李巧利

(河南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，河南 鄭州 450001)

隨著混沌同步方面的發(fā)展，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的同步控制問題引起了眾多學(xué)者的密切關(guān)注[1-6].文獻(xiàn)[7]研究一類分?jǐn)?shù)階不確定系統(tǒng)的滑模同步問題，能夠使主從系統(tǒng)達(dá)到快速同步；文獻(xiàn)[8]基于自適應(yīng)模糊方法實(shí)現(xiàn)一類分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步;文獻(xiàn)[9]研究一類分?jǐn)?shù)階非線性混沌系統(tǒng)同步控制問題；文獻(xiàn)[10]根據(jù)滑模方法研究一類不確定混沌系統(tǒng)投影同步問題;文獻(xiàn)[11]研究分?jǐn)?shù)階不確定同步發(fā)電機(jī)混沌系統(tǒng)的滑模自適應(yīng)控制與參數(shù)辨識(shí);文獻(xiàn)[12]通過蜿蜒控制研究一類系統(tǒng)的有限時(shí)間控制與同步問題.在上述研究的基礎(chǔ)上,論文基于滑模同步方法研究一類新型分?jǐn)?shù)階不確定混沌系統(tǒng)的同步問題，利用分?jǐn)?shù)階微積分給出一類不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)取得滑模同步的充分性條件.

定義1[13]Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

1 主要結(jié)果

以如下分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)為主系統(tǒng)

(1)

從系統(tǒng)設(shè)計(jì)為

(2)

定義誤差

ei=yi-xi，

則得到誤差系統(tǒng)

(3)

假設(shè)1‖Δf(y)-Δf(x)‖≤d,d>0.

假設(shè)2‖be2‖≤k‖e1‖,k>0.

假設(shè)3a+k<0.

引理1[14]對(duì)于一般的分?jǐn)?shù)階自治非線性微分方程

當(dāng)系統(tǒng)的階數(shù)0<α≤1時(shí)，如果存在實(shí)對(duì)稱正定矩陣P，使得

則上述分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.

設(shè)計(jì)滑模面

s(t)=λ1e1+λ2e2+λ3e3,

則分?jǐn)?shù)階不確定混沌系統(tǒng)(1)與(2)取得滑模同步.

以及引理1，有

再結(jié)合假設(shè)2，3，有

根據(jù)分?jǐn)?shù)階微積分的相關(guān)理論不難得到上述系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，有

e1→0，

由假設(shè)2，不難得到

e2→0，

又由于滿足滑模方程

s(t)=λ1e1+λ2e2+λ3e3=0，

從而e3→0.

當(dāng)不在滑模面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，s≠0，構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

由引理2，得

s[λ1(ae1+be2)+λ2(f(y)-f(x)+Δf(y)-Δf(x)+u(t))+λ3(g(y)-g(x))]≤

-η|s|2=-2ηV，

從而該微分系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，它的解

V(t)→0，

從而s(t)→0.證畢.

以下考慮整數(shù)階混沌系統(tǒng)

(4)

從系統(tǒng)設(shè)計(jì)為

(5)

定義誤差

ei=yi-xi，

則得到誤差系統(tǒng)

(6)

設(shè)計(jì)滑模面

s(t)=λ1e1+λ2e2+λ3e3,

則分?jǐn)?shù)階不確定混沌系統(tǒng)(4)與(5)取得滑模同步.

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

根據(jù)假設(shè)2，3，得

從而

e1→0，

由假設(shè)2不難得到

e2→0，

又由于滿足滑模方程

s(t)=λ1e1+λ2e2+λ3e3=0，

從而e3→0.

當(dāng)系統(tǒng)不在滑模面上運(yùn)動(dòng)s≠0時(shí)，構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

則

有

V(t)≤e-2ηtV(0)，

所以，有

V(t)→0，

從而s(t)→0.證畢.

2 數(shù)值仿真

例1(定理1) 以分?jǐn)?shù)階Genesioi-Tesi混沌系統(tǒng)為例，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)為

從系統(tǒng)為

例2(定理2) 以整數(shù)階系統(tǒng)為主系統(tǒng)

從系統(tǒng)為

系統(tǒng)初始值設(shè)置為

(x1(0),x2(0),x3(0))=(1,-2,3),(y1(0),y2(0),y3(0))=(2,-1,1),

d=10,α=0.935,λ1=2,λ2=4,λ3=1.8,η=2.5.

例1，2的系統(tǒng)誤差曲線分別如圖1,2所示.

圖1 定理1中的系統(tǒng)誤差曲線圖2 定理2中的系統(tǒng)誤差曲線

3 結(jié)束語

研究一類新型分?jǐn)?shù)階不確定系統(tǒng)的滑模同步問題，利用分?jǐn)?shù)階微積分給出了一類不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)取得滑模同步的充分性條件，并有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明和推導(dǎo)過程.數(shù)值仿真驗(yàn)證了方法的正確性.