黃志強，聶玉峰，李義強

(1.西北工業(yè)大學 理學院，西安 710072)(2.太原科技大學 應用科學學院，太原 030024)

0 引 言

三維編織復合材料具有高沖擊韌性、損傷容限與抗疲勞特性，結構可設計性強，能夠實現(xiàn)異形件的凈尺寸整體成型，可有效保障結構件物理力學性能的穩(wěn)定性[1-2]。因此，三維編織復合材料在航空、航天等領域得到了廣泛應用，而熱傳導性能是其重要的物理性能之一。面對不斷增長的工程應用需求，如何有效表征三維編織復合材料的細觀結構并建立細觀結構與宏觀熱傳導性能之間的定量關系，已成為材料科學與工程領域的重要課題。

研究三維編織復合材料熱傳導性能的手段主要有試驗方法和數(shù)值方法。由于三維編織復合材料組分相種類的多樣性及細觀結構的復雜性，其熱傳導性能具有較大的分散性，完全通過試驗手段來獲取熱傳導性能是不可取的。數(shù)值方法能有效克服試驗方法的缺點，從而在預測三維編織復合材料熱傳導性能中得到了廣泛的應用。程偉等[3]采用“米”字型枝狀單胞有限元模型和試驗方法對三維四向編織復合材料的整體等效熱傳導系數(shù)進行了分析，但所用單胞模型與實際情況相差甚遠，模擬結果并不理想；Liu Z G等[4]和李典森等[5]建立了更真實的三維四向編織復合材料單胞模型，該模型區(qū)別于以往的“米”字型模型，進一步研究了三維編織復合材料的熱傳導性能；夏彪等[6]采用周期性非絕熱溫度邊界條件和周期性位移邊界條件，建立了三維四向編織復合材料的有限元模型并計算得到有效熱傳導系數(shù)，所得數(shù)據(jù)比其他文獻模型計算結果更接近實驗數(shù)據(jù)；Jiang L L等[7]基于三維四向編織復合材料的螺旋型單胞幾何模型，推導了三維四向編織復合材料熱彈性問題的穩(wěn)態(tài)熱傳導分析有限元方程，并對材料進行了穩(wěn)態(tài)熱傳導分析；Dong K等[8]建立了三維四向編織復合材料的多尺度單胞模型并使用有限元方法分析了熱傳導性能，包括等效熱傳導系數(shù)和溫度場分布；Fang W Z等[9]利用具有多重弛豫時間的格子波爾茲曼模型預測了三維四向編織復合材料的等效熱傳導系數(shù)，并與試驗結果進行了對比；Gou J J等[10]發(fā)展了多尺寸單胞模型并預測了三維四向編織復合材料的等效熱傳導系數(shù)。

由于三維編織復合材料性能的不均勻性，直接使用傳統(tǒng)數(shù)值方法時需要非常精細的網(wǎng)格才能捕捉復合材料的局部特征，導致計算規(guī)模大幅增加。此外，傳統(tǒng)有限元方法很難捕捉三維編織復合材料細觀結構對宏觀性能的影響，數(shù)值模擬結果存在較大的誤差。因此，建立一種預測三維編織復合材料熱傳導性能有效的數(shù)值算法是十分必要的。三維編織復合材料具有典型的多尺度特征，而多尺度分析方法考慮了空間和時間的跨尺度與跨層次特征，并耦合相關尺度的物理機理，是求解材料科學和工程問題的重要手段。近年來，基于均勻化理論[11-12]，多尺度分析方法被成功用于預測不同復合材料結構的物理和力學性能[13-16]。楊志強等[17-19]發(fā)展了多孔復合材料結構的多尺度分析方法，并通過數(shù)值算例驗證了模型與算法的有效性。而編織復合材料具有更為復雜的細觀結構，發(fā)展相應的多尺度分析方法具有更為重要的工程應用價值。

本文建立三維四向編織復合材料熱傳導性能的宏細觀多尺度模型，并采用多尺度有限元算法分析三維四向編織復合材料的熱傳導性能。在此基礎上，進一步研究編織角和纖維體積含量對材料熱傳導性能的影響規(guī)律。

1 三維編織復合材料單胞模型

三維編織復合材料具有復雜的空間拓撲關系，受計算機存儲的限制，很難對三維編織復合材料整體結構進行分析?？紤]到三維編織復合材料細觀單胞結構呈周期性分布，本文以細觀單胞為研究對象。根據(jù)單胞模型空間拓撲幾何關系，采用Python語言在Gmsh軟件上進行二次開發(fā)，建立三維四向編織復合材料的單胞模型，如圖1所示(體分比為54%，編織角為41°)。

(a) 纖維取向和位置

(b) 纖維在基體中的分布

2 宏細觀多尺度分析模型

根據(jù)上述三維編織復合材料的細觀結構表征，考慮如下熱傳導問題：

(1)

假設在單胞Y內溫度場具有如下多尺度漸近展開形式[17]：

Tε(x)=T0(x,y)+εT1(x,y)+ε2T2(x,y)+…

(2)

由于y=x/ε，存在如下鏈式法則：

(3)

將式(2)～式(3)帶入式(1)，并整理成ε冪級數(shù)的形式，可得：

O(ε)=h(x)

(4)

通過比較式(4)兩端ε不同冪次的系數(shù)，根據(jù)偏微分方程理論可分別定義T0和T1，則溫度場的多尺度漸進展開式可定義為

(5)

式中：T0(x)為定義在宏觀區(qū)域Ω上的均勻化解；Nα1(y)為定義在單胞Y上的一階局部單胞函數(shù)。

Nα1(y)滿足如下控制方程：

(6)

(7)

利用上述均勻化系數(shù)，可以定義三維編織復合材料結構的均勻化熱傳導方程：

(8)

(9)

3 多尺度有限元算法

在對三維四向編織復合材料的幾何模型進行有限元網(wǎng)格剖分時，采用網(wǎng)格劃分軟件Gmsh[20]。將由Python二次開發(fā)建立的幾何模型導入Gmsh進行剖分，即可得到所需要的有限元網(wǎng)格數(shù)據(jù)。體分比為54%，編織角為41°的單胞幾何模型的四面體網(wǎng)格劃分結果如圖2所示。

(a) 纖維網(wǎng)格

(b) 單胞網(wǎng)格

基于上述單胞幾何模型的建模過程及其有限元網(wǎng)格的劃分結果，預測三維四向編織復合材料結構熱傳導性能的多尺度算法過程如下：

(1) 根據(jù)給定的纖維體分比和編織角，利用第1節(jié)的建模方法生成三維四向編織復合材料的單胞幾何模型；確定復合材料中基體和纖維的熱傳導系數(shù)，并生成有限元網(wǎng)格。

(10)

(11)

(3) 根據(jù)已經(jīng)求出的均勻化熱傳導系數(shù)并確定求解區(qū)域Ω的幾何構造，使用有限元方法求解邊值問題(8)，對應的離散變分形式為式(12)，得到溫度場的有限元解T0h0(x)(h0為宏觀區(qū)域的有限元網(wǎng)格剖分參數(shù))。

(12)

(13)

(5) 基于式(5)，由式(14)可計算區(qū)域Ω內任一點處溫度場的多尺度有限元近似解。

(14)

4 算例分析

為了驗證三維四向編織復合材料單胞模型的正確性，并檢驗多尺度方法用于三維四向編織復合材料熱傳導性能預測的有效性，數(shù)值計算出纖維增強編織復合材料的熱傳導系數(shù)，并與實驗結果進行比較?；w的熱導率為0.18 W/mK，纖維的橫向和縱向熱導率分別為1.00和8.00 W/mK。

三維四向編織復合材料橫向熱傳導系數(shù)的多尺度計算結果和文獻[3]中的實驗結果、文獻[6-7]中的數(shù)值計算結果的對比如表1所示。

表1 橫向熱傳導系數(shù)計算結果與文獻[3,6-7]的結果對比

從表1可以看出：本文采用均勻化方法得到的橫向熱傳導系數(shù)與實驗值吻合較好，且比文獻[6-7]的預測結果更加接近實驗值，但略低于實驗值。

三維四向編織復合材料的熱傳導系數(shù)隨編織角和纖維體積分數(shù)的變化曲線如圖3～圖4所示。

圖3 有效熱傳導系數(shù)隨編織角的變化趨勢

圖4 有效導熱系數(shù)隨纖維體分比的變化趨勢

從圖3可以看出：三維四向編織復合材料的縱向熱傳導系數(shù)整體上高于橫向熱傳導系數(shù)，且編織角越小二者之間的差異越明顯，表明三維四向編織復合材料的熱傳導性能具有明顯的各向異性特征，且編織角越小，各向異性特征越明顯；此外，三維四向編織復合材料的橫向熱傳導系數(shù)隨編織角的增加而不斷增大，而縱向熱傳導系數(shù)隨編織角的增加而不斷減小，且編織角的變化對縱向熱傳導系數(shù)影響較大。這是因為纖維的熱傳導系數(shù)大于基體，且隨著編織角的增大，橫向纖維比例增大而縱向纖維比例減小，從而使得三維四向編織復合材料的橫向熱傳導系數(shù)提高，而縱向熱傳導系數(shù)降低。

從圖4可以看出：當編織角一定時，三維四向編織復合材料的橫向和縱向熱傳導系數(shù)都隨著纖維體積分數(shù)的增加而增加。

三維四向編織復合材料單胞內的溫度分布情況如圖5所示，可以看出：由于纖維的熱傳導系數(shù)明顯大于基體的熱傳導系數(shù)，纖維束所在區(qū)域的溫度值高于基體區(qū)域。此外，由于三維四向編織復合材料的各向異性，單胞的溫度分布存在明顯的不均勻性，而本文所采用的多尺度分析方法能有效捕捉溫度場的不均勻性及局部振蕩效應，為三維編織復合材料的熱力耦合分析奠定基礎。

(a) 單胞宏觀均勻化溫度場分布

(b) z=0.375處的均勻化溫度場分布

(c) 單胞細觀溫度場分布

(d) z=0.375處的細觀溫度場分布

5 結 論

(1) 宏細觀多尺度方法能有效預測三維編織復合材料的熱傳導性能，并且能有效捕捉材料內部的局部振蕩效應。

(2) 三維編織復合材料的熱傳導性能具有明顯的各向異性特征，且編織角越小，各向異性特征越明顯。

(3) 三維編織復合材料單胞模型中的溫度分布表現(xiàn)出明顯的不均勻性。