張文顥 李永健 張衛(wèi)華

1.西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 ，610031 2.五邑大學(xué)軌道交通學(xué)院，江門，529020 3.西華大學(xué)汽車測(cè)控與安全四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都，610039

0 引言

軸箱軸承是列車轉(zhuǎn)向架中的關(guān)鍵部件，同時(shí)也是易損部件。軸箱軸承發(fā)生故障后直接影響列車的動(dòng)力學(xué)性能，嚴(yán)重時(shí)可導(dǎo)致脫軌[1],因此及時(shí)發(fā)現(xiàn)和診斷軸箱軸承故障具有重要意義。滾動(dòng)軸承診斷方法主要有振動(dòng)信號(hào)診斷方法、溫度診斷方法、聲音診斷方法，其中振動(dòng)信號(hào)診斷方法應(yīng)用最為廣泛且易于實(shí)時(shí)在線監(jiān)測(cè)[2]。目前主要的降噪方法有很多，如本征時(shí)間尺度分解[3]、小波閾值降噪[4]、經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解[5]以及集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解等。

近年來(lái)，基于稀疏表示理論[6]的信號(hào)處理方法在圖像處理[7]、語(yǔ)音識(shí)別[8]、壓縮感知[9]等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。由于旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障的特征成分在整體信號(hào)中往往表現(xiàn)出稀疏性，因此有越來(lái)越多的學(xué)者嘗試將稀疏表示理論應(yīng)用于機(jī)械故障診斷領(lǐng)域，并取得了一定的成果。稀疏表示的基本思想是從冗余字典中選取具有最佳線性組合的原子對(duì)原信號(hào)線性表示。目前，稀疏表示理論的研究主要分為兩個(gè)方面：冗余字典的構(gòu)造和稀疏系數(shù)的求解。字典的構(gòu)造方式主要有兩種：①基于已有分析字典及其組合的構(gòu)造方式；②基于字典自學(xué)習(xí)的構(gòu)造方式[10]。分析字典雖然具有詳細(xì)的數(shù)學(xué)描述，且目前該方法研究較為深入，但是這種基于固定數(shù)學(xué)公式的字典構(gòu)造方法存在適應(yīng)性不足的缺點(diǎn)。字典自學(xué)習(xí)的構(gòu)造方法(如K-SVD、最佳方向法等)是近年來(lái)較新的研究方向，該方法能夠根據(jù)原信號(hào)自適應(yīng)地進(jìn)行訓(xùn)練，從而得到匹配度更高的原子庫(kù)。對(duì)于稀疏系數(shù)求解，目前經(jīng)典的算法為基追[11](basis pursuit，BP)和匹配追蹤[12](matching pursuit，MP)。在MP算法的基礎(chǔ)上人們又相繼提出了正交匹配追蹤[13](orthogonal matching pursuit，OMP)、批處理正交匹配追蹤[14](batch orthogonal matching pursuit，Batch-OMP)等算法，克服了MP算法存在過(guò)匹配的現(xiàn)象。文獻(xiàn)[15]在圖像處理領(lǐng)域提出了一種基于層次化的分塊正交匹配(hierarchized block wise orthogonal matching pursuit，HBW-OMP)算法，與傳統(tǒng)的MP算法和OMP算法相比，該方法的表示結(jié)果在小波域具有更好的稀疏性。文獻(xiàn)[16]在HBW-OMP的基礎(chǔ)上優(yōu)化了原子的選取方法并應(yīng)用于音頻文件壓縮處理，取得了良好的效果。本文利用層次化選擇的分塊正交匹配方法(hierarchized block wise optimized orthogonal matching pursuit, HBW-OOMP)方法的高稀疏性和運(yùn)算速度快等優(yōu)點(diǎn)，與K-奇異值分解(K singular value decomposition, K-SVD)字典相結(jié)合，對(duì)軸承振動(dòng)信號(hào)完成重要特征提取，并進(jìn)行故障診斷。

1 冗余字典構(gòu)造

K-SVD是一種字典自學(xué)習(xí)的訓(xùn)練算法[14]，其核心思想是通過(guò)約束問(wèn)題的稀疏表征和奇異值分解更新算法交替進(jìn)行，最終得到自適應(yīng)的冗余字典。相比其他由固定基底擴(kuò)張出來(lái)的冗余字典(如DCT、小波基、Gabor字典等)，K-SVD自適應(yīng)性更強(qiáng)，方法更為高效。K-SVD字典訓(xùn)練方法主要步驟如下：

(1)字典D的初始化，可直接將訓(xùn)練信號(hào)按列賦值到初始字典D或者采用隨機(jī)數(shù)生成。

(2)采用稀疏表示系數(shù)求解算法以下式為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行系數(shù)求解：

(1)

式中，xi為原信號(hào)向量；ai為稀疏系數(shù)向量。

(3)更新字典。對(duì)字典D中任意第k列都按下式更新:

(2)

利用奇異值分解對(duì)Ek進(jìn)行更新。

(4)字典更新完成后，重復(fù)步驟(2)和步驟(3)，直到滿足迭代終止條件。

2 稀疏系數(shù)求取

假設(shè)采集的原信號(hào)為y∈Rn，冗余字典D∈Rn×q，根據(jù)稀疏表示理論，原信號(hào)y可表示為

(3)

式中，qi為字典D中原子;ci為稀疏表示系數(shù);ε為信號(hào)殘差。

原信號(hào)中沖擊成分與冗余字典中原子的結(jié)構(gòu)具有較強(qiáng)相關(guān)性，投影系數(shù)較大，可由少量原子線性表示；而信號(hào)中的噪聲成分與原子相關(guān)性較弱，投影系數(shù)小，故需要大量原子才能表示。所以有效的原子選取方法對(duì)稀疏表示質(zhì)量至關(guān)重要。

在OMP算法的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[16]提出了一種層次化選擇的分塊正交匹配方法HBW-OOMP。HBW-OOMP的分塊化以及層次化選擇方法避免了計(jì)算復(fù)雜度及存儲(chǔ)量的顯著增加。相比直接對(duì)原信號(hào)采用OMP算法進(jìn)行匹配，該方法運(yùn)算速度快，表示結(jié)果稀疏度更高。HBW-OOMP的主要步驟如下。

(1)對(duì)長(zhǎng)度為N的原信號(hào)進(jìn)行分塊處理得到M個(gè)塊，每個(gè)塊的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為d且互不重疊，即

(4)

(2)分別對(duì)各個(gè)塊xT[m]與冗余字典D進(jìn)行內(nèi)積運(yùn)算，找出與各個(gè)塊對(duì)應(yīng)的內(nèi)積最大的原子qm:

qm=|>〈D,xT[m]〉|m=1,2，…,M

(5)

(3)根據(jù)下式選出匹配度最高的塊xT[n]，并對(duì)塊xT[n]進(jìn)行操作:

n=arg maxqm

(6)

RxT[n]=xT[n]-〈xT[n],qn〉qn

(7)

cn=|>〈xT[n],qn〉|

(8)

式中,qn為選出的原子。

xT[n]*=RxT[n]

(9)

(10)

(5)重復(fù)步驟(3)、步驟(4)，直到選取原子數(shù)等于給定值或者信號(hào)殘差小于某個(gè)閾值。

(6)重構(gòu)信號(hào)。

通過(guò)對(duì)全局稀疏度的限制而不是對(duì)每個(gè)塊的逼近質(zhì)量的控制，信號(hào)的整體表示質(zhì)量會(huì)有很大提升。由于各分塊沒(méi)有重疊部分，所以避免了塊效應(yīng)。HBW-OOMP在每一次迭代中提出了一種層次化的選擇塊的方法，因此包含沖擊成分的塊會(huì)優(yōu)先選出。傳統(tǒng)方法通過(guò)設(shè)定閾值進(jìn)而控制最終選取的原子個(gè)數(shù)。但是閾值的設(shè)定往往需要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和多次的嘗試。原子數(shù)過(guò)少導(dǎo)致重構(gòu)信號(hào)包含較少的故障特征，原子數(shù)過(guò)多又會(huì)使得重構(gòu)信號(hào)存在更多的噪聲和冗余特征。本文迭代終止條件不再是信號(hào)殘差小于某個(gè)閾值，而是采用信號(hào)包絡(luò)譜峭度最大準(zhǔn)則[10]，即對(duì)信號(hào)的包絡(luò)譜進(jìn)行峭度的求解。由于故障沖擊成分存在規(guī)律性，反映在包絡(luò)譜中則表現(xiàn)為峰值的有序性，信號(hào)的包絡(luò)譜峭度越大，重構(gòu)信號(hào)中的隨機(jī)波動(dòng)的幅值越低。與設(shè)定閾值相比，該方法能夠更大程度地保留沖擊成分，減少噪聲和冗余信息，根據(jù)原信號(hào)自適應(yīng)地確定原子數(shù)。

3 實(shí)驗(yàn)研究

3.1 仿真測(cè)試

為了驗(yàn)證本文所提方法的有效性，根據(jù)實(shí)際振動(dòng)信號(hào)構(gòu)造如下故障軸承仿真模型：

(11)

其中，第一部分表示由滾動(dòng)軸承故障引起的沖擊信號(hào);Ta為相鄰沖擊的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間間隔；τi為隨機(jī)變量，表示由于滑移導(dǎo)致兩個(gè)沖擊之間的時(shí)間滯后現(xiàn)象，通常為Ta的1%～2% ；Ai用來(lái)模擬信號(hào)的幅值；Dj為幅值參數(shù)；Td為時(shí)間參數(shù)；sj(t)為沖擊響應(yīng)函數(shù)。等式右邊第二部分用來(lái)仿真由外部敲擊以及電磁干擾導(dǎo)致的混入信號(hào)，由于混入信號(hào)的不可預(yù)知性，時(shí)間參數(shù)Td和幅值參數(shù)Dj為隨機(jī)變量。等式右邊第三部分是由葉片、軸等部件產(chǎn)生的離散諧波干擾。n(t)為高斯白噪聲。

sj(t)表示如下：

si(t)=e-Bitcos(2πfit+φi)

(12)

其中,fi為沖擊引起的共振頻率；Bi為阻尼系數(shù)；φi為相位。

設(shè)定仿真故障頻率為135 Hz，仿真原信號(hào)見(jiàn)圖1。應(yīng)用本文方法對(duì)仿真信號(hào)進(jìn)行稀疏表示。首先對(duì)原信號(hào)進(jìn)行K-SVD字典學(xué)習(xí)：將信號(hào)按照一定重疊率分割成300個(gè)樣本，每個(gè)樣本長(zhǎng)度為32，訓(xùn)練后得到32×300的冗余字典。然后采用HBW-OOMP進(jìn)行原子的選取以及稀疏系數(shù)的求?。簩⒃盘?hào)分成長(zhǎng)度為32的塊，且各個(gè)塊之間無(wú)重疊部分。由于迭代次數(shù)越多，重構(gòu)信號(hào)越逼近原信號(hào)，導(dǎo)致重構(gòu)信號(hào)中逐漸包含噪聲信息，所以限制最大迭代次數(shù)為100。每次迭代時(shí)重構(gòu)信號(hào)的包絡(luò)譜峭度見(jiàn)圖2，可以看出在原子數(shù)為42時(shí)包絡(luò)譜峭度最大，故最終迭代次數(shù)為42。重構(gòu)信號(hào)的時(shí)域圖以及包絡(luò)譜見(jiàn)圖3、圖4。本文所提方法運(yùn)行時(shí)間為1.129 s。對(duì)同一段原信號(hào)采用Gabor-OMP方法進(jìn)行稀疏表示，終止條件是該方法得到的殘差與本文方法得到的殘差一致，重構(gòu)信號(hào)見(jiàn)圖5。該方法運(yùn)行時(shí)間為23.992 s，選取原子數(shù)103。可以看出本文方法在表示結(jié)果和運(yùn)行時(shí)間上比傳統(tǒng)的Gabor-OMP算法有很大改進(jìn)。

圖1 仿真原信號(hào)Fig.1 Simulation of the original signal

圖2 不同迭代次數(shù)下重構(gòu)信號(hào)的包絡(luò)譜峭度(仿真信號(hào))Fig.2 The envelop spectrum kurtosis in each step (simulation signal )

圖3 本文方法重構(gòu)信號(hào)(仿真信號(hào))Fig.3 The reconstructed signal by the method proposed (simulation signal)

圖4 重構(gòu)信號(hào)包絡(luò)譜(仿真信號(hào))Fig.4 The envelop spectrum for the reconstructed signal (simulation signal)

圖5 Gabor-OMP方法重構(gòu)信號(hào)(仿真信號(hào))Fig.5 The reconstructed signal by Gabor-OMP (simulation signal)

3.2 實(shí)驗(yàn)研究

實(shí)驗(yàn)采用的振動(dòng)信號(hào)來(lái)自天馬軸承廠試驗(yàn)臺(tái)所測(cè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。表1給出了所用軸承的基本參數(shù)。設(shè)置4種軸承狀態(tài)：正常、外圈故障、內(nèi)圈故障和滾動(dòng)體故障。采用電火花加工方法在外圈、內(nèi)圈和滾動(dòng)體上加工出寬0.1 mm、深0.43 mm的劃痕來(lái)模擬故障。

表1 軸承參數(shù)Tab.1 The specifications of tested bearings

電機(jī)設(shè)置轉(zhuǎn)速為1 169 r/min，采樣頻率5 120 Hz。根據(jù)故障特征頻率計(jì)算公式可得到：外圈故障頻率f0=141 Hz,內(nèi)圈故障頻率f1=193.2 Hz,滾動(dòng)體故障頻率f2=133 Hz。

3.2.1外圈故障特征提取

軸承外圈故障時(shí)的時(shí)域信號(hào)見(jiàn)圖6。外圈故障狀態(tài)下，故障位置固定不動(dòng)，較高的轉(zhuǎn)速下時(shí)域沖擊信號(hào)變得非常密集。為了便于觀察重構(gòu)信號(hào)，取800樣本點(diǎn)進(jìn)行分析。將原信號(hào)分割成長(zhǎng)度為20的塊，并進(jìn)行K-SVD字典學(xué)習(xí)得到冗余字典。通過(guò)本文方法得到的各迭代次數(shù)下重構(gòu)信號(hào)包絡(luò)譜峭度曲線見(jiàn)圖7。迭代次數(shù)為23時(shí)可得到峭度最大的包絡(luò)譜，故最終迭代次數(shù)為23。重構(gòu)的外圈故障信號(hào)見(jiàn)圖8，包絡(luò)譜見(jiàn)圖9。圖中表明特征頻率為f0=140 Hz，與理論值相符。對(duì)同一段原信號(hào)采用Gabor-OMP方法進(jìn)行稀疏表示，通過(guò)使該方法得到的殘差與本文方法得到的殘差相一致作為終止條件，重構(gòu)信號(hào)見(jiàn)圖10。該方法運(yùn)行時(shí)間7.102 s，選取原子數(shù)89。

圖6 外圈故障時(shí)域信號(hào)Fig.6 Vibration signal of outer race fault

圖7 不同迭代次數(shù)下重構(gòu)信號(hào)的包絡(luò)譜峭度(外圈故障)Fig.7 The envelop spectrum kurtosis in each step (outer race fault)

圖8 外圈故障重構(gòu)信號(hào)Fig.8 The reconstructed signal of outer race fault

圖9 外圈故障重構(gòu)信號(hào)包絡(luò)譜Fig.9 The envelop spectrum of the reconstructed signal of outer race fault

圖10 Gabor-OMP方法重構(gòu)信號(hào)(外圈故障)Fig.10 The reconstructed signal by Gabor-OMP(outer race fault)

3.2.2軸承內(nèi)圈故障特征提取

軸承內(nèi)圈故障時(shí)的時(shí)域信號(hào)見(jiàn)圖11。將原信號(hào)分割成長(zhǎng)度為32的塊，并進(jìn)行K-SVD字典學(xué)習(xí)得到冗余字典。通過(guò)本文方法得到的各迭代次數(shù)下重構(gòu)信號(hào)包絡(luò)譜峭度曲線見(jiàn)圖12。迭代次數(shù)為107時(shí)可得到峭度最大的包絡(luò)譜，故最終迭代次數(shù)為107。重構(gòu)的內(nèi)圈故障信號(hào)見(jiàn)圖13，包絡(luò)譜見(jiàn)圖14。圖中表明特征頻率為f1=191.3 Hz，與理論值一致。對(duì)同一段原信號(hào)采用Gabor-OMP方法進(jìn)行稀疏表示，重構(gòu)信號(hào)見(jiàn)圖15。該方法運(yùn)行時(shí)間為462.187 s，選取原子數(shù)397。

圖11 內(nèi)圈故障時(shí)域信號(hào)Fig.11 Vibration signal of inner race fault

圖12 不同迭代次數(shù)下重構(gòu)信號(hào)的包絡(luò)譜峭度(內(nèi)圈故障)Fig.12 The envelop spectrum kurtosis in each step (inner race fault)

圖13 內(nèi)圈故障重構(gòu)信號(hào)Fig.13 The reconstructed signal

圖14 內(nèi)圈故障重構(gòu)信號(hào)包絡(luò)譜Fig.14 The envelop spectrum of the reconstructed signal of inner race fault

圖15 Gabor-OMP方法重構(gòu)信號(hào)(內(nèi)圈故障)Fig.15 The reconstructed signal by Gabor-OMP (inner race fault)

3.2.3軸承滾動(dòng)體故障特征提取

軸承滾動(dòng)體故障時(shí)的時(shí)域信號(hào)見(jiàn)圖16。將原信號(hào)分割成長(zhǎng)度為32的塊，并進(jìn)行K-SVD字典學(xué)習(xí)得到冗余字典。通過(guò)本文方法得到的各迭代次數(shù)下重構(gòu)信號(hào)包絡(luò)譜峭度曲線見(jiàn)圖17。迭代次數(shù)為92時(shí)可得到峭度最大的包絡(luò)譜，故最終迭代次數(shù)為92。重構(gòu)的內(nèi)圈故障信號(hào)見(jiàn)圖18，包絡(luò)譜見(jiàn)圖19。圖中表明特征頻率為f2=133 Hz，與理論值一致。對(duì)同一段原信號(hào)采用Gabor-OMP方法進(jìn)行稀疏表示，重構(gòu)信號(hào)見(jiàn)圖20。該方法運(yùn)行時(shí)間為332.984s，選取原子數(shù)293。

圖16 滾動(dòng)體故障時(shí)域圖Fig.16 Vibration signal of rolling element fault

圖17 不同迭代次數(shù)下重構(gòu)信號(hào)的包絡(luò)譜峭度(滾動(dòng)體故障)Fig.17 The envelop spectrum kurtosis in each step (rolling element fault)

圖18 滾動(dòng)體故障重構(gòu)信號(hào)Fig.18 The reconstructed signal of rolling element fault

圖19 滾動(dòng)體故障重構(gòu)信號(hào)包絡(luò)譜Fig.19 The envelop spectrum of the reconstructed signal of rolling element fault

圖20 Gabor-OMP方法重構(gòu)信號(hào)(滾動(dòng)體故障)Fig.20 The reconstructed signal by Gabor-OMP (rolling element fault)

不同故障狀態(tài)下兩種方法運(yùn)行結(jié)果對(duì)比見(jiàn)表2。從表中可以看出，傳統(tǒng)的Gabor-OMP方法需要從冗余度很高的字典中通過(guò)計(jì)算內(nèi)積的方式選取原子，當(dāng)原信號(hào)長(zhǎng)度增加時(shí)，構(gòu)造字典所需時(shí)間以及信號(hào)與原子之間內(nèi)積運(yùn)算的時(shí)間都會(huì)顯著增加。相比Gabor-OMP方法，本文所提出的基于K-SVD和HBW-OOMP的方法無(wú)論是運(yùn)行時(shí)間還是原子數(shù)目都有明顯縮減，其原因在于K-SVD字典是一種依靠原信號(hào)的自學(xué)習(xí)訓(xùn)練方法，其原子結(jié)構(gòu)與原信號(hào)相似度更高；另外，HBW-OOMP方法的分塊思想也極大降低了進(jìn)行內(nèi)積運(yùn)算的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度，從而減少了計(jì)算時(shí)間。從表示結(jié)果上看，本文方法由于選用的原子數(shù)量小，所以重構(gòu)信號(hào)具有更高的稀疏度，并且對(duì)沖擊信號(hào)特征的表示能力更強(qiáng)，更接近于原信號(hào)。

表2 兩種方法運(yùn)行結(jié)果對(duì)比Tab.2 Comparison of the two methods

魯棒性是評(píng)價(jià)算法優(yōu)劣的重要標(biāo)準(zhǔn)，本文通過(guò)將不同強(qiáng)度高斯白噪聲添加到滾動(dòng)體故障信號(hào)來(lái)驗(yàn)證算法的魯棒性。采用峭度作為衡量信號(hào)沖擊特征強(qiáng)弱的指標(biāo)，原信號(hào)和重構(gòu)信號(hào)的峭度值見(jiàn)圖21。可以看出，在不同的信噪比下，重構(gòu)信號(hào)的峭度值始終高于原信號(hào)，說(shuō)明本文方法對(duì)不同強(qiáng)度的含噪信號(hào)均能準(zhǔn)確地提取出故障沖擊特征，具有較強(qiáng)的魯棒性和適應(yīng)性。

圖21 不同信噪比下的信號(hào)峭度Fig.21 The kurtosis in different SNR

4 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種基于K-SVD和HBW-OOMP的軸箱軸承故障診斷方法。仿真研究表明本文方法對(duì)沖擊響應(yīng)信號(hào)的發(fā)生時(shí)刻以及幅值都能夠準(zhǔn)確表達(dá)，對(duì)旋轉(zhuǎn)機(jī)械中的干擾信號(hào)有較強(qiáng)的抑制能力。將本文方法應(yīng)用于軸承試驗(yàn)臺(tái)，所得實(shí)際信號(hào)的故障特征提取結(jié)果表明，該方法能有效提取出外圈、內(nèi)圈、滾動(dòng)體信號(hào)的故障特征，具有較強(qiáng)的適應(yīng)性和魯棒性。相比Gabor-OMP方法在運(yùn)行時(shí)間和表示結(jié)果上都有很大優(yōu)勢(shì)，具有一定的應(yīng)用前景。本文方法目前以臺(tái)架試驗(yàn)數(shù)據(jù)和仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，針對(duì)實(shí)際工程中復(fù)雜工況下的故障特征提取還需做更深入的研究和優(yōu)化。