蘇 程， 葉佳楠， 李 巍， 丁旺才， 趙志剛

(蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 蘭州 730070)

用小型吊運(yùn)設(shè)備組合形成一個(gè)大負(fù)載緊耦合多機(jī)聯(lián)合吊運(yùn)系統(tǒng)，從實(shí)用性、經(jīng)濟(jì)性等方面考慮都是值得期待的.為了使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，一般情況下該類緊耦合系統(tǒng)為典型的欠約束定位系統(tǒng).可應(yīng)用于戰(zhàn)時(shí)橋梁的快速架設(shè)，以及民用橋梁的分段精確定位架接等.從類型上講，多機(jī)協(xié)調(diào)并聯(lián)吊運(yùn)系統(tǒng)屬于柔索并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)，但與傳統(tǒng)意義柔索并聯(lián)機(jī)器人又有很大的區(qū)別，后者將柔索的一端固定做成特定的運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)，通過(guò)調(diào)整柔索長(zhǎng)度以實(shí)現(xiàn)被吊運(yùn)物的期望運(yùn)動(dòng)位姿，其本質(zhì)是一個(gè)單體機(jī)器人，故系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可重組性、通用性和模塊化顯得不足.多機(jī)協(xié)調(diào)并聯(lián)吊運(yùn)系統(tǒng)是由模塊化串聯(lián)吊運(yùn)機(jī)構(gòu)組成，模塊化串聯(lián)吊運(yùn)機(jī)構(gòu)可以是飛行機(jī)器人、工業(yè)機(jī)器人和常規(guī)起重設(shè)備等.欠約束多機(jī)協(xié)調(diào)吊運(yùn)系統(tǒng)通過(guò)調(diào)整串聯(lián)吊運(yùn)機(jī)器人機(jī)構(gòu)末端位置和柔索長(zhǎng)度實(shí)現(xiàn)被吊運(yùn)物的位姿，故欠約束多機(jī)協(xié)調(diào)吊運(yùn)系統(tǒng)具有很大的靈活性、通用性和工作空間.

目前國(guó)內(nèi)外關(guān)于欠約束多機(jī)協(xié)調(diào)吊運(yùn)系統(tǒng)的研究剛剛起步，柔索并聯(lián)機(jī)器人的研究成果可為該類多機(jī)器人系統(tǒng)的研究提供有價(jià)值的借鑒.欠約束多機(jī)協(xié)調(diào)吊運(yùn)系統(tǒng)的一個(gè)主要研究方向是利用多架無(wú)人直升機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn)三維空間吊運(yùn)操作.有許多學(xué)者探討了多直升機(jī)吊運(yùn)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)模型，并分析了系統(tǒng)的空間配置及穩(wěn)定性[1-5].

另一個(gè)研究方向?yàn)槎嗟孛鏅C(jī)器人系統(tǒng)對(duì)物體的吊運(yùn)操作.Zi等[6]建立了3臺(tái)起重機(jī)吊運(yùn)一個(gè)重物的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型，并分析了其工作空間，但只考慮了起重機(jī)末端的投影點(diǎn)始終保持正三角形的情況，且僅能變化繩長(zhǎng)來(lái)改變重物姿態(tài)，起重機(jī)的末端是固定不動(dòng)的，這種情況下多機(jī)系統(tǒng)與單體繩牽引并聯(lián)機(jī)器人類似.也有學(xué)者應(yīng)用運(yùn)動(dòng)旋量斜率對(duì)多機(jī)器人吊運(yùn)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性進(jìn)行了研究[7].近年來(lái)趙志剛等[8-12]建立了多機(jī)協(xié)調(diào)并聯(lián)吊運(yùn)系統(tǒng)的正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)模型，并探討各種構(gòu)型下系統(tǒng)的求解方法，同時(shí)分析求解了系統(tǒng)的靜態(tài)工作空間.

對(duì)于欠約束多機(jī)協(xié)調(diào)吊運(yùn)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，動(dòng)力學(xué)工作空間可以拓寬系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)范圍，到達(dá)一些特定的位姿，故研究系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)工作空間是非常有必要的.動(dòng)力學(xué)工作空間是指被吊運(yùn)物滿足動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，被吊運(yùn)物質(zhì)心所在的空間位姿的集合.文獻(xiàn)[13]中利用Farkas和Stiemke引理對(duì)不完全約束和完全約束兩類繩牽引并聯(lián)機(jī)器人工作空間的邊界進(jìn)行了研究，其在仿真過(guò)程中，固定了參數(shù)值，這樣只給出了二維的層圖.本文將在其基礎(chǔ)上，利用Farkas和Stiemke引理，求解前人研究較少的欠約束多機(jī)協(xié)調(diào)吊運(yùn)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)工作空間，同時(shí)利用蒙特·卡羅方法，數(shù)值求解得到系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)工作空間的整體效果圖.

圖1 系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of system

1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

圖1所示為m臺(tái)吊機(jī)通過(guò)繩索牽引n自由度被吊運(yùn)物的示意圖.圖中，每個(gè)吊機(jī)末端通過(guò)一根繩索與被吊運(yùn)物連接.繩索與吊機(jī)末端的連接點(diǎn)為Pm，可通過(guò)改變連接點(diǎn)Pm的位置和改變繩長(zhǎng)來(lái)實(shí)現(xiàn)被吊運(yùn)物的位姿變化.繩索與被吊運(yùn)物的連接點(diǎn)為Bm.

建立全局坐標(biāo)系O-XYZ，在被吊運(yùn)物質(zhì)心上建立局部坐標(biāo)O′-X′Y′Z′.被吊運(yùn)物質(zhì)心O′在全局坐標(biāo)系O-XYZ的位置為

r=[xyz]T

(1)

設(shè)被吊運(yùn)物的質(zhì)量為M，重力加速度為g，則重力用零節(jié)距的單位旋量在全局坐標(biāo)系表示為

G=-Mg[ir×i]T,i=[0 0 1]T

(2)

被吊運(yùn)物在全局坐標(biāo)系的速度和角速度分別為

被吊運(yùn)物在局部坐標(biāo)系中的慣性矩陣為I，則在全局坐標(biāo)系中的慣性矩陣為

I′=RIRT

(5)

(6)

式中：R為局部坐標(biāo)系相對(duì)于全局坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣；γ、β和α分別為局部坐標(biāo)系相對(duì)于全局坐標(biāo)系的X、Y和Z軸的旋轉(zhuǎn)角度；c和s分別為cos和sin.設(shè)每根繩的張力分別為T(mén)1,T2, …,Tm，對(duì)被吊運(yùn)物利用牛頓-歐拉方程可得

(7)

式中：I3為3×3單位矩陣；T=[T1T2…Tm]為m根繩的拉力組成的m維列矩陣.

對(duì)式(7)進(jìn)行變形，則被吊運(yùn)物的動(dòng)力學(xué)方程可表示為

AT=C

(8)

式中：C為n維列矩陣，表示作用在被吊運(yùn)物上的所有外力旋量之和(包括被吊運(yùn)物的重力、慣性力等)，

(9)

滿足

A=[e1e2…em]∈Rn×m

(10)

矩陣A是由m個(gè)旋量ei構(gòu)成，

(11)

li=Pi-RBi-r

(12)

i=1,2,…,m

式中：Pi為機(jī)器人位置Pi在全局坐標(biāo)系下的位置矢量；Bi為繩與被吊運(yùn)物的連接點(diǎn)Bi在全局坐標(biāo)系下的位置矢量.

2 動(dòng)力學(xué)工作空間條件分析

首先對(duì)m≥1+n時(shí)的過(guò)約束、完全約束系統(tǒng)和m=n時(shí)的不完全約束系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)工作空間做簡(jiǎn)要分析.隨后主要討論m

(1) 當(dāng)m≥1+n時(shí)，可利用矢量封閉原理的求解方法，結(jié)合蒙特·卡羅算法隨機(jī)產(chǎn)生單個(gè)機(jī)器人工作范圍內(nèi)的位置坐標(biāo)或者利用掃描法逐行產(chǎn)生單個(gè)機(jī)器人的位置坐標(biāo).當(dāng)m≥1+n時(shí)滿足矢量封閉原理的條件，在結(jié)構(gòu)矩陣A不發(fā)生降秩的條件下，AT=C可以轉(zhuǎn)換成如下形式:

T=A+C+(Im-A+A)k

(13)

式中：A+為結(jié)構(gòu)矩陣A的M-P偽逆；k為m維的任一向量；Im為m×m的單位矩陣.要保證每根繩的拉力Ti都大于零，根據(jù)矩陣的相關(guān)知識(shí)，只要式(13)中的右邊第2項(xiàng)足夠大時(shí)，就能使T中的每個(gè)元素都為正.因此，(I-A+A)中每個(gè)元素都為正時(shí)，能保證T中的每個(gè)元素都為正.

(2) 當(dāng)m=n時(shí)，可以將重力看成一根特殊的虛擬繩索，該繩的方向始終為重力方向，拉力大小為重力大小，這樣相當(dāng)于有m+1根繩，使其滿足力封閉條件，這時(shí)動(dòng)力學(xué)方程可變換成：

(14)

式中：j=[0 0 -1 -yx0]T.這樣也可以利用力封閉求解算法，并結(jié)合蒙特·卡羅算法隨機(jī)產(chǎn)生單個(gè)機(jī)器人工作范圍內(nèi)的位置坐標(biāo)或者利用掃描法逐行產(chǎn)生單個(gè)機(jī)器人的位置坐標(biāo).

(3) 當(dāng)m

由于動(dòng)力學(xué)方程AT=C的形式滿足動(dòng)力學(xué)空間的標(biāo)準(zhǔn)是每根繩的拉力都大于零(即T>0)，在研究過(guò)程中可以考慮T=0的時(shí)候作為工作空間的邊界，所以動(dòng)力學(xué)工作空間的條件可以表述為

AT=C，T≥0

(15)

本文基于Farkas和Stiemke引理分析欠約束多機(jī)器人繩牽引系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)工作空間條件：

(1) 基于Farkas引理分析.設(shè)A∈Rn×m，C∈Rn，則下面2組關(guān)系式：

有且僅有一組有解.

Farkas引理的幾何解釋是考慮q作為一個(gè)分離超平面的法向量，這個(gè)超平面分離了2個(gè)集合，一個(gè)是由A中各個(gè)列向量組合而成的凸錐，另外一個(gè)是向量C.這個(gè)凸錐是A中所有單位旋量ei組成的空間.如果向量C不屬于這個(gè)凸錐的空間，則說(shuō)明這個(gè)超平面存在，這樣式(17)有解，也就說(shuō)明式(16)無(wú)解.因此，要使動(dòng)力學(xué)工作空間的條件成立，即式(16)有解，就必須不能形成分離的超平面.

這其中有一種特殊情況，C位于超平面上，這樣CTq=0，顯然式(17)無(wú)解，這樣式(16)也有解.由于q是法向量，是一些向量的叉積而成，不可能為零向量，對(duì)于CTq=0，會(huì)有2種情況：①C≠0，這樣會(huì)導(dǎo)致部分的繩拉力大小為零，可以作為工作空間的邊界.②C=0，零向量必共面，如果C=0，則式(15)變成了如下形式：

AT=0，T≥0

(18)

從式(18)可以看出，總存在一組解T=0使式(18)成立.如果T=0即每根繩的張力都為0，但從實(shí)際的角度，不可能每根繩的張力都為0卻能對(duì)被吊運(yùn)物實(shí)施牽引運(yùn)動(dòng).因此，式(18)將變成如下形式：

AT=0，T>0

(19)

對(duì)于式(19)可以利用Stiemke引理進(jìn)行分析.

(2) 基于Stiemke引理分析.設(shè)A∈Rn×m，則下面2組關(guān)系式：

有且僅有一組有解.

Stiemke引理的幾何解釋是考慮q作為一個(gè)支撐超平面的法向量，使凸錐A位于這個(gè)支撐超平面的一邊.如果這個(gè)支撐超平面存在，這樣式(21)有解，也就說(shuō)明式(20)無(wú)解.因此，要使動(dòng)力學(xué)工作空間的條件成立，即式(20)有解，就必須不能形成支撐超平面.

總之，通過(guò)對(duì)Farkas和Stiemke引理的幾何解釋可以看出，要使達(dá)到動(dòng)力學(xué)工作空間的條件即式(16)或式(20)有解，就不能形成分離超平面或支撐超平面.

3 欠約束系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)工作空間求解

3.1 求解方法

動(dòng)力學(xué)工作空間的求解方法是先通過(guò)動(dòng)力學(xué)方程組判斷屬于哪類超平面，再利用單位旋量ei通過(guò)不同的組合形成待測(cè)定的超平面，然后再測(cè)試剩余的單位旋量ei和C來(lái)判斷待測(cè)定的超平面是否是分離超平面或支撐超平面，在測(cè)試的過(guò)程中需要測(cè)試所有可能的組合形式，來(lái)排除形成分離超平面或支撐超平面的可能性.具體測(cè)試步驟如下：

(1)A是由m個(gè)單位旋量ei構(gòu)成，每個(gè)單位旋量是一個(gè)n維的列向量.由于超平面是n-1維子空間的平移，因此，待測(cè)定的超平面由n-1個(gè)線性無(wú)關(guān)的單位旋量構(gòu)成，超平面的法向量是n-1個(gè)單位旋量的叉積，可以表示為

(22)

式中：kn為標(biāo)準(zhǔn)的基向量；ei,j為第i個(gè)單位旋量的第j個(gè)元素.

(2) 根據(jù)2個(gè)引理測(cè)試待測(cè)定的超平面是不是分離超平面或支撐超平面：

3.2 特殊情況分析

在測(cè)試的過(guò)程中存在sgn=0的特殊情況，對(duì)于Farkas引理，如上述提及的當(dāng)C位于超平面上的情況，這樣sgn(CTq)=0.由于法向量q是n-1個(gè)單位旋量的叉積構(gòu)成，同時(shí)A中的單位旋量是線性無(wú)關(guān)的，所以q不可能為零向量.那么存在sgn=0的特殊情況的原因除了上述提到的C=0時(shí)的情況，另一種解釋是C≠0，但位于超平面上，剩余沒(méi)有形成q的單位旋量必位于超平面的一邊.由于AT=C，是由單位旋量通過(guò)非負(fù)的組合形成C，同時(shí)單位旋量不可能為零向量，但是位于超平面一邊的剩余單位旋量非負(fù)組合形成一個(gè)向量時(shí)不可能與超平面共面，也就不能形成超平面上的C，因此只可能是剩余的單位旋量對(duì)應(yīng)的T中部分拉力為零.對(duì)于部分拉力為零的情況，可以作為工作空間的邊界.同理，對(duì)于Stiemke引理時(shí)，一些剩余單位旋量位于超平面上，可考慮部分繩拉力為零，這樣雖不滿足式(19)，但能使式(15)成立.

在特殊情況測(cè)試中，除了能形成法向量q，還需要計(jì)算剩余的單位旋量sgn，因此，對(duì)于Farkas引理，應(yīng)滿足m-n+1≥1，即m≥n.對(duì)于Stiemke引理，應(yīng)滿足m-n+1≥2，即m≥n+1.因此，當(dāng)m≥n時(shí)，可以直接利用Farkas引理或者Stiemke引理.但是本文研究的欠約束時(shí)即m

m=1或m=2時(shí)很難實(shí)現(xiàn)對(duì)被吊運(yùn)物的控制，故主要研究的是m≥3且3

對(duì)于Stiemke引理的條件m≥n+1，部分情況下無(wú)法使用；同時(shí)也可以看出，當(dāng)C=0時(shí)，使用的范圍也有局限，適用于被吊運(yùn)物的重力、慣性力等被其它外力平衡掉或者為零.

4 動(dòng)力學(xué)工作空間計(jì)算分析

4.1 計(jì)算步驟

在仿真過(guò)程中，對(duì)于Farkas引理，可以給定被吊運(yùn)物的位移加速度、角速度、角加速度的范圍，再利用蒙特·卡羅方法隨機(jī)產(chǎn)生被吊運(yùn)物的位移加速度、角速度、角加速度具體值，這樣C就已知了.動(dòng)力學(xué)工作空間的仿真步驟如下：

(1) 先通過(guò)已知條件判斷是利用Farkas引理還是Stiemke引理，將動(dòng)力學(xué)方程拆分成2部分.

(2) 確定每個(gè)機(jī)器人的空間范圍即Pm點(diǎn)的范圍.

(3) 通過(guò)機(jī)器人的空間范圍確定被吊運(yùn)物的位置r范圍和姿態(tài)范圍.對(duì)于Farkas引理，給定被吊運(yùn)物的位移加速度、角速度、角加速度的范圍.

(4) 利用蒙特·卡羅方法隨機(jī)循環(huán)N次，每次循環(huán)隨機(jī)產(chǎn)生每個(gè)機(jī)器人的位置Pm、被吊運(yùn)物的位姿和被吊運(yùn)物的位移加速度、角速度、角加速度.

(5) 在每次循環(huán)周期內(nèi)，計(jì)算出每根繩長(zhǎng)，并分別計(jì)算出拆分后的2組結(jié)構(gòu)矩陣A，判斷A是否發(fā)生降秩.如果發(fā)生降秩，本循環(huán)停止，進(jìn)入下一循環(huán).如果不發(fā)生降秩，則對(duì)試待測(cè)定的超平面進(jìn)行判斷，是否為分離超平面或者支撐超平面.如果是，則本循環(huán)停止，進(jìn)入下一循環(huán).如果不是，則重復(fù)測(cè)試，直到測(cè)試完該循環(huán)下的全部組合形式都不是分離超平面或者支撐超平面，同時(shí)拆分后的2組方程組應(yīng)同時(shí)滿足要求，否則本循環(huán)停止，進(jìn)入下一循環(huán).

(6) 每次循環(huán)周期內(nèi)，如果全部組合形式下都不是分離超平面或者支撐超平面，則此次循環(huán)內(nèi)，被吊運(yùn)物的質(zhì)心位置屬于動(dòng)力學(xué)工作空間的點(diǎn)，記錄下此時(shí)的空間坐標(biāo).

(7) 重復(fù)步驟(5)和(6)，直至N次循環(huán)完成，最后輸出動(dòng)力學(xué)工作空間的圖形.

4.2 仿真結(jié)果分析

為了實(shí)驗(yàn)的方便性和安全性，以3臺(tái)直角坐標(biāo)機(jī)器人協(xié)同吊運(yùn)6自由度被吊運(yùn)物為實(shí)體實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，單個(gè)直角坐標(biāo)機(jī)器人末端的工作空間范圍為長(zhǎng)方體.設(shè)直角坐標(biāo)系機(jī)器人X、Y、Z方向的長(zhǎng)度分別為 0.8、0.5 和 0.5 m.在地面上建立全局坐標(biāo)系，每個(gè)機(jī)器人Z軸方向高度為 1.5 m. 3臺(tái)機(jī)器人在全局坐標(biāo)系中XOY平面擺放示意圖如圖2所示.

圖2 3臺(tái)機(jī)器人XOY平面示意圖Fig.2 Schematic diagram of the XOY plane of the three robots

設(shè)被吊運(yùn)物為一正三角形物體，三角形的頂點(diǎn)分別為B1、B2和B3，也是繩索與被吊運(yùn)物的連接點(diǎn)，三角形中心到各頂點(diǎn)的距離d=0.1 m，被吊運(yùn)物的質(zhì)量M=10 kg.每個(gè)機(jī)器人末端點(diǎn)Pm的空間范圍和初設(shè)的被吊運(yùn)物質(zhì)心O′的空間范圍在全局坐標(biāo)系中的表達(dá)式：

(23)

(24)

(25)

(26)

式中：被吊運(yùn)物的姿態(tài)角范圍為[0, 1] rad；被吊運(yùn)物的X、Y、Z軸方向位移加速度范圍都為[-1, 1] m/s2；被吊運(yùn)物分別繞X、Y、Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度范圍都為[0, 1] rad/s2；被吊運(yùn)物分別繞X、Y、Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度范圍都為[0, 1] rad/s.

圖3 被吊運(yùn)物的動(dòng)力學(xué)工作空間Fig.3 Dynamic workspace of the payload

按照第4.1節(jié)中的動(dòng)力學(xué)工作空間的計(jì)算步驟，共循環(huán)1×105次，共得到 10 159 個(gè)滿足要求的被吊運(yùn)物的位置點(diǎn).被吊運(yùn)物動(dòng)力學(xué)工作空間整體效果圖如圖3所示.該圖是保證繩的拉力T≥0的工作空間，因此是包括部分繩的拉力為零作為邊界的工作空間.動(dòng)力學(xué)工作空間在XOY平面、YOZ平面以及XOZ平面的投影圖如圖4～6所示.

從圖4的XOY平面可以看出，工作空間整體大致關(guān)于y=x的平面對(duì)稱，且離原點(diǎn)越遠(yuǎn)越密集.從圖5和圖6可以看出，工作空間的下端比上端要密集些.

圖4 XOY平面投影圖Fig.4 XOY plane projection

圖5 YOZ平面投影圖Fig.5 YOZ plane projection

圖6 XOZ平面投影圖Fig.6 XOZ plane projection

在仿真中，確定了空間參數(shù)以后，還限定了角速度、角加速度和線性加速度的范圍，但上述動(dòng)力學(xué)工作空間的分析中并沒(méi)有限制繩索的拉力范圍，只是需要判斷拉力的正負(fù).故可推斷：在確定的空間和結(jié)構(gòu)參數(shù)條件下，被吊運(yùn)物角加速度和線性加速度的范圍的變化對(duì)動(dòng)力學(xué)工作空間影響不大.

為了驗(yàn)證以上推論再做一組仿真，將上述的被吊運(yùn)物的X、Y和Z軸方向位移加速度范圍都變?yōu)閇-5, 5] m/s2，被吊運(yùn)物分別繞X、Y和Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度范圍都變?yōu)閇0, 2] rad/s2，被吊運(yùn)物分別繞X、Y和Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度范圍都變?yōu)閇0, 2] rad/s，其他參數(shù)都不變，這樣C的范圍發(fā)生了變化.同樣，按照第4.1節(jié)中的動(dòng)力學(xué)工作空間的仿真步驟，共循環(huán)1×105次，共得到 10 244 個(gè)滿足要求的被吊運(yùn)物的位置點(diǎn).

分別對(duì)比2組仿真結(jié)果圖，發(fā)現(xiàn)形狀基本一樣，滿足要求的點(diǎn)的個(gè)數(shù)也相差不多.由于篇幅的限制，第2組仿真結(jié)果就不再圖示.說(shuō)明C的范圍對(duì)動(dòng)力學(xué)工作空間影響不大，這是因?yàn)閯?dòng)力學(xué)工作空間重點(diǎn)考慮的是保證繩的拉力T≥0，至于繩的拉力具體多大未予考慮，同時(shí)從測(cè)試步驟中sgn的計(jì)算也可以看出，重點(diǎn)只考慮了符號(hào)的正負(fù)和是否形成分離超平面或者支撐超平面，大小則無(wú)關(guān).因此，C的范圍只是影響繩的拉力值大小，而無(wú)法影響繩拉力的正負(fù).

5 結(jié)論

通過(guò)對(duì)欠約束多機(jī)協(xié)調(diào)吊運(yùn)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)工作空間的分析，得出以下結(jié)論：

(1) 在動(dòng)力學(xué)工作空間中，通過(guò)比較動(dòng)力學(xué)方程與Farkas和Stiemke引理的關(guān)系，得出要使動(dòng)力學(xué)工作空間的條件成立，就必須不能形成分離超平面或支撐超平面.

(2) 在動(dòng)力學(xué)工作空間中，當(dāng)系統(tǒng)為欠約束時(shí)，無(wú)法直接使用Farkas和Stiemke引理來(lái)求解動(dòng)力學(xué)工作空間，但對(duì)m≥3時(shí)，可以通過(guò)拆分動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行調(diào)整，最后能夠得到動(dòng)力學(xué)工作空間.

(3) 通過(guò)對(duì)比不同被吊運(yùn)物的加速度范圍時(shí)的動(dòng)力學(xué)工作空間仿真圖，發(fā)現(xiàn)被吊運(yùn)物的加速度對(duì)動(dòng)力學(xué)工作空間影響不大.