■河南省項(xiàng)城市第一高級(jí)中學(xué) 田大鵬

一、選擇題

1.頂點(diǎn)在原點(diǎn),經(jīng)過(guò)圓C:x2+y2-2x+2 3y=0的圓心且準(zhǔn)線與x軸垂直的拋物線的方程為( )。

4.某些首飾,如手鐲、項(xiàng)鏈、吊墜等都是橢圓形狀,這種形狀給人以美的享受,在數(shù)學(xué)中,我們把這種橢圓叫作“黃金橢圓”,其離心率設(shè)黃金橢圓的長(zhǎng)半軸,短半軸,半焦距分別為a,b,c,則a,b,c滿(mǎn)足的關(guān)系是( )。

A.2b=a+c B.b2=a c

C.a=b+c D.2b=a c

5.動(dòng)圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)F(1,0),并且與直線x=-1相切,若動(dòng)圓C與直線y=總有公共點(diǎn),則圓C的面積( )。

A.有最大值8 π B.有最小值2 π

C.有最小值3 π D.有最小值4 π

6.如圖1,已知|A B|=10,圖中的一系列圓是圓心分別為A、B的兩組同心圓,每組同心圓的半徑分別是1,2,3,…,n,…。利用這兩組同心圓可以畫(huà)出以A,B為焦點(diǎn)的橢圓或雙曲線。若其中經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,N的橢圓的離心率分別是eM,eN,經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,Q的雙曲線的離心率分別是eP,eQ,則它們的大小關(guān)系是( )。橢圓

圖1

A.eM＜eN＜eQ＜eP

B.eN＜eM＜eP＜eQ

C.eP＜eQ＜eM＜eN

D.eQ＜eN＜eM＜eP

7.已知p:“|a|=2”,q:“直線y=a x+1-a與拋物線y=x2相切”,則p是q的( )。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

9.打開(kāi)“幾何畫(huà)板”軟件進(jìn)行如下操作:

①用畫(huà)圖工具在工作區(qū)畫(huà)一個(gè)大小適中的圓C;

②用取點(diǎn)工具分別在圓C上和圓C外各取一個(gè)點(diǎn)A,B;

③用構(gòu)造菜單下對(duì)應(yīng)命令作出線段A B的垂直平分線l;

④作出直線A C。

設(shè)直線A C與直線l相交于點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)B為定點(diǎn),點(diǎn)A在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)P的軌跡是( )。

A.圓 B.橢圓

C.雙曲線 D.拋物線

10.在△A B C中,A(x,y),B(-2,0),C(2,0),給出△A B C滿(mǎn)足的條件,就能得到動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程,如表1給出了一些條件及方程:

表1

則滿(mǎn)足條件①、②、③的軌跡方程分別用代號(hào)表示應(yīng)為( )。

A.E3,E1,E2B.E1,E2,E3

C.E3,E2,E1D.E1,E3,E2

二、填空題

13.已知水平地面上有一籃球,在斜平行光線的照射下,其陰影為一橢圓(如圖2),在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),設(shè)橢圓的方程,籃球與地面的接觸點(diǎn)為H,則|OH|

圖2

14.設(shè)F為橢圓的右焦點(diǎn)且橢圓上至少有10個(gè)不同的點(diǎn)Pi(i=12,3,…),使|F P1|,|F P2|,|F P3|,…組成公差為d的等差數(shù)列,則d的取值范圍是____。

15.從-3,-2,-1,1,2,3中任取三個(gè)不同的數(shù)作為橢圓方程a x2+b y2-c=0中的系數(shù),則確定不同的橢圓的個(gè)數(shù)為_(kāi)___。

三、解答題

17.如圖3所示,某街道居委會(huì)擬在E F地段的居民樓正南方向的空白地段A E上建一個(gè)活動(dòng)中心,其中A E=活動(dòng)中心東西走向,與居民樓平行。從東向西看活動(dòng)中心的截面圖的下部分是長(zhǎng)方形A B C D,上部分是以D C為直徑的半圓。為了保證居民樓住戶(hù)的采光要求,活動(dòng)中心在與半圓相切的太陽(yáng)光線照射下落在居民樓上的影長(zhǎng)G E不超過(guò)2.5

圖3

(2)在保證上述采光要求的前提下,如何設(shè)計(jì)A B與A D的長(zhǎng)度,可使得活動(dòng)中心的截面面積最大?(注:計(jì)算中π取3)

18.圖4所示的A-B-C-D-E-F是一個(gè)滑滑板的軌道截面圖,其中A B,D E,E F是線段,B-C-D是一拋物線弧;點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn),直線D E與拋物線在D處相切,直線L是地平線。已知點(diǎn)B離地面L的高度是9m,離拋物線的對(duì)稱(chēng)軸的距離是6m,直線D E與L的夾角是45°。試建立直角坐標(biāo)系:

圖4

(1)求拋物線方程,并確定D點(diǎn)的位置。

(2)現(xiàn)將拋物線弧B-C-D改造成圓弧,要求圓弧經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,D,且與直線D E在D處相切。試判斷圓弧與地平線L的位置關(guān)系,并求該圓弧長(zhǎng)。(可參考數(shù)據(jù)

19.設(shè)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線C2:x2=4 3y的焦點(diǎn)重合,F1,F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),離心率,過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線與橢圓C交

2于M,N兩點(diǎn)。

(1)求橢圓C的方程。

20.已知拋物線x2=4y,過(guò)拋物線上一點(diǎn)A(x1,y1)(不同于頂點(diǎn))作拋物線的切線l,并交x軸于點(diǎn)C,在直線y=-1上任取一點(diǎn)H,過(guò)H作HD垂直x軸于點(diǎn)D,并交l于點(diǎn)E,過(guò)H作直線H T垂直于直線l,并交x軸于點(diǎn)T,如圖5。

(1)求證:|O C|=|D T|;

(2)試判斷直線E T與拋物線的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由。

21.已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-1,0),F2(1,0),且F2到直線x-的距離等于橢圓的短軸長(zhǎng)。

圖5

(1)求橢圓C的方程;

(2)如圖6,若圓P的圓心為P(0,t)(t＞0),且經(jīng)過(guò)F1,F2,Q是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)且在圓P外,過(guò)Q作圓P的切線,切點(diǎn)為M,當(dāng)|QM|的最大值為求t的值。

圖6

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)△A O B的面積為S,且|A B|=2,S=1,求直線A B的方程。

圖7