熊偉騰，范金娟，王云英，肖淑華

(1. 南昌航空大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院，南昌 330063；2.中國航發(fā)北京航空材料研究院，北京 100095)

0 引言

斷口是試樣或零件在試驗(yàn)或者使用過程中發(fā)生斷裂(或形成裂紋后打斷)所形成的斷面。它以形貌特征記錄了材料在載荷和環(huán)境作用下斷裂前的不可逆變形，以及裂紋的萌生和擴(kuò)展直至斷裂的全過程。斷口學(xué)就是通過定性和定量分析來識(shí)別這些特征，并將它與發(fā)生損傷乃至最終失效的過程聯(lián)系起來，找出與失效相關(guān)的內(nèi)在或外在原因的科學(xué)技術(shù)。但是，現(xiàn)代的斷裂分析還基本停留在以斷口的定性分析為主的階段[1]。隨著斷口分析的不斷深入，有學(xué)者研究了特定材料斷口特征隨條件改變的變化規(guī)律，得出了材料在特定環(huán)境下的定量分析方法[2-4]，其中含有基于分形理論定量分析的方法。

基于分形理論定量分析材料斷口，即利用分形維數(shù)對(duì)材料斷口進(jìn)行標(biāo)定或是計(jì)量，以達(dá)到對(duì)材料斷口定量描述的目的[5]。眾多基于分形理論研究材料微觀結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，分形維數(shù)是分形理論中最重要的參數(shù)，材料斷裂位置的微觀結(jié)構(gòu)具有分形特征，可以利用分形維數(shù)對(duì)復(fù)雜斷口微觀結(jié)構(gòu)進(jìn)行定量描述[6-7]。材料斷口的微觀結(jié)構(gòu)與分形幾何結(jié)構(gòu)相似，把材料斷口近似為分形結(jié)構(gòu)并轉(zhuǎn)化為分形圖形，計(jì)算出分形圖形的分形維數(shù)，并與材料斷裂的參數(shù)聯(lián)系，便可建立分形維數(shù)與材料斷裂參數(shù)之間的關(guān)系；一旦建立正確關(guān)系，就可直接從材料破壞之后的斷口分形維數(shù)推測材料的斷裂性質(zhì)，這對(duì)于材料失效分析具有重要意義。

1 分行維數(shù)理論基礎(chǔ)

1.1 分形理論的起源和定義

Mandelbrot于1967年在Science上發(fā)表了題為《英國海岸線有多長？統(tǒng)計(jì)自相似和分形維數(shù)》的著名論文，提出了海岸線在形貌上具有統(tǒng)計(jì)意義上的自相似性，屬于隨機(jī)分形圖像，并利用碼尺法測量出了幾個(gè)國家海岸線的分形維數(shù)[8]，隨后于1982年提出了分形的定義，定義包括2個(gè)部分：

1)滿足式(1)條件的集合A，稱為分形集。其中Dim(A)為集合A的分維數(shù)，dim(A)為其拓?fù)渚S數(shù)。一般來說，Dim(A)是分?jǐn)?shù)。

Dim(A)>Dim(A)

(1)

2)部分與整體以某種形式相似的形，稱為分形。

1.2 分形維數(shù)及計(jì)算原理

維數(shù)是空間理論的基本概念，指的是數(shù)學(xué)中獨(dú)立參數(shù)的數(shù)目；分形維數(shù)則是描述分形形體的維數(shù)。分形維數(shù)也是維數(shù)，但是與經(jīng)典維度認(rèn)知不同，分形維數(shù)并不以整數(shù)形式存在，而是以分?jǐn)?shù)形式存在，甚至是無理數(shù)的形式存在。分形維數(shù)能夠反應(yīng)復(fù)雜形體占有空間的有效性，度量復(fù)雜形體的不規(guī)則性，所以大部分實(shí)驗(yàn)采用分形維數(shù)作為分形參數(shù)。

分形實(shí)驗(yàn)的研究對(duì)象所處的維度不同，則研究對(duì)象的分形數(shù)值(分形維數(shù))范圍不同。當(dāng)研究對(duì)象形貌結(jié)構(gòu)處于二維平面時(shí)，研究對(duì)象的空間維度為2，則分形維數(shù)范圍在1～2之間；當(dāng)研究對(duì)象形貌結(jié)構(gòu)處于三維空間時(shí)，研究對(duì)象的空間維度為3，則分形維數(shù)值范圍在2～3之間(處在同一條線段上的自相似點(diǎn)集，分形維數(shù)值范圍在0～1之間。由于自然分形實(shí)驗(yàn)研究中很少出現(xiàn)此類集合，所以較少考慮分形維數(shù)在0～1之間的實(shí)驗(yàn)情況)。

由于研究對(duì)象不同，測量分形維數(shù)的基本單位也不一樣。有規(guī)分形圖形的分形維數(shù)計(jì)算公式為：

(2)

式中：ε是測量的基本長度，研究對(duì)象處于一條直線上時(shí)，基本測量單位是ε的線段；研究對(duì)象形貌結(jié)構(gòu)處在二維平面時(shí)，基本測量單位是ε2的正方形；研究對(duì)象形貌結(jié)構(gòu)處于三維空間時(shí)，基本測量單位是ε3的正方體。Nε是用基本單位覆蓋被測形體所得的數(shù)目，最后通過求極限，得出分形維數(shù)D。對(duì)于隨機(jī)分形圖形，可用不同的近似方法進(jìn)行計(jì)算，也可用一定的適當(dāng)方法進(jìn)行計(jì)算[9]。

1.3 分形特征圖形

分形理論的研究對(duì)象即為分形圖形，分形特征圖形分為有規(guī)分形圖形和隨機(jī)分形圖形[10]。有規(guī)分形圖形嚴(yán)格遵循分形定義，即曲線具有局部與整體相似構(gòu)造，比較典型的有規(guī)分形圖形有康托爾集合(Cantor三分點(diǎn)集)、科赫Koch曲線、Sierpinski三角形等。

Cantor三分點(diǎn)集是由德國數(shù)學(xué)家格奧爾格·康托爾引入的處在同一條線段上點(diǎn)的集合(圖1a)，康托爾集合的分形維數(shù)為0.631 0；Koch曲線是由瑞典數(shù)學(xué)家科赫設(shè)計(jì)的與雪花邊緣類似的曲線(圖1b)，Koch曲線的分形維數(shù)為1.261 8；Sierpinski三角形是波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基提出的，是自相似集比較典型的例子(圖1c)，Sierpinski三角形的分形維數(shù)為1.585 0。

隨機(jī)分形圖形是指符合統(tǒng)計(jì)意義的自相似圖形，局部和整體不是嚴(yán)格自相似，并且測得分形維數(shù)只存在于無標(biāo)度域。可以理解，利用不同的測量單位測量有規(guī)分形圖形，并利用式(1)求出極限，便可求得分形維數(shù)，分形維數(shù)值不會(huì)隨著測量單位ε的大小變化而變化；而測量隨機(jī)分形圖形時(shí)，變化測量單位的大小，分形維數(shù)并不呈現(xiàn)為單一數(shù)值，而是呈現(xiàn)出一定范圍內(nèi)波動(dòng)特征，所以對(duì)測量單位和測量結(jié)果進(jìn)行數(shù)值擬合，便可在無標(biāo)度域內(nèi)得出統(tǒng)計(jì)計(jì)算下的分形維數(shù)[2,9]。在自然分形中，隨機(jī)分形比較常見，例如海岸線、大地震裂紋、人體血管、雪花、樹葉，都可轉(zhuǎn)化為隨機(jī)分形圖形。比較典型的隨機(jī)分形圖形及雪花原型見圖2。

有規(guī)分形圖形和隨機(jī)分形圖形都用來描述分形幾何形體，差別在于：有規(guī)分形圖形所描述的是嚴(yán)格自相似圖形，多運(yùn)用于數(shù)學(xué)分形研究；隨機(jī)分形圖形描述的是統(tǒng)計(jì)意義上的自相似分形形體，多運(yùn)用于自然分形研究。材料斷口上某些特征形貌符合統(tǒng)計(jì)意義上的自相似，所以可以通過轉(zhuǎn)化，將其特征形貌轉(zhuǎn)化為隨機(jī)分形圖形，并對(duì)其進(jìn)行研究。

2 斷口分形維數(shù)測量方法

大部分材料的斷口表面具有分形特征，具有分形特征的斷口表面可以利用分形維數(shù)對(duì)其標(biāo)定。斷口分形維數(shù)測量主要包括2個(gè)過程：斷口分形特征形貌的提取過程和隨機(jī)分形圖形的維數(shù)計(jì)算過程。提取過程為提取具有分形特征的斷口形貌，將形貌數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為二維或三維的隨機(jī)分形圖形；計(jì)算過程為計(jì)算轉(zhuǎn)化后的隨機(jī)分形圖形的分形維數(shù)。以常見的幾種斷口分形維數(shù)測量方法為例，描述各測量方法的優(yōu)缺點(diǎn)并綜述其研究進(jìn)展。

2.1 小島法

1984年，Mandelbrot提出利用小島法測量金屬斷口[11-12]。實(shí)驗(yàn)提出金屬斷口具有統(tǒng)計(jì)自相似性，金屬斷口表面可以發(fā)現(xiàn)裂紋擴(kuò)展往往是按Z字形狀前進(jìn)的，每一步都是不規(guī)則、大小不等、方向不一，而且在大的Z字形通道上套有小的Z字形通道、整個(gè)裂紋路徑形成多層次結(jié)構(gòu)[8]，并采用小島法測量金屬斷口的分形維數(shù)。其實(shí)驗(yàn)流程是：利用真空鍍膜技術(shù)在金屬斷口表面鍍一層鎳，然后平行于斷口平面進(jìn)行拋光，斷口凸出部分被拋光發(fā)亮，稱作為島；把磨拋后的斷口放置在體視顯微鏡下觀察拍照，由于鍍鎳層顏色為暗色，區(qū)別了光亮的磨拋部分；對(duì)磨拋后的斷口圖片進(jìn)行評(píng)定，測量出斷口上所有島的面積和周長；取固定的磨拋深度，重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)。測量出多組島的面積和周長符合式(3)。

(3)

式中，Ld為島的周長，S為島的面積，D為分行維數(shù)，K為常數(shù)。式中兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得到：

logLd=K+1/2DlogA

(4)

制作logA-logLP曲線，通過線性回歸分析，求出擬合直線的斜率，得出分形維數(shù)D。

隨著小島法的提出，眾多學(xué)者便利用小島法對(duì)材料斷口進(jìn)行深入探究。早期的小島法測量分形維數(shù)流程簡單，即多次磨拋-多次測量-計(jì)算分形維數(shù)。但是也有諸多不足之處：磨拋試樣的力度和角度不好掌握，磨拋過程繁瑣；實(shí)驗(yàn)需要多次磨拋和測量，實(shí)驗(yàn)流程的重復(fù)性高，容易出錯(cuò)；需要對(duì)斷口進(jìn)行磨拋，破壞了金屬斷口，無法重復(fù)實(shí)驗(yàn)；由式(4)可以看出，磨拋尺度越小，logA-logLP曲線的數(shù)據(jù)點(diǎn)越多，線性回歸計(jì)算值越精確，即為了求得精確的分形維數(shù)，對(duì)磨拋精度要求十分高；在一般的計(jì)算條件下，島的周長隨島的面積增加而增加，但是測量時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)截面為環(huán)形島面的情況，即島面中部凹陷[13]。如果測量中出現(xiàn)環(huán)形小島，測量中島的面積是減少的，島的周長是增加的，不符合式(3)中的比例關(guān)系，導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)誤差。

針對(duì)小島法需要磨拋的缺點(diǎn)，部分學(xué)者通過改變測量方式提高測試精度。文獻(xiàn)[14]提出將混凝土斷口放置在裝滿有色液體的水箱中(圖3a)，液體覆蓋了斷裂表面的最高點(diǎn)，隨著液體水位的降低，一個(gè)被液體包圍的混凝土島嶼出現(xiàn)了，多次下降液體水位并拍照，通過照片中島嶼面積和周長關(guān)系計(jì)算出混凝土的分形維數(shù)。唐明等[15]采用高強(qiáng)石膏在混凝土斷裂試樣表面復(fù)型，可短時(shí)間內(nèi)獲得相應(yīng)的斷裂表面，并高精度分割和無破損接觸石膏，達(dá)到測試目的；此改進(jìn)方法實(shí)現(xiàn)了小島法無損測量，彌補(bǔ)了小島法的磨拋精度要求高、需多次磨拋、無法重復(fù)實(shí)驗(yàn)的不足，但是此方法的測量精度有待提升。Carney等[16]對(duì)4340號(hào)鋼進(jìn)行拉伸試驗(yàn)，對(duì)拉伸斷口磨拋和電鍍，并在掃描電鏡(BSE)下拍攝磨拋后的斷口形貌；與光學(xué)顯微鏡相比，利用掃描電鏡拍攝的磨拋斷口對(duì)景深要求低，圖像清晰并且測量精度高。楊揚(yáng)等[17]利用掃描電鏡對(duì)PVC/NBR共混型熱塑性彈性體的混合界面進(jìn)行了拍照(圖3b)，利用Image-Pro Plus圖形分析軟件測量界面上每個(gè)島的周長和面積，并通過式(4)計(jì)算出共混彈性體界面的分形維數(shù)；實(shí)驗(yàn)中采用了圖片分析軟件，使得測量更為精確和系統(tǒng)，降低了實(shí)驗(yàn)中的偶然誤差。張紹群等[18]通過三維掃描技術(shù)研究木材斷口的分形特征，利用了白光三維掃描儀對(duì)木材試件斷口進(jìn)行掃描，提取了木材斷口的三維片體模型(圖3c)，再利用UG軟件對(duì)木材斷口進(jìn)行裁截，并計(jì)算出斷口的分形維數(shù)，該方法解決了小島法磨拋尺度嚴(yán)格、需要破壞斷口、不可重復(fù)操作同一斷口的缺陷，并且測量更為精確和系統(tǒng)。

另外，也有學(xué)者通過改進(jìn)小島法的計(jì)算方式，提高分形計(jì)算的穩(wěn)定性。穆在勤等[19]在計(jì)算金屬斷口分形維數(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)測量尺碼增加，周長-面積方法測得分維有下降趨勢，并提出了利用周長-最大直徑的計(jì)算方法測得分形維數(shù)比較穩(wěn)定，不會(huì)隨著測量尺碼變化而變化。李啟楷等[20]提出變分辨率碼尺的方法測量斷口分維，對(duì)比并驗(yàn)證了變分辨率碼尺法優(yōu)于傳統(tǒng)的變碼尺法，利用分辨率碼尺方法在納米尺度測定了Ti3AlTi-24Al-11Nb合金斷口的分形維數(shù)。

由于拍攝技術(shù)與計(jì)算機(jī)技術(shù)的局限，早期采用小島法測量斷口分形維數(shù)的實(shí)驗(yàn)基本使用磨拋的方式測量材料斷口磨拋后的“小島”周長和面積，所以實(shí)驗(yàn)對(duì)象也有其局限性，一般選用硬而韌的材料斷口，例如金屬和混凝土。隨著科學(xué)技術(shù)的不斷提升，小島法的測量方式逐漸向無損測量、非接觸式的方向改進(jìn)，測量方式的改進(jìn)使得實(shí)驗(yàn)對(duì)象不再受到局限，例如木材和高分子材料斷口也可采用小島法進(jìn)行測試。同時(shí)，小島法維數(shù)計(jì)算方式的改進(jìn)提高了分形計(jì)算的穩(wěn)定性和精度，使得小島法測量材料斷口的分形維數(shù)更為精確。

2.2 垂直截面法

垂直截面法是通過對(duì)斷口的截面進(jìn)行測量。首先將材料斷口沿兩個(gè)不同方向垂直剖開，得到2條斷口邊界輪廓線，然后利用體視顯微鏡拍攝，最后利用碼尺法測出斷口輪廓線的分形維數(shù)。碼尺法是利用單位長度線段度量輪廓曲線，測出所用線段總數(shù)N(r)。多次改變單位長度，N(r)隨之而變化，并有關(guān)系式：

Nr=L/r∝r-D

(5)

式中，L為不同段位長度測出的曲線總長度，作lnL-lnr曲線，存在較長的直線部分，求出直線斜率為1-D，即可求出斷口2個(gè)不同方向垂直截面分形維數(shù)。垂直截面法測量時(shí)只需對(duì)斷口進(jìn)行數(shù)次裁截，測量方法相比于小島法更為簡便，但是垂直截面法存在與小島法類似的問題，即需要損傷材料的斷口，無法反復(fù)實(shí)驗(yàn)。并且垂直截面法所截取的是斷口輪廓，僅為斷口的部分形貌特征，測量的分形維數(shù)不能代替整個(gè)材料斷口，即測得斷口分形維數(shù)值具有局限性[14]。

垂直截面法在國外較先使用。文獻(xiàn)[21]在對(duì)4340號(hào)鋼斷口定量分析實(shí)驗(yàn)中，驗(yàn)證了樣品斷口的連續(xù)截面所計(jì)算的分形維數(shù)與斷口各方位截面計(jì)算的分形維數(shù)結(jié)果相近，極大地減少了實(shí)驗(yàn)中對(duì)斷口截面數(shù)量的要求。

儀建章[22]提出了利用斷口粗糙度參數(shù)測定斷口面分維的方法，以TC11鈦合金斷口為研究對(duì)象，采用對(duì)稱截取3個(gè)垂直剖面的方法，得到面分維相對(duì)誤差小于3%；通過計(jì)算機(jī)模擬驗(yàn)證后的對(duì)稱剖面法降低了實(shí)驗(yàn)所需剖面次數(shù)，提高了實(shí)驗(yàn)效率。吳成寶等[23]利用垂直截面法測量無機(jī)粒子填充高分子復(fù)合材料時(shí)提出沿用特征粗糙度[24]的測量方法，測量結(jié)果能夠體現(xiàn)顆粒填充高分子復(fù)合材料斷口表面多尺度測量的標(biāo)度率特征。蔣林根等[25]針對(duì)垂直截面法勞動(dòng)強(qiáng)度大、效率低、測量結(jié)果受環(huán)境影響較大的缺點(diǎn)，開發(fā)了斷面分形維數(shù)測算系統(tǒng)，且對(duì)垂直截面法測算的分形維數(shù)結(jié)果可靠性進(jìn)行了測算，為材料斷面分形維數(shù)的測量提供了準(zhǔn)確、快速的計(jì)算方法。豐杰等[26]認(rèn)為斷口實(shí)際分形維數(shù)在2～3之間，所以利用垂直截面法測量不銹鋼拉伸斷口分形維數(shù)時(shí)采用截面約定法[27]，計(jì)算出斷口的分形維數(shù)，測算結(jié)果為體分形維數(shù)(維數(shù)值在2～3之間)。

早期實(shí)驗(yàn)中，垂直截面法和小島法類似，都需要破壞實(shí)驗(yàn)斷口進(jìn)而達(dá)到實(shí)驗(yàn)的目的，但是隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，小島法逐漸采用無損檢測的方式測量斷口分形維數(shù)，而垂直截面法鮮有采用無損測量(拍攝斷口垂直截面)的方式測量。并且垂直截面法的測量對(duì)象為三維斷口形貌，而大部分分形實(shí)驗(yàn)的測量結(jié)果為面分形維數(shù)(維數(shù)值在1～2之間)，測量結(jié)果并不能反映研究對(duì)象的真實(shí)維數(shù)，即使部分分形實(shí)驗(yàn)中采用截面約定法測量的分形維數(shù)值在2～3之間，但截面約定法為歐式幾何中的概念，移植到分形幾何中需要一定的條件[28]，不具有普適性。

2.3 計(jì)盒維數(shù)法

計(jì)盒維數(shù)法是利用掃描電鏡對(duì)斷口表面進(jìn)行拍攝，然后對(duì)拍攝的圖像先后進(jìn)行裁剪、灰度處理、二值化處理，得到二值化圖片后利用Matlab軟件編程提取分形曲線，再利用Matlab軟件計(jì)算出分形維數(shù)。計(jì)盒維數(shù)法的計(jì)算過程是利用封閉的正方盒子覆蓋被測物體表面的二維掃描電鏡圖片，正方盒子邊長為1/2n，計(jì)算出覆蓋被測物體的盒子個(gè)數(shù)M，被測物體的盒維數(shù)Db為：

(6)

由于計(jì)盒維數(shù)法是利用掃描電子顯微鏡拍攝斷口，得到二維的斷口圖像，轉(zhuǎn)化為分形圖形并計(jì)算得出的分形維數(shù)范圍在1～2之間，斷口是三維結(jié)構(gòu)，維數(shù)值應(yīng)該在2～3之間，即傳統(tǒng)的計(jì)盒維數(shù)法采集斷口時(shí)缺少深度信息，所測得斷口維數(shù)并非斷口真實(shí)維數(shù)。

為了解決計(jì)盒維數(shù)法缺少深度信息的缺陷，眾多學(xué)者提出了解決方案，常見的解決方法是利用三維重建技術(shù)和三維掃描技術(shù)獲取三維的斷口模型。

三維重建技術(shù)是利用空間同一物體點(diǎn)在不同的立體環(huán)境下的兩圖像的視覺差計(jì)算材料的高度，通過同一物體點(diǎn)在不同視覺角度的對(duì)應(yīng)關(guān)系，求出物體的實(shí)際高度。利用掃描電鏡不同角度的拍攝物體同一部位，利用三維重建技術(shù)求出實(shí)際高度，解決了掃描電鏡拍攝物體缺少深度信息的缺陷。王懷文等[29]在三維重建技術(shù)研究的基礎(chǔ)上，利用掃描電鏡三維重建技術(shù)對(duì)巖石斷口進(jìn)行測量，實(shí)驗(yàn)中主要通過轉(zhuǎn)換掃描電鏡載物臺(tái)的垂直角度，拍攝同一斷口位置的圖片，再通過數(shù)據(jù)處理得到斷口的三維重建模型，并計(jì)算出分形維數(shù)。

三維掃描技術(shù)則是通過儀器的調(diào)焦深度不一，直接獲得不同深度層次的三維斷口模型。隨著拍攝技術(shù)的發(fā)展，逐漸采用三維測量儀器對(duì)斷口進(jìn)行測量，分形斷口實(shí)驗(yàn)所用到的三維測量儀器有激光共聚焦顯微鏡和白光干涉形貌儀。激光表面測量技術(shù)利用激光對(duì)斷口表面重要區(qū)域進(jìn)行測距，并把測量出的三維斷口形貌數(shù)據(jù)導(dǎo)入電腦中并進(jìn)行處理，該技術(shù)測量的三維斷口數(shù)據(jù)保真性高。劉安中等[30]利用Keyence vk9710激光共聚焦顯微鏡測量16MnR高溫?fù)p傷后的疲勞斷裂試樣斷口(圖4a)，利用三維處理軟件獲得網(wǎng)格化的三維圖像，并計(jì)算斷口維數(shù)。三維白光干涉表面形貌儀通過干涉條紋的亮度明暗度測出樣品相對(duì)高度，也可提取斷口形貌。齊菲[31]采用三維白光干涉表面形貌儀測量了多種陶瓷材料的三維形貌(圖4b)，并采用三維數(shù)據(jù)處理軟件，利用計(jì)盒維數(shù)法測量其斷口分形維數(shù)。

隨著測量的圖形由二維向三維的轉(zhuǎn)變，計(jì)盒維數(shù)法的分維計(jì)算方法也有所改進(jìn)。一般方法是基于二維平面的計(jì)盒維數(shù)計(jì)算方法，劃盒單位由正方形變成立方體，利用基本單位對(duì)三維重建后的斷口覆蓋測量，最后通過公式計(jì)算出分形維數(shù)。王懷文等[29]采用的三維計(jì)算方法，首先用邊長為δ的立方體對(duì)粗糙表面進(jìn)行覆蓋，計(jì)算出邊長為δ時(shí)覆蓋區(qū)域立方體的個(gè)數(shù)，然后多次改變邊長δ并測量，最后采用式(1)計(jì)算出三維斷口數(shù)據(jù)下的分形維數(shù)。

另外，計(jì)盒維數(shù)法的分維計(jì)算方法還有投影覆蓋法。王金安等[32]在不同劃格尺寸下，通過近似公式計(jì)算出投影網(wǎng)格的總面積，再利用總面積和劃格尺寸的指數(shù)正比關(guān)系可以求出被測表面的真實(shí)分形維數(shù)。投影網(wǎng)格總面積近似計(jì)算見式(7)，總面積和劃格尺寸的關(guān)系見式(8)。

AT(δ)=(1/2){[δ2+(hak-hdk)2]1/2[δ2+

(hdk-hck)2]1/2+[δ2+(hak-hbk)2]1/2[δ2+

(hbk-hck)2]1/2}

(7)

ATδ∝δ2-Ds

(8)

式中，投影覆蓋法選取的投影區(qū)域?yàn)閍bcd，δ為劃格尺度，AT(δ)為近似計(jì)算粗糙表面的面積，Ds為粗糙表面的分形維數(shù)。

利用計(jì)盒維數(shù)法測量斷口分形維數(shù)時(shí)不需要接觸材料斷口，相比于小島法和垂直截面法，對(duì)實(shí)驗(yàn)對(duì)象的要求更低，符合測量條件的材料斷口(斷口表面形貌具有分形特征、斷口表面無內(nèi)凹面[33]等)都可采用計(jì)盒維數(shù)法對(duì)斷口表面進(jìn)行測量；并且斷口形貌的提取結(jié)果逐漸由二維向三維轉(zhuǎn)變，激光共聚焦顯微鏡、白光干涉形貌儀拍攝或掃描電鏡三維重構(gòu)技術(shù)提取的結(jié)果都為三維模擬數(shù)據(jù)。另外，斷口形貌的計(jì)算方式也由早期的二維向三維改進(jìn)，計(jì)算結(jié)果更接近斷口的真實(shí)分形維數(shù)，并且分形維數(shù)測量模式逐漸轉(zhuǎn)向Matlab編程方式，極大地提高了測量精度和測量效率，解決了分形計(jì)算復(fù)雜、重復(fù)性高的缺點(diǎn)。

3 分形實(shí)驗(yàn)研究的注意事項(xiàng)

大多數(shù)材料斷口分形實(shí)驗(yàn)把斷口相關(guān)參數(shù)、材料性能等與分形維數(shù)進(jìn)行聯(lián)系和分析，但是由于分形理論定義廣泛、試樣斷口各異、斷口形貌提取方式和維數(shù)計(jì)算方法多樣，許多分形實(shí)驗(yàn)建立的分形維數(shù)與傳統(tǒng)力學(xué)性能參數(shù)關(guān)系并不一致[35-37]，所以，為了保證實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的可靠性和可比性，避免在實(shí)驗(yàn)過程中出現(xiàn)偶然誤差，則需嚴(yán)格控制實(shí)驗(yàn)中可能產(chǎn)生的變量。

首先，需要確定實(shí)驗(yàn)中的實(shí)驗(yàn)對(duì)象。分形實(shí)驗(yàn)中的實(shí)驗(yàn)對(duì)象為材料斷口，且已有大量材料證得斷口表面包含分形特征，不同材料的斷口形貌存在差異，斷口分形特征也不相同[37-39]。吉曉華[13]在探究焊條熔敷金屬斷口分維與力學(xué)性能關(guān)系時(shí)，以焊芯熔敷金屬的化學(xué)成分、力學(xué)條件為變量，探究其變量和斷口分維的關(guān)系；Wang等[40]綜述多孔金屬材料各項(xiàng)參數(shù)與分形維數(shù)的關(guān)系中，變量包括多孔試樣的孔隙率、試樣斷口產(chǎn)生的力學(xué)條件。即試樣的種類、成分、斷口產(chǎn)生條件等不同都能導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生差異，所以需要從斷口參數(shù)上控制可能產(chǎn)生的變量。

其次，需要確保斷口拍攝技術(shù)一致。利用拍攝技術(shù)對(duì)斷口形貌進(jìn)行拍攝時(shí)，需要對(duì)所拍攝斷口的特征區(qū)域、拍攝的放大倍數(shù)、像素等變量進(jìn)行控制。曹睿等[41]提出材料在斷裂過程中包含了形變、裂紋萌生、裂紋擴(kuò)展、瞬斷階段，每個(gè)階段對(duì)應(yīng)的斷口形貌存在差異，斷口表面包含多種斷裂特征形貌，所以利用單個(gè)分形維數(shù)表達(dá)整個(gè)斷口的表面粗糙度，或者度量斷口表面復(fù)雜程度是不準(zhǔn)確的，所以測量斷口形貌時(shí)應(yīng)該劃分?jǐn)嗔烟卣鲄^(qū)域；Wang等[40]綜述中提出改變拍攝分形斷口時(shí)的放大倍數(shù)和圖像分辨率，也會(huì)影響材料斷口的分形維數(shù)。即材料的特征區(qū)域、拍攝放大倍數(shù)、圖像分辨率作為分形斷口形貌提取方式能夠改變斷口分形維數(shù)，所以在拍攝斷口形貌前應(yīng)先制定好拍攝方案。

最后，需要對(duì)斷口拍攝數(shù)據(jù)的處理方式進(jìn)行控制。不同的分形特征提取方式和計(jì)算方法測量同一試樣斷口，得到的分形維數(shù)值往往不可比較，即使同一種提取和計(jì)算方法測量同一斷口，得到的分形維數(shù)也會(huì)因測量碼尺大小和無標(biāo)度區(qū)大小的選取而產(chǎn)生差異[12]。即測量尺碼和無標(biāo)度區(qū)域等計(jì)算方式不一也會(huì)導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生差異，所以控制拍攝數(shù)據(jù)的處理方式至關(guān)重要。

4 結(jié)束語

1)隨著斷口分形測量研究的不斷深入，3種測量斷口分形維數(shù)的方法都向著非接觸式、非破壞性、測量簡單、計(jì)算精確的方向發(fā)展，尤其是計(jì)盒維數(shù)法和小島法，已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了無損測量方法和編程計(jì)算分維方法。

2)計(jì)盒維數(shù)拍攝方法的改進(jìn)，讓分形材料斷口的測量幾乎沒有局限性，且分維計(jì)算結(jié)果更接近斷口真實(shí)分形維數(shù)。正是由于計(jì)盒維數(shù)法和小島法的特性和改進(jìn)，在現(xiàn)代分形維數(shù)測量方法中，計(jì)盒維數(shù)法的使用率高于小島法，垂直截面法逐漸成為輔助和對(duì)比性測量方法，所以在測量材料斷口分形維數(shù)時(shí)，優(yōu)先考慮采用計(jì)盒維數(shù)法。

3)影響分形維數(shù)變化的實(shí)驗(yàn)變量可大致分為斷口的產(chǎn)生條件、分形斷口提取方式、斷口分維計(jì)算方式3大類。所以，在分形實(shí)驗(yàn)前，應(yīng)先控制斷口參數(shù)、拍攝方案、拍攝數(shù)據(jù)處理方式等實(shí)驗(yàn)變量，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行分形實(shí)驗(yàn)，可避免部分偶然誤差的產(chǎn)生。