文小波

摘? 要：該文首先依托樣本與中位數(shù)構(gòu)造了中心差，研究了中心差、中心差絕對(duì)值、中心差平方和的相關(guān)性質(zhì)，并予以了論證。然后將非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)的一些思想引入切尾均值的計(jì)算中，利用中心差絕對(duì)值排秩法來(lái)切除數(shù)據(jù)，利用剩下的數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算切尾均值。最后引入了聚類(lèi)分析的方法來(lái)計(jì)算切尾均值。對(duì)于中心差絕對(duì)值排秩法和聚類(lèi)分析法舉例計(jì)算了某班成績(jī)的切尾均值。

關(guān)鍵詞：中心差? 排秩法? 聚類(lèi)分析? 切尾均值

中圖分類(lèi)號(hào)：O211.1 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2019）12（a）-0216-03

在切尾均值的計(jì)算時(shí)，當(dāng)數(shù)據(jù)為對(duì)稱(chēng)數(shù)據(jù)時(shí)，一般采用等尾切尾就可以達(dá)到較好的效果，此時(shí)的切尾均值就能較好地體現(xiàn)數(shù)據(jù)的平均情況。但當(dāng)數(shù)據(jù)為非對(duì)稱(chēng)數(shù)據(jù)時(shí)，如此時(shí)依然采用等尾切尾就可能會(huì)造成一些較大的誤差。此時(shí)對(duì)數(shù)據(jù)一般采用非等尾切尾，在確定切尾率不變的情況下，兩邊分別取截尾率為和，利用剩下的數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算切尾均值。此時(shí)和的比例的確定方法不唯一，常用圖像觀察法來(lái)確定兩端切尾的比例。圖像法雖然直觀，但有時(shí)不夠嚴(yán)謹(jǐn)?？傮w來(lái)說(shuō)，切尾率的確定以及切尾方式的確立都是一個(gè)較為困難的問(wèn)題。該文提出中心差絕對(duì)值排秩法和聚類(lèi)分析法來(lái)研究切尾均值，在一定程度上簡(jiǎn)化問(wèn)題的思考與計(jì)算。

1? 中心差及其結(jié)論

定義1? 從某總體中抽取樣本，將所得樣本按照從小到大排列為有序樣本，找出中位數(shù)m0.5，稱(chēng)為中心差。

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，中位數(shù)具有穩(wěn)健性，可以代表數(shù)據(jù)的中心。利用樣本和中位數(shù)計(jì)算中心差，這樣算的中心差會(huì)出現(xiàn)正負(fù)抵消的情況，所以一般在研究距離的時(shí)候算的都是正值，即，但由于絕對(duì)值利用的復(fù)雜性，經(jīng)常考慮使用。關(guān)于中心差、中心差絕對(duì)值、中心差平方有如下的一些結(jié)論。

定理1? 中心差，則有。

證明

特別的，當(dāng)時(shí)，。

定理2? 中心差絕對(duì)值，則有：

即，在形如的函數(shù)中，是取值最小

的，其中c為任意給定的常數(shù)。

證明 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，

不妨設(shè)此時(shí)n為奇數(shù)時(shí)，則有，進(jìn)一步設(shè)，其中，則存在這樣的j，使得j+1≤k，且。

由于，則有n=2k-1，則有j-（n-k）=j-k+2，

又由于，所以

[j-（n-k）]（c-m0.5）=[k-j-l]（m0.5-c）=（k-j）（m0.5-c）+（c-m0.5）

從而

得證此時(shí)是同類(lèi)型函數(shù)中取值最小的。

同理可證明? 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，時(shí)亦有此結(jié)論。

同理可證明? 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，也是同類(lèi)型函數(shù)中取值最小的。

定理3? 中心差平方，則有：

證明，，

特別的，當(dāng)時(shí)，，由于樣本S2是同類(lèi)型函數(shù)中取值最小的，所以有在形如的函數(shù)中，是取值最小的，其中α為任意給定的常數(shù)。

2? 利用中心差排秩

引入非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)的一些方法來(lái)思考切尾均值問(wèn)題，m0.5為中位數(shù)，中心差出現(xiàn)的正負(fù)號(hào)幾乎是一樣多的，所以利用符號(hào)檢驗(yàn)的思想，只關(guān)注正負(fù)號(hào)的個(gè)數(shù)是很難起到效果的，可以利用符號(hào)秩和的思想來(lái)思考。雖然中心差出現(xiàn)的正負(fù)號(hào)幾乎一樣多，但是正負(fù)中心差的絕對(duì)值大小不一樣，分別計(jì)算其正秩和和負(fù)秩和，一般來(lái)說(shuō)數(shù)據(jù)較為均衡的時(shí)候，其正負(fù)秩和應(yīng)該大小一致，總秩和越接近零，兩端相對(duì)均衡，當(dāng)秩和離零較遠(yuǎn)，說(shuō)明中位數(shù)兩端部分不均勻。當(dāng)然由于從非參數(shù)方法中引入的符號(hào)秩和的結(jié)論有時(shí)精度不是特別高，故還是進(jìn)一步尋求排秩法來(lái)研究切尾均值。

在考慮切尾的時(shí)候，可以對(duì)中心差絕對(duì)值排秩，秩次越小說(shuō)明μi越接近零，數(shù)據(jù)離中位數(shù)越近。對(duì)于相同秩次，即結(jié)的問(wèn)題，可以借鑒一般非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)的處理方式，為了計(jì)算的需要該文中采用平均秩次的表示方式，即兩個(gè)并列第一的話(huà)，按照1.5名來(lái)計(jì)算其秩次，這樣保證了其秩和為3。將排秩后的數(shù)據(jù)按照切尾比例（一般為10%）切除數(shù)據(jù)。這樣思考的優(yōu)勢(shì)是不用考慮兩邊分別的切尾率，只需算一個(gè)總體的切尾率，將較大部分的|μi|按照切尾率切除即可。完全由數(shù)值大小來(lái)決定切除的數(shù)據(jù)。將離中位數(shù)較遠(yuǎn)部分的數(shù)值切除，可能是單側(cè)切尾，也可能是雙側(cè)切尾，可能是等尾切尾，也可能是非等尾切尾，完全由數(shù)據(jù)與切尾率來(lái)決定切除的數(shù)值，簡(jiǎn)化了運(yùn)算與思考。通過(guò)下面例題來(lái)使用中心差絕對(duì)值排秩法來(lái)求解切尾均值。

例1? 某班有51個(gè)同學(xué)，獲得其某次考試成績(jī)?nèi)缦滤?，利用中心差排秩法，切尾率?0.1，來(lái)計(jì)算其切尾均值。

69? 69? 73? 61? 55? 76? 59? 40? 66? 48? 42? 56? 54? 68? 70? 55? 67? 71? 42? 67? 78? 83? 67? 67? 49? 79? 68? 66? 62? 71? 60? 66? 48? 62? 78? 75? 62? 76? 82? 70? 61? 65? 60? 72? 65? 65? 70? 65? 81? 85? 80

解? 將數(shù)據(jù)錄入SPSS軟件之中，通過(guò)個(gè)案排秩，將數(shù)據(jù)排序，并找出中位數(shù)=67，通過(guò)計(jì)算變量選項(xiàng)計(jì)算，得出中心差μi，然后計(jì)算中心差絕對(duì)值|μi|，然后將中心差絕對(duì)值|μi|進(jìn)行個(gè)案排秩，按照預(yù)先給定的切尾率α=0.1，切除|μi|較大的10個(gè)數(shù)據(jù)，其較小部分切除的是4個(gè)數(shù)，較大數(shù)字部分切除的是6個(gè)數(shù)，由數(shù)據(jù)本身的特點(diǎn)決定了其非等尾切尾的情況，利用剩下的41個(gè)數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算切尾均值。數(shù)據(jù)較多，在此不一一呈現(xiàn)其具體軟件操作步驟了。給出其最終結(jié)果=66.9756。

利用中心差絕對(duì)值排秩法可以在一定程度上簡(jiǎn)化切尾均值的計(jì)算，可以推廣到其他需要運(yùn)算切尾均值的地方。

3? 利用聚類(lèi)分析計(jì)算切尾均值

聚類(lèi)分析是一種常用的多元統(tǒng)計(jì)分析方法，主要用于處理高維數(shù)據(jù)。該文將聚類(lèi)分析的思想和方法引入切尾均值之中，而一般情況下切尾均值所研究的數(shù)據(jù)多為一維數(shù)據(jù)。K-均值聚類(lèi)法是一種可以將樣本指定聚為幾類(lèi)的一種快速聚類(lèi)方法，將樣本聚為3類(lèi)，選取其中最具代表性的第二類(lèi)（中間類(lèi)）來(lái)計(jì)算其切除數(shù)據(jù)后剩下樣本的均值。通過(guò)如下例題來(lái)加以分析。

例2? 依然采用例1中的51個(gè)同學(xué)的英語(yǔ)成績(jī)的數(shù)據(jù)，利用聚類(lèi)分析法來(lái)計(jì)算其切尾均值。

解? 將數(shù)據(jù)錄入SPSS軟件之中，通過(guò)K-均值快速聚類(lèi)分析，將樣本分為3類(lèi)，在此給出其最終的聚類(lèi)中心和聚類(lèi)案例數(shù)。

通過(guò)分析操作得出中間類(lèi)別的案例數(shù)為26個(gè)，利用其算得切尾均值=63.5769，與中間類(lèi)的聚類(lèi)中心較為一致。當(dāng)然此算法中樣本切尾率將近50%了，切除較多，可能會(huì)影響到數(shù)據(jù)真實(shí)的結(jié)論。

當(dāng)然也可以利用系統(tǒng)聚類(lèi)法，將數(shù)據(jù)聚類(lèi)，利用其聚類(lèi)圖或者冰柱圖，來(lái)分析其數(shù)據(jù)聚集形式，切除離群較遠(yuǎn)的類(lèi)別或者數(shù)據(jù)，利用剩下的數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算切尾均值。

利用聚類(lèi)分析來(lái)研究切尾均值，由數(shù)據(jù)本身來(lái)決定切尾部分，可能會(huì)使得切除部分過(guò)大，一般難以按照預(yù)先的切尾率來(lái)切除數(shù)據(jù)。如在指定切尾率的情況下，可以指定m0.5以為聚類(lèi)中心，將離聚類(lèi)中心較近的保留水平下的數(shù)據(jù)聚為一類(lèi)，其余的數(shù)字為其他部分，類(lèi)似于高等數(shù)學(xué)中的一維數(shù)軸上的鄰域的思想?？梢杂梅侄魏瘮?shù)的調(diào)用完成數(shù)據(jù)的篩選，最后利用保留的數(shù)字來(lái)計(jì)算切尾均值。在此不予贅述。

4? 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)中心差的計(jì)算，利用個(gè)案排秩來(lái)計(jì)算切尾均值，是把假設(shè)檢驗(yàn)的思想引入了切尾均值的計(jì)算之中，利用聚類(lèi)分析來(lái)計(jì)算切尾均值是引入了多元統(tǒng)計(jì)分析方法的聚類(lèi)分析思想。同樣，可以思考將其他的一些分析方法與切尾均值的計(jì)算相結(jié)合，相信亦可得到較好的結(jié)論。將該文所研究的方法推廣到更廣范圍的切尾均值的計(jì)算，亦會(huì)有良好的結(jié)果，在實(shí)際運(yùn)用中要注意傳統(tǒng)切尾均值的計(jì)算方法與新方法的對(duì)比，挑選出合適的切尾均值計(jì)算方法。

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