嚴(yán)宏志，吳順興，肖蒙

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雙重螺旋法齒面分區(qū)修形對(duì)降低安裝誤差敏感性的影響

嚴(yán)宏志1, 2，吳順興1, 2，肖蒙1, 2

(1. 中南大學(xué) 高性能復(fù)雜制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙，410083；2. 中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410083)

為了降低齒輪副對(duì)安裝誤差的敏感性，將雙重螺旋法加工的齒面劃分為小端、中間接觸區(qū)和大端3個(gè)區(qū)域，并沿嚙合線方向?qū)?個(gè)區(qū)域分別進(jìn)行拋物線修形，得到修形后的理論齒面；采用有約束最小二乘法求得與修形后理論齒面逼近的修形后實(shí)際齒面；通過(guò)齒輪承載接觸分析(LTCA)，得到原始齒面與修形后實(shí)際齒面在有安裝誤差時(shí)的齒面接觸區(qū)、接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力。研究結(jié)果表明：經(jīng)過(guò)分區(qū)修形，正、反車齒面最大接觸應(yīng)力降低，齒面接觸應(yīng)力更加均勻，齒輪副對(duì)安裝誤差的敏感性降低，同時(shí)，齒根彎曲應(yīng)力也有一定程度增大。

雙重螺旋法；安裝誤差敏感性；分區(qū)修形；齒輪承載接觸分析

在實(shí)際工程中，螺旋錐齒輪副不可避免地存在安裝誤差，這將使齒輪副沖擊振動(dòng)與噪聲增大，并導(dǎo)致不均勻磨損，縮短使用壽命，因此，使設(shè)計(jì)的齒輪副對(duì)安裝誤差具有低敏感性是齒輪研究的一個(gè)重要課題。目前，有關(guān)嚙合質(zhì)量對(duì)安裝誤差的敏感性已有較多研究。王峰等[1]開展了擺線齒準(zhǔn)雙曲面齒輪在安裝誤差情況下的齒輪接觸分析，研究了安裝誤差對(duì)其嚙合性能的影響；劉光磊等[2]通過(guò)分析安裝誤差對(duì)接觸印痕位置影響確定了齒輪副安裝誤差的合理范圍；佟操等[3]采用動(dòng)力學(xué)軟件ANSYS/LS-DYNA 對(duì)直齒圓柱齒輪進(jìn)行動(dòng)態(tài)仿真，得到了不同安裝誤差對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)接觸應(yīng)力；王小椿等[4]通過(guò)解析法建立了安裝誤差與齒面嚙合特性的對(duì)應(yīng)關(guān)系；LI等[5?7]采用有限元方法對(duì)直齒圓柱齒輪副進(jìn)行加載接觸分析，研究了安裝誤差對(duì)齒面接觸應(yīng)力、齒根彎曲應(yīng)力、嚙合剛度和承載傳動(dòng)誤差等的影響；FALAH等[8]對(duì)單包絡(luò)(圓柱)蝸桿傳動(dòng)副進(jìn)行加載接觸分析，研究了安裝誤差對(duì)接觸線、負(fù)載和應(yīng)力分布的影響；ZHANG等[9]通過(guò)齒輪接觸分析，研究了不同安裝誤差對(duì)雙圓弧弧齒錐齒輪嚙合性能的影響。針對(duì)如何降低齒輪副嚙合性能對(duì)安裝誤差的敏感性，目前已有一些研究；LITVIN 等[10?11]通過(guò)預(yù)置接觸軌跡及傳動(dòng)誤差曲線得到了低安裝誤差敏感性的齒面；SIMON等[12?13]對(duì)弧齒錐齒輪副進(jìn)行加載接觸分析，通過(guò)優(yōu)化的小輪機(jī)床加工參數(shù)降低了齒輪副對(duì)安裝誤差的敏感性；蘇進(jìn)展等[14?15]提出了通過(guò)優(yōu)化差曲面全曲率來(lái)降低弧齒錐齒輪安裝誤差敏感性的方法，同時(shí)提出了齒面的低敏感性修形方法，但是其針對(duì)的只是工作齒面的修形；王會(huì)良等[16]通過(guò)對(duì)斜齒輪的齒廓和齒向進(jìn)行分段修形，降低了其對(duì)安裝誤差的敏感性；曹雪梅等[17]以齒廓、齒向修形系數(shù)為優(yōu)化變量，通過(guò)對(duì)主動(dòng)輪進(jìn)行鼓形修形，從而降低了齒輪副對(duì)安裝誤差的敏感性。上述研究為雙重螺旋法加工的螺旋錐齒輪副面向安裝誤差敏感性修形提供了參考，但是，基于雙重螺旋法的螺旋錐齒輪加工具有正車面和反車面兩面同時(shí)加工、兩面同時(shí)修形的特點(diǎn)，為此，本文作者針對(duì)具有雙面綜合優(yōu)化的分區(qū)修形方法和機(jī)床調(diào)整參數(shù)修正方法進(jìn)行研究。

1 安裝誤差低敏感性分區(qū)修形

螺旋錐齒輪齒面的大端和小端修形可減小由安裝誤差帶來(lái)的接觸區(qū)位置、大小和形狀以及接觸應(yīng)力的變化程度，從而降低齒輪副對(duì)安裝誤差的敏感性。以接觸區(qū)的邊界作為分界線將齒面分成3部分即小端、中間接觸區(qū)和大端。沿嚙合線方向進(jìn)行3段拋物線修形，小端、中間接觸區(qū)和大端分別對(duì)應(yīng)1段拋物線。圖1所示為齒面分區(qū)示意圖。

以嚙合線與接觸跡線的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，齒面法線方向?yàn)榉较颍赶蜉嘄X大端的嚙合線方向?yàn)榉较?，建立拋物線修形坐標(biāo)系，如圖2所示(其中，為預(yù)置的瞬時(shí)接觸橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)度)。

圖1 齒面分區(qū)示意圖

圖2 拋物線修形坐標(biāo)系

圖3所示為拋物線修形曲線。其中，拋物線Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ分別為沿嚙合線方向在齒面接觸區(qū)內(nèi)，小端區(qū)域內(nèi)和大端區(qū)域內(nèi)的修形曲線；0，1和2分別為接觸區(qū)邊界上的修形量，小端給定的最大修形量和大端給定的最大修形量；1和2在數(shù)值上等于預(yù)設(shè)的接觸橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)度，3和4分別為靠近小端和大端齒面區(qū)域內(nèi)沿軸到接觸跡線的最遠(yuǎn)距離。

沿嚙合線方向3段拋物線修形曲線的表達(dá)式為

式中：1，2和3為拋物線II的修形系數(shù)；1，2和3為拋物線III的修形系數(shù)。

要保證3段拋物線連續(xù)可導(dǎo)，應(yīng)該滿足如下約束條件：

圖3 拋物線修形曲線

沿嚙合線方向的法向修形量為

將齒面離散為45個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，求得各個(gè)離散點(diǎn)的法向修行量，以各個(gè)離散點(diǎn)的法向修行量作為小輪原始齒面與修形后理論齒面的法向偏差值。

2 小輪加工參數(shù)求解

齒面偏差的產(chǎn)生有很多原因，通過(guò)修正機(jī)床調(diào)整參數(shù)可以最大限度地實(shí)現(xiàn)齒面偏差的最小化。

原始齒面和修形后理論齒面的偏差可表示為

采用雙重螺旋法加工時(shí)，1組機(jī)床調(diào)整參數(shù)同時(shí)加工正車面和反車面，第個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)對(duì)應(yīng)第個(gè)機(jī)床調(diào)整參數(shù)，敏感系數(shù)矩陣可表示為

式中：=1，2，…，；=1，2，…，。

令為第個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)的齒面偏差，則有

式中：為正車面和反車面的所有網(wǎng)格點(diǎn)的齒面偏差矩陣；為對(duì)應(yīng)所有網(wǎng)格點(diǎn)的敏感系數(shù)矩陣；Δ為機(jī)床調(diào)整參數(shù)修正值矩陣。

由于機(jī)床調(diào)整參數(shù)的數(shù)目小于齒面網(wǎng)格點(diǎn)的數(shù)目，故式(7)為超靜定方程線性方程組，因此，采用約束最小二乘法求解。對(duì)于每1個(gè)選用的修正參量，根據(jù)使用的機(jī)床類型以及齒面偏差給出1個(gè)合適的范圍，即可求得理想的機(jī)床調(diào)整參數(shù)修正值。

3 算例分析

以1對(duì)大輪采用成形法、小輪采用雙重螺旋法加工的準(zhǔn)雙曲面齒輪副為例，輪坯參數(shù)見表1，小輪的原始齒面加工參數(shù)見表2，2組修形參數(shù)見表3。

表1 輪坯參數(shù)

表2 原始齒面小輪加工參數(shù)

表3 修形參數(shù)

由表3中的修形參數(shù)1和修形參數(shù)2分別得到修形后理論齒面1和修形后理論齒面2。圖4和圖5所示分別為修形后理論齒面1和修形后理論齒面2與原始齒面的偏差圖。利用有約束最小二乘法對(duì)原始齒面進(jìn)行修正，得到滿足修形后理論齒面的小輪加工參數(shù)，如表4所示。通過(guò)表4中修形后的小輪加工參數(shù)分別得到對(duì)應(yīng)修形參數(shù)1和修形參數(shù)2的修形后實(shí)際齒面1和修形后實(shí)際齒面2。圖6和圖7所示分別為修形后實(shí)際齒面1和修形后實(shí)際齒面2和原始齒面的偏差圖。

從圖4~7可見：修形后理論齒面和修形后實(shí)際齒面基本保證了正車面和反車面的中間接觸區(qū)不變，而在大端和小端沿嚙合線方向有一定的修形量。對(duì)比修形后理論齒面和修形后實(shí)際齒面的正車面和反車面可知：修形后實(shí)際齒面與修形后理論齒面接近，說(shuō)明采用有約束最小二乘法求得的小輪兩面同時(shí)加工的機(jī)床調(diào)整參數(shù)符合設(shè)計(jì)要求。

圖4 修形后理論齒面1和原始齒面的偏差圖

圖5 修形后理論齒面2和原始齒面的偏差圖

齒輪副進(jìn)行分區(qū)修形后，對(duì)其進(jìn)行齒輪承載接觸有限元分析。小輪軸向安裝誤差0 mm，大輪軸向安裝誤差=?0.16 mm，小輪偏置距誤差?0.15 mm。給定載荷600 N?m時(shí)，對(duì)比分析修形前后齒輪副在加載條件下齒面接觸區(qū)、接觸應(yīng)力及齒根彎曲應(yīng)力的變化情況。以模型中第3對(duì)齒輪為例，建立齒輪承載接觸分析(LTCA)有限元模型，如圖8所示。

表4 修形后小輪加工參數(shù)

圖9~10分別為在有安裝誤差情況下，通過(guò)LTCA有限元分析得到的原始齒面與修形后實(shí)際齒面的大輪正車面和反車面的接觸區(qū)及接觸區(qū)應(yīng)力云圖。由圖9可見：在有安裝誤差情況下，原始齒面的正車面接觸區(qū)完全拓展到大輪小端邊界，齒面高應(yīng)力區(qū)主要分布于齒頂上部。經(jīng)過(guò)安裝誤差低敏性分區(qū)修形后，正車面接觸區(qū)優(yōu)化效果明顯：1) 原始齒面接觸區(qū)、修形后實(shí)際齒面1和修形后實(shí)際齒面2距離大輪小端的距離分別為0.154，1.179和1.697 mm，避免了小端邊界接觸；2) 齒面接觸應(yīng)力分布較為均勻，避免了高應(yīng)力區(qū)主要分布在強(qiáng)度較小的齒頂上部；3) 最大接觸應(yīng)力有所減少，原始齒面的最大接觸應(yīng)力數(shù)值為1 289 MPa，而修形后實(shí)際齒面1和修形后實(shí)際齒面2的最大接觸應(yīng)力分別為1 281和1 263 MPa。

圖6 修形后實(shí)際齒面1和原始齒面的偏差圖

圖7 修形后實(shí)際齒面2和原始齒面的偏差圖

圖8 LTCA有限元模型

由圖10可見：原始齒面的反車面接觸區(qū)基本位于齒面中間，齒根部位有向大端延伸的趨勢(shì)，經(jīng)過(guò)安裝誤差低敏感性分區(qū)修形后，反車面接觸區(qū)優(yōu)化效果較好：1) 齒根部位向大端延伸的趨勢(shì)稍減，原始齒面接觸區(qū)、修形后實(shí)際齒面1和修形后實(shí)際齒面2與大輪小端的距離分別為5.689，5.791和6.304 mm；2) 最大接觸應(yīng)力有所減少，原始齒面的最大接觸應(yīng)力為1 406 MPa，而修形后實(shí)際齒面1和修形后實(shí)際齒面2的最大接觸應(yīng)力分別為1 394 MPa和1 390 MPa。

(a) 原始齒面；(b) 修形后實(shí)際齒面1；(c) 修形后實(shí)際齒面2

對(duì)比圖9和圖10可知：修形后實(shí)際齒面2的優(yōu)化效果優(yōu)于修形后實(shí)際齒面1的優(yōu)化效果，說(shuō)明從齒面接觸應(yīng)力及接觸區(qū)的優(yōu)化角度來(lái)說(shuō)，適當(dāng)增大大端和小端的修形量也可以提高正車面和反車面的優(yōu)化效果，降低齒輪副對(duì)安裝誤差的敏感性。

齒輪彎曲應(yīng)力反映齒輪齒根部位抗疲勞折斷的能力，根據(jù)第3強(qiáng)度理論，通過(guò)有限元軟件對(duì)小輪原始齒面和修形后實(shí)際齒面的齒根彎曲應(yīng)力進(jìn)行分析，分別得到小輪正車面和反車面的齒根彎曲應(yīng)力云圖，如圖11和圖12所示。

(a) 原始齒面；(b) 修形后實(shí)際齒面1；(c) 修形后實(shí)際齒面2

由圖11和圖12可知：原始齒面正車面的齒根最大彎曲應(yīng)力為106.182 MPa，反車面的齒根最大彎曲應(yīng)力為86.662 MPa；修形后實(shí)際齒面1正車面的齒根最大彎曲應(yīng)力為106.897 MPa，反車面的齒根最大彎曲應(yīng)力為87.162 MPa；修形后實(shí)際齒面2正車面的齒根最大彎曲應(yīng)力為107.537 MPa，反車面的齒根最大彎曲應(yīng)力為87.523 MPa。說(shuō)明隨著大端和小端的修形量增加，齒厚減小，齒根彎曲應(yīng)力有所增大。所以，修形量的確定需要綜合齒面接觸情況和齒輪強(qiáng)度，同時(shí)考慮實(shí)際工況條件來(lái)確定。

(a) 原始齒面；(b) 修形后實(shí)際齒面1；(c) 修形后實(shí)際齒面2

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

采用由哈量集團(tuán)研發(fā)生產(chǎn)的H650C數(shù)控螺旋錐齒輪銑齒機(jī)加工實(shí)驗(yàn)所用齒輪，在加工好的齒輪齒面上涂上紅丹粉，并在YDX9550錐齒輪滾動(dòng)檢查機(jī)上進(jìn)行滾檢實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證基于雙重螺旋法加工的齒面分區(qū)修形方法對(duì)降低安裝誤差敏感性的有效性以及仿真分析結(jié)果的正確性。

(a) 原始齒面；(b) 修形后實(shí)際齒面1；(c) 修形后實(shí)際齒面2

由于修形方法原理相似，同時(shí)考慮到加工成本和時(shí)間，實(shí)驗(yàn)只對(duì)1組修形參數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證，即驗(yàn)證由第2組修形參數(shù)得到的齒面。此外，由于實(shí)驗(yàn)條件限制，滾檢機(jī)是在負(fù)載為20 N?m條件下進(jìn)行的，原始齒面和修形后實(shí)際齒面2的正車面接觸區(qū)及反車面接觸區(qū)分別如圖13和圖14所示。

由圖13可見：原始齒面與修形后實(shí)際齒面2的大輪正車面的接觸區(qū)位置和嚙合方向與仿真結(jié)果基本相似；原始齒面與修形后實(shí)際齒面2的接觸區(qū)形狀有微小差別，其中原始齒面的接觸區(qū)有明顯的向輪齒小端齒根延伸的一段狹窄區(qū)域，而修形后實(shí)際齒面2的接觸區(qū)更加規(guī)則，向小端齒根延伸的程度較小。由圖14可見：原始齒面與修形后實(shí)際齒面2的大輪反車面接觸區(qū)變化不明顯，沒有正車面的修形優(yōu)化效果明顯，但經(jīng)過(guò)修形后齒面的接觸區(qū)向大端延伸的范圍比原始齒面的小。

(a) 原始齒面；(b) 修形后實(shí)際齒面2

(a) 原始齒面；(b) 修形后實(shí)際齒面2

對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知：原始齒面與修形后實(shí)際齒面2接觸區(qū)形狀存在差異，說(shuō)明齒面修形能夠有效降低齒輪副對(duì)安裝誤差的敏感性，避免了在實(shí)際工況中由于偏離理論安裝位置而出現(xiàn)大、小端接觸或者齒根、齒頂接觸的情況。

5 結(jié)論

1) 建立雙重螺旋法小輪雙面3段修形模型，并在誤差敏感矩陣基礎(chǔ)上，采用有約束最小二乘法對(duì)修形后的機(jī)床調(diào)整參數(shù)進(jìn)行求解，求解的機(jī)床調(diào)整參數(shù)符合設(shè)計(jì)要求。

2) 修形后，正車面和反車面齒面最大接觸應(yīng)力減小，接觸應(yīng)力分布更均勻，避免了齒頂高應(yīng)力接觸，提高了齒輪嚙合穩(wěn)定性。

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Effect of tooth surface zoning modification by duplex helical method on reducing sensitivity of installation error

YAN Hongzhi1, 2, WU Shunxing1, 2, XIAO Meng1, 2

(1. State Key Laboratory for High Performance Complex Manufacturing, Central South University, Changsha 410083, China; 2. School of Mechanical and Electrical Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)

To reduce the sensitivity of the gear pair to the installation error, the original tooth surface generated by duplex helical method was divided into three regions, i.e. the toe region, the middle region and the heel region. Modifications of these regions with three parabolic segments were conducted along the meshing line, and then theoretical tooth surfaces were obtained. Theconstraint least square method was used to minimize the tooth flank form error between the theoretical modified tooth surface and the actual modified tooth surface. Then, the contact area, the contact stress, the bending stress of tooth root of the original tooth surface and the actual modified tooth surface in the presence of installation error were obtained by loaded tooth contact analysis (LTCA). The results show that the maximum contact stress of the drive side and the coast side are both reduced by zoning modification. Meanwhile, the tooth surface contact stress is more uniform. Thus, sensitivity of installation error of gear pair is reduced and the bending stress of the root increases to a certain extent.

duplex helical method; installation error sensitivity; zoning modification; loaded tooth contact analysis

10.11817/j.issn.1672?7207.2019.02.006

TH132.41

A

1672?7207(2019)02?0286?09

2018?04?05；

2018?06?25

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51575533)(Project(51575533) supported by the National Natural Science Foundation of China)

嚴(yán)宏志，博士，教授，從事復(fù)雜曲面數(shù)字制造理論與技術(shù)研究；E-mail：yhzcsu@163.com

(編輯 伍錦花)