王依娜，熊 巖 *，金瑞佳,2,黃傳朋

(1.交通運輸部天津水運工程科學(xué)研究所 港口水工建筑技術(shù)國家工程實驗室 工程泥沙交通行業(yè)重點實驗室，天津 300456；2.中國海洋大學(xué)，青島 266100)

波浪能具有儲量大、對環(huán)境干擾小、利用率高等優(yōu)勢[1-3]。根據(jù)波浪能發(fā)電裝置的布置位置相對于海岸的距離可以將其分為三類：岸上波能發(fā)電裝置、近岸波能發(fā)電裝置和離岸波能發(fā)電裝置。其中近岸發(fā)電裝置和離岸波能發(fā)電裝置大多數(shù)為浮式結(jié)構(gòu)。特別是現(xiàn)階段很多波浪能裝置為島嶼提供生活用電，故投放在島礁附近，島礁邊緣水深會發(fā)生突變，波浪在傳播過程中遇到突變的地形會發(fā)生繞射現(xiàn)象和折射現(xiàn)象，導(dǎo)致波高、波向、周期等均會發(fā)生變化。這些現(xiàn)象的發(fā)生和這些參數(shù)的變化使得波浪能裝置周圍的水動力環(huán)境十分復(fù)雜。

1 引言

早期學(xué)者就意識到了地形對波浪場的巨大影響，李玉成和張春榮[4]研究了水流與地形綜合作用對波浪折射影響，曹建洪等[5]對開源程序庫OpenFOAM進行改進，對南海復(fù)雜海底地形上的波浪傳播演化過程進行了數(shù)值模擬研究，給出了波浪從深海到近岸淺水整個區(qū)域上的演化過程。郝建[6]從地形對波浪傳播影響的角度對畸形波的生成概率進行數(shù)值模擬，探討其生成機理。盡管很多學(xué)者都研究了地形對非線性波浪場的影響，但是針對波浪與浮體這部分的耦合研究還有些缺乏。

浮體在非線性波浪作用下會發(fā)生慢漂運動，這一現(xiàn)象很多學(xué)者進行過數(shù)值模擬和物理模型試驗研究。Emmerhoff和Sclavounos[7]針對簡單的單圓柱和4個圓柱陣列的慢漂運動進行過數(shù)值模擬研究，在發(fā)現(xiàn)慢漂運動的同時得到了波浪慢漂阻尼。Naess等[8]采用了Monte Carlo模擬方法預(yù)測了TLP平臺的一階波頻運動和二階慢漂運動，其中水動力部分采用商業(yè)軟件WAMIT進行計算。Molin等[9]對海底有坡度情況下的系纜矩形駁船的慢漂運動進行了物理模型實驗研究，通過比較平均漂移位移和漂移的標(biāo)準(zhǔn)差的實驗數(shù)據(jù)和數(shù)值結(jié)果，發(fā)現(xiàn)原數(shù)值方法在水深較淺時候計算有局限性，并通過改進數(shù)值方法，使數(shù)值模型計算有更好的適用性。近年來，學(xué)者開始對實際海洋工程結(jié)構(gòu)物的慢漂運動進行了分析，Lupton和Langley[10]研究了浮式海上風(fēng)機的慢漂運動，找到了海上風(fēng)機結(jié)構(gòu)中圓柱直徑尺寸與二階漂移運動響應(yīng)的關(guān)系，隨后針對風(fēng)機的尺度規(guī)模對其慢漂運動的影響進行了界定[11]，關(guān)于該風(fēng)機的研究，很多學(xué)者[12-14]通過對商業(yè)軟件WAMIT進行適當(dāng)改進同樣對該風(fēng)機基礎(chǔ)的二階力以及產(chǎn)生的慢漂運動進行了研究。Yazid等[15]使用參數(shù)化的Volterra模型計算了Truss spar平臺的慢漂運動，并且與其他人的實驗結(jié)果進行了對比。Teng和Jin[16]提出了兩次展開方法求解系泊浮體的大幅慢漂運動，該方法對基于初始平衡位置的攝動展開方法進行了改進，適合于浮體發(fā)生大幅慢漂運動時的計算。盡管很多學(xué)者對系泊浮體的慢漂運動都進行了研究，但是他們的研究都是基于水平海底的情況，并沒有考慮海底地形的變化對運動的影響，例如海底坡度的變化或者海底存在某些固定結(jié)構(gòu)物，這些都會對波浪場產(chǎn)生影響，進而影響了系泊浮體的運動。

基于上述背景，本文主要研究了海底地形對系泊浮體慢漂運動的影響，推導(dǎo)了具有海底地形情況下的控制方程和邊界條件，同時給出了積分方程的建立與求解以及波浪力和運動響應(yīng)的求解計算，隨后應(yīng)用該模型研究了海底地形對浮體慢漂運動存在較大影響，分析了浮體位于地形不同位置對其的影響，并進行了定性和定量的分析。

2 理論方法

圖1 Oxyz坐標(biāo)系示意圖Fig.1 Oxyz coordinate system

2.1 控制方程和邊界條件

流體的水動力計算基于繞射理論，假設(shè)波浪沿x軸正向傳播，在水深為d情況下依據(jù)右手螺旋定則建立坐標(biāo)系Oxyz，其中O為坐標(biāo)原點，Oz垂直向上為正，自由水面定義為SF，物體表面定義為SB，將海底看成一固定結(jié)構(gòu)物，定義為SD，具體如圖1所示。

針對速度勢函數(shù)滿足的控制方程和邊界條件，很多學(xué)者進行過詳細的推導(dǎo)，本文同樣將速度勢分解為入射勢φi和散射勢φs，詳細過程可參見文獻Bai和Teng[17]。

由于海底存在地形或者結(jié)構(gòu)物，散射勢的海底邊界條件為

(1)

式中：n為平均物面上的單位法向量，指出流體為正。

2.2 積分方程的建立與求解

(2)

(3)

式中：邊界S包括淹沒于水中的物體平均濕表面SB和從水線到阻尼層外邊界的有限靜水面SF，xr0(xr0,yr0,zr0)表示源點；x(x,y,z)表示場點。

(4)

2.3 波浪力的求解

通過求解積分方程得到物體表面的散射勢之后，作用在瞬時物體濕表面上的壓力通過伯努利方程求解得到，波浪力的求解通過表面壓強積分可以獲得，將其劃分為幾項之和，不同階數(shù)通過ε進行區(qū)分

(5)

各項的具體表達形式同樣見Bai和Teng[17]的文獻，有詳細地介紹，其中二階力激發(fā)了浮體的慢漂運動。

2.4 浮體運動響應(yīng)的計算

求得浮體受到的波浪力后，根據(jù)動量守恒定律，浮體運動響應(yīng)的一階二階運動方程如下

(6)

(7)

圖2 地形和水面的示意圖(已經(jīng)在垂直方向放大15倍)Fig.2 Sketch of the tank bottom and calm water surface (exaggerated 15 times in vertical direction)

3 計算分析

3.1 模型驗證

為了驗證本數(shù)學(xué)模型，現(xiàn)計算波浪經(jīng)過一陡變地形后，波高的變化情況。地形變化前水深為0.457 2 m，經(jīng)過地形變化后水深變?yōu)?.152 4 m，地形簡圖如圖2所示，其顯示已經(jīng)在垂直方向被放大15倍。

在模型中，水深的變化如下式

(8)

圖3 水面波高幅值Fig.3 Wave amplitude on the free surface

進行了兩組規(guī)則波的驗證，波浪條件如下：周期T=2.0 s，波幅A=0.007 5 m和0.010 6 m，kA=0.012和0.017。從計算結(jié)果看，本數(shù)值模型得到的結(jié)果與Shao和Faltinsen[18]于2014年的論文進行對比，Shao和Faltinsen的模型為完全非線性模型，充分考慮了物體表面和自由水面的非線性影響，結(jié)果自然大于二階數(shù)值模型，但是計算趨勢基本一致，但是在最大值附近有所區(qū)別。

3.2 算例分析

經(jīng)過驗證，本數(shù)學(xué)模型可以保證計算海底地形的存在對浮體慢漂運動的影響，現(xiàn)分別將浮體位于坡腳(位置1)，坡上(位置2)和斜坡后方水平地形處(位置3)，如圖4所示，討論海底地形對浮體慢漂運動的影響。

圖4 海底地形對系泊浮體運動影響計算示意圖Fig.4 Sketch of computation of tank bottom on the motion response of mooring floater

分別計算線彈性約束浮體在水平海底和存在海底地形情況下浮體位于不同位置時的慢漂運動，該浮體為一截斷圓柱，半徑R=1.0 m，吃水T=1.0 m，重心和轉(zhuǎn)動中心高度均為-0.5 m，水平方向線剛度為k11=468 N/m，阻尼B11=50 N·s/m，這樣在水平方向系泊浮體的自振頻率為ω0x=0.3 rad/s。海底地形為一線性變化的海底，坡度為45°，環(huán)境條件水深5.0 m，坡上水深為1.5 m，入射波為雙色波，A1=A2=0.1 m，ω1+ω2=6.26 rad/s，差頻Δω不同，具體的ω1和ω2如表1所示。

由于本文計算的是二階問題，計算網(wǎng)格保證每個網(wǎng)格尺寸不大于波長的1/20，基于上述原則，具體數(shù)量如表2所示。

表1 雙色波參數(shù)表Tab.1 Parameters of bichromatic waves rad/s

表2 不同算例網(wǎng)格數(shù)量表Tab.2 Grid number table of different examples

由于算例較多，僅對部分結(jié)果進行展示，圖5和圖6為Δω=0.24 rad/s情況下的浮體受到二階波浪力和慢漂運動結(jié)果對比，圖7和圖8為Δω=0.36 rad/s情況下的浮體受到二階波浪力和慢漂運動結(jié)果對比。

5-a 縱蕩運動

5-b 升沉運動

5-c 縱搖運動圖5 浮體位于海底地形不同位置時二階波浪力時間歷程曲線對比(Δω=0.24 rad/s)Fig.5 Comparisons of time histories of second-order wave force of floater located at different places (Δω=0.24 rad/s)

6-a 縱蕩運動

6-b 升沉運動

6-c 縱搖運動圖6 浮體位于海底地形不同位置時慢漂運動響應(yīng)時間歷程曲線對比(Δω=0.24 rad/s)Fig.6 Comparisons of time histories of slow drift motion of mooring floater located at different places (Δω=0.24 rad/s)

7-a 縱蕩運動

7-b 升沉運動

7-c 縱搖運動圖7 浮體位于海底地形不同位置時二階波浪力時間歷程曲線對比(Δω=0.36 rad/s)Fig.7 Comparisons of time histories of second-order wave force of floater located at different places (Δω=0.36 rad/s)

8-a 縱蕩運動

8-b 升沉運動

8-c 縱搖運動圖8 系泊浮體位于海底地形不同位置時慢漂運動響應(yīng)時間歷程曲線對比(Δω=0.36 rad/s)Fig.8 Comparisons of time histories of slow drift motion of mooring floater located at different places (Δω=0.36 rad/s)

表3 不同Δω下縱蕩慢漂響應(yīng)傅里葉變換的幅值比結(jié)果Tab.3 Amplitude ratios of slow drift motion in surge direction at different Δω

圖9 不同Δω下縱蕩慢漂響應(yīng)傅里葉變換的幅值對比Fig.9 Amplitude comparisons of slow drift motion in surge direction at different Δω

從計算結(jié)果可以看出，和水平海底的運動響應(yīng)對比，當(dāng)存在海底地形時，浮體受到的二階波浪力相位發(fā)生了變化，受力幅值明顯增大，隨之產(chǎn)生的運動響應(yīng)明顯增大，而且當(dāng)浮體位于坡頂平臺處時，運動響應(yīng)最大，因為波浪傳播過程中隨著水深的減小，能量發(fā)生聚集，在坡頂平臺處達到最大，因此此時運動響應(yīng)也最大。同時，運動的相位也與之前有較大差別，同樣是因為波浪經(jīng)過海底地形會發(fā)生反射和繞射現(xiàn)象，導(dǎo)致波浪的相位發(fā)生變化，從而波浪力和運動響應(yīng)的相位也與水平海底有較大區(qū)別。接下來對結(jié)果進行定量分析，將時間歷程曲線進行Fourier分析，針對各個工況得到運動響應(yīng)幅值譜，取其峰值將其結(jié)果統(tǒng)計，如表3所示，由于波浪的差頻只和縱蕩運動的固有頻率比較接近，只能激發(fā)縱蕩方向的慢漂運動，故僅在縱蕩方向進行比較。表中F1、F2和F3分別是浮體初始位置位于位置1、位置2和位置3的運動響應(yīng)幅值譜的峰值與浮體位于水平海底時運動響應(yīng)幅值譜的峰值的比值。

從表3中可知，存在海底地形時，浮體的運動響應(yīng)明顯增大，而且當(dāng)系泊浮體位于坡頂平臺處時，運動響應(yīng)最大，3種情況下浮體的運動響應(yīng)是水平海底情況下的1.38倍、1.46倍和2.08倍，因此海底地形對運動響應(yīng)的影響在計算時務(wù)必認(rèn)真考慮。將結(jié)果放入通過圖形進行表達，其中橫坐標(biāo)為波浪差頻，縱坐標(biāo)為運動響應(yīng)幅值譜的峰值，如圖9所示。

4 結(jié)論

本文采用基于攝動展開的二階時域勢流數(shù)學(xué)模型研究了海底地形對系泊浮體慢漂運動的影響。首先介紹了存在海底地形時邊界條件與傳統(tǒng)水平海底的區(qū)別，然后通過模型驗證證明了本數(shù)學(xué)模型基本可以模擬存在海底地形時水面波高的變化。通過對比水平海底與存在海底地形時系泊浮體的水平慢漂運動，發(fā)現(xiàn)當(dāng)存在海底地形時，截斷圓柱受到的波浪力和漂移幅值明顯增大，相位也與不存在海底地形時有明顯區(qū)別，這是因為海底地形的存在使得波浪在傳播過程中發(fā)生反射和繞射現(xiàn)象，從而改變了波浪場內(nèi)的波高，同時可以看出由于海底存在斜坡，波浪傳播過程中通過斜坡會發(fā)生能量聚集，從而使斜坡附近波高增大，因此截斷圓柱的運動響應(yīng)幅值也增大。因此海底地形對波浪場的影響不能忽略，對系泊浮體的慢漂運動影響更是必須要考慮。通過比較系泊浮體位于斜坡不同位置時的運動響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)系泊浮體位于坡頂平臺處時，運動響應(yīng)最大，并給出了運動響應(yīng)幅值與水平海底情況下的比值，對結(jié)果同時進行了定量和定性的分析。