(shù)理角度出發(fā)，采用Jacobian矩陣?yán)碚摲治隽四孀兤鞣€(wěn)定性發(fā)生變化的原因.研究結(jié)果表明：谷值電流控制的H橋逆變器的動力學(xué)演化過程具有典型的非線性特征，其穩(wěn)定性受多個電路參數(shù)影響，逆變器穩(wěn)定運(yùn)行范圍隨輸入電壓E變化而變化，合理選擇電路參數(shù)能提高逆變器的穩(wěn)定性.研究結(jié)論對于谷值電流控制的H橋逆變器的設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義.