■河南省項城市第一高級中學 郭 麗

一、選擇題

1.蘋果手機上的商標圖案(如圖1所示)是以曲線段A B為分界線,裁去一部分圖形制作而成的,如果該分界線是一段半徑為R的圓弧,且A,B兩點間的距離為 2R,那么分界線的長度應為( )。

圖1

2.已知直線a x+b y+c-2=0(b＞0,c＞0)經(jīng)過雙曲線的上頂點,則的最小值是( )。

3.如圖2,在長方體A B C D-A1B1C1D1中,A B=A D=2A A1=4,O是底面A B C D的中心,E是A1D1的中點,P是底面A B C D上的動點,且到直線O E的距離等于1,對于點P的軌跡,下列說法正確的是( )。

圖2

6.已知點A(-2,0),B(2,0),P(x0,y0是直線y=x+4上任意一點,以A,B為焦點的橢圓過點P,記橢圓的離心率e關于x0的函數(shù)為e(x0),那么下列結論中正確的是( )。

A.e與x0一一對應

B.函數(shù)e(x0)是增函數(shù)

C.函數(shù)e(x0)無最小值,有最大值

D.函數(shù)e(x0)有最小值,無最大值

7.過拋物線y2=2p x(p＞0)的焦點F作斜率大于0的直線l交拋物線于A,B兩點(A在B的上方),且l與準線交于點C,若

9.如圖3,已知拋物線C:y2=4x,過點A(1,2)作拋物線C的弦A P,A Q。設直線P Q過點T(5,-2),則以P Q為底邊的等腰三角形A P Q的個數(shù)為( )。

A.1 B.2

C.3 D.4

圖3

11.已知中心在原點的橢圓與雙曲線有公共焦點,左、右焦點分別為F1,F2,且兩條曲線在第一象限的交點為P,若△P F1F2是以P F1為底邊的等腰三角形,橢圓與雙曲線的離心率分別為e1,e2,則e1·e2的取值范圍是( )。

12.如圖4,已知拋物線C的方程為y2=2p x(p＞0),一條長度為4p的線段A B的兩個端點在拋物線C上運動,則線段A B的中點D到y(tǒng)軸距離的最小值為( )。

二、填空題

13.如圖5,一橫截面為等腰梯形的水渠,因泥沙沉積,導致水渠截面邊界呈拋物線型(圖中虛線所示),則原始的最大流量與當前最大流量的比值為____。

圖5

15.已知A,B為拋物線y2=2x上兩個動點,O為坐標原點,且O A⊥O B,若直線A B的傾斜角為135°,則S△AOB=____。

三、解答題

17.某市為改善市民出行,準備規(guī)劃道路建設。規(guī)劃中的道路M-N-P如圖6所示,已知A,B是東西方向主干道邊上的兩個景點,且它們到城市中心O的距離均為是正北方向主干道邊上的一個景點,且到城市中心O的距離為4k m,線路MN段上的任意一點到景點A的距離比到景點B的距離都多1 6k m,其中道路起點M到東西方向主干道的距離為6k m,線路NP段上的任意一點到O的距離都相等。以O為原點,線段A B所在直線為x軸建立平面直角坐標系x O y。

圖6

(1)求道路M-N-P的曲線方程;

(2)現(xiàn)要在道路M-N-P上建一站點Q,使得Q到景點C的距離最近,問:如何設置站點Q的位置(即確定點Q的坐標)?

18.在直角坐標系x O y中,拋物線C的

圖4

(1)求拋物線C的方程。

(2)若點P(t,1)(t＞0)為拋物線C上的定點,A,B為拋物線C上兩個動點,且P A⊥P B,問:直線A B是否經(jīng)過定點?若是,求出該定點;若不是,說明理由。

19.已知F,F′分別是橢圓C1:1 7x2+1 6y2=下>的上下焦點,直線l1過點F′且垂直于橢圓長軸,動直線l2垂直l1于點G,線段G F的垂直平分線交l2于點H,點H的軌跡為C2。

(1)求軌跡C2的方程。

(2)若動點P在直線l:x-y-2=0上運動,且過點P作軌跡C2的兩條切線P A,P B,切點為A,B,試猜想∠P F A與∠P F B的大小關系,并證明你的結論的正確性。

(1)求橢圓C的方程。

(2)設P是橢圓C上的一個動點,且點P在y軸的右側,直線P A,P B與直線x=4分別交于M,N兩點。若以MN為直徑的圓與x軸交于E,F兩點,求點P橫坐標的取值范圍及|E F|的最大值。

21.已知雙曲線C的中心在原點,D(1,0)是它的一個頂點,d=(1,2)是它的一條漸近線的一個方向向量。

(1)求雙曲線C的方程。

(2)若過點(-3,0)任意作一條直線與雙曲線C交于A,B兩點(A,B都不同于點D),求證為定值。

情形二:拋物線y2=2p x(p＞0)及它的頂點;

22.如圖7,在平面直角坐標系x O y中,已知R(x0,y0)是橢圓的一點,從原點O向圓R:(x-x0)2+(y-y0)2=8作兩條切線,分別交橢圓于點P,Q。

圖7

(1)若點R在第一象限,且直線O P,O Q互相垂直,求圓R的方程。

(2)若直線O P,O Q的斜率存在,并記為k1,k2,求k1·k2的值。

(3)試問:O P2+O Q2是否為定值?若是,求出該值;若不是,說明理由。