莊繼晶

(山東科技大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東青島 266590)

0 引言

近年來，關(guān)于H∞濾波問題的研究越來越受到重視.H∞濾波將魯棒控制設(shè)計(jì)中性能指標(biāo)的H∞范數(shù)引入到濾波系統(tǒng)中，以解決系統(tǒng)存在的各種不確定性問題.它將噪聲看作是能量有限的隨機(jī)信號，使系統(tǒng)的干擾到估計(jì)誤差的閉環(huán)傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)小于一個(gè)給定的常量γ2.相較于卡爾曼濾波，H∞濾波具有良好的魯棒性，其性能也明顯優(yōu)于卡爾曼濾波.隨著研究的深入，已經(jīng)有許多關(guān)于H∞濾波的研究成果，例如通過采用線性矩陣不等式(LMI)技術(shù)和Lyapunov函數(shù)方法為包括線性和非線性系統(tǒng)[1,2]，馬爾可夫跳系統(tǒng)[3,4]，帶時(shí)滯的系統(tǒng)[5,6]，無偏估計(jì)系統(tǒng)[7,8]，有限時(shí)間系統(tǒng)[9,10]在內(nèi)的連續(xù)或離散時(shí)間系統(tǒng)[11,12]等等提供了許多重要的研究結(jié)果.其中，[8]中的馬爾可夫跳系統(tǒng)是由具有有限模態(tài)集轉(zhuǎn)換的子系統(tǒng)組成，并且可以在不同時(shí)間從一個(gè)模式切換到另一個(gè)模式.值得注意的是，在許多實(shí)際應(yīng)用中，離散時(shí)間馬爾可夫跳躍系統(tǒng)可能比其連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)更為貼近實(shí)際結(jié)果.而且實(shí)際系統(tǒng)總是存在不同程度的非線性，大多數(shù)無法僅用線性微分方程的形式描述，例如衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)、飛機(jī)的飛行狀態(tài)等必須用非線性數(shù)學(xué)模型來更好的模擬實(shí)際情況.根據(jù)我們所知，離散時(shí)間帶馬爾可夫跳的非線性系統(tǒng)的H∞濾波問題研究甚少，因此我們可以開展這項(xiàng)工作.

1 預(yù)備知識

考慮以下的離散時(shí)間非線性馬爾可夫跳變系統(tǒng)

x(l+1)=A(rl)x(l)+B(rl)ω(l)+g(x(l)),

(1a)

y(l)=C(rl)x(l)+D(rl)ω(l),

(1b)

z(l)=E(rl)x(l)+F(rl)ω(l),

(1c)

則上述非線性馬爾可夫跳系統(tǒng)(1a)-(1b)可表示為

x(l+1)=Asx(l)+Bsω(l)+g(x(l)),

(2a)

y(l)=Csx(l)+Dsω(l),

(2b)

z(l)=Esx(l)+Fsω(l),

(2c)

這里x(l)∈Rh,y(l)∈Rq,z(l)∈Rl,ω(l)∈Rp分別代表狀態(tài)矢量、量測輸出、噪聲輸入和待估計(jì)信號.As,Bs,Cs,Ds,Es,Fs均為具有適當(dāng)維數(shù)的已知矩陣，g(x(l))為一個(gè)非線性函數(shù)且滿足以下約束

(3)

其中ρ為已知權(quán)矩陣且ρTρ是非奇異的.

下面我們設(shè)計(jì)如下形式的濾波器

(4a)

(4b)

(5a)

(5b)

(6a)

(6b)

下面給出一些后文中要用到的定理和引理.

定義1 考慮增廣系統(tǒng)(6a)-(6b)，令Je:=l2([0,∞),Rp)→l2([0,∞),Rl)滿足

定義Je的H∞范數(shù)為

(7)

定義2 考慮增廣系統(tǒng)(6a)-(6b)，若存在濾波器(4a)-(4b)滿足：

(i)對?l≥0，當(dāng)ω(l)=0時(shí)，增廣系統(tǒng)(6a)-(6b)是均方漸進(jìn)穩(wěn)定的；

(ii)對給定的干擾抑制水平γ>0,?ω(l)∈l2([0,∞),Rp),ω(l)≠0有以下約束成立

(8)

則稱增廣系統(tǒng)(6a)-(6b)的魯棒H∞濾波問題是可解的.

引理2[13]設(shè)A，D，E，F(xiàn)為具有適當(dāng)維數(shù)的實(shí)矩陣，P>0且F滿足FTF≤I.若存在標(biāo)量ε>0滿足εI-ETPE>0，那么有

(A+DFE)TP(A+DFE)≤ATPA+ATPET(εI-ETPE)-1EPA+εDTD.

(9)

2 主要結(jié)果

在本節(jié)中，我們將給出離散時(shí)間非線性馬爾可夫跳變系統(tǒng)(1a)-(1c)的魯棒H∞濾波判定標(biāo)準(zhǔn)，并應(yīng)用LMI方法來確保增廣系統(tǒng)(6a)-(6b)是均方漸進(jìn)穩(wěn)定的且滿足(8)式.下面給出(6a)-(6b)濾波分析的一些充分條件.

定理1 對給定的標(biāo)量γ>0,ε>0，若存在正定矩陣Ps>0，使得對?s∈Π,?l≥0，以下不等式成立

(10)

證定義增廣系統(tǒng)(6a)-(6b)的Lyapunov-Krasovskii函數(shù)為

直接計(jì)算可得

運(yùn)用引理2

E{V(l+1)}-V(l)≤ηT(l)Ξ0(l)η(l),

(11)

現(xiàn)在定義

(12)

則由系統(tǒng)穩(wěn)定性及(10)式，對任意非零ω(l)∈l2([0,∞),Rp)，我們有

(13)

定理2 對給定的標(biāo)量γ>0,ε>0，若存在正定矩陣Ps>0，非奇異矩陣Yis,Uis,Vis(i=1,2)使得對?s∈Π,?l≥0，以下約束成立

CsXs=Y1sCs,

(14a)

DsXs=Y2sDs,

(14b)

(14c)

X=diag{X1,X2,…,Xv},

ωX=diag{ω1,ω2,…,ωv},

證明首先定義

則(10)式等價(jià)于以下不等式

(15)

由引理1，(15)式等價(jià)于以下不等式

(16)

由于ρTρ為非奇異矩陣，再次運(yùn)用引理1并將Afs,Bfs,Efs,Ffs代入(16)式可得

(17)

其中

Λs=As-HCs,ζs=Bs-HDs.

對(17)式左右兩邊分別乘以塊對角矩陣

則(17)式變?yōu)?/p>

(18)

令

由(14a)-(14b)可知

X=P-1=diag{X1,X2,…,Xv},

則本定理得證.證畢.

3 數(shù)值例子

考慮離散時(shí)間非線性馬爾可夫跳系統(tǒng)(1a)-(1c)的兩個(gè)模態(tài)，給出了它們的系數(shù)矩陣

模態(tài)1：

模態(tài)2：

4 結(jié)論

本文主要研究了具有馬爾可夫跳變參數(shù)和范數(shù)有界非線性函數(shù)項(xiàng)的離散時(shí)間系統(tǒng)的魯棒H∞濾波問題.基于線性矩陣不等式(LMI)方法得到了濾波問題可解的充分條件和濾波器增益的設(shè)計(jì)方法,使得所得到的濾波誤差增廣系統(tǒng)是均方漸進(jìn)穩(wěn)定的并且其H∞范數(shù)小于一個(gè)給定的干擾抑制水平γ2.最后給出了一個(gè)數(shù)值例子來說明所得結(jié)果的有效性.