■河南省項(xiàng)城市第一高級(jí)中學(xué) 王 璞

圓錐曲線內(nèi)容是平面解析幾何的核心內(nèi)容,因而是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容。隨著課程改革的深入和推進(jìn),高考改革從知識(shí)立意轉(zhuǎn)向能力立意,推出了一批新穎、別致、具有創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思維的新題?？紤]2019年高考趨勢(shì),會(huì)繼續(xù)堅(jiān)持注重基本知識(shí)和通性通法的考查。本文針對(duì)圓錐曲線中的部分創(chuàng)新題型進(jìn)行分類賞析,以探索題型規(guī)律、揭示解題方法。

一、離心率求值或范圍問題

圖1

方法一:在黃金雙曲線中,|O A|=a,|O B|=b,|O F|=c。

|B F|2+|A B|2=|A F|2,所以b2+c2+c2=a2+c2+2a c,因?yàn)閎2=c2-a2,整理得c2-a2-a c=0,所以e2-e-1=0,解得e=(舍去),故黃金雙曲線的離心率

圖2

設(shè)“黃金雙曲線”方程為0,b＞0),則B(0,b),F(-c,0),A(a,0),因 為所以-a c+b2=0。因?yàn)閎2=c2-a2,所以c2-a2-a c=0,所以e2-e-1=0,解得(舍去)。故選A。

點(diǎn)評(píng):解決圓錐曲線與向量相結(jié)合的問題,應(yīng)先看能不能使用坐標(biāo)法,把幾何性問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題再進(jìn)行解決。

例2雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F2,P是其上的點(diǎn),且|P F1|=2|P F2|,則雙曲線離心率的取值范圍是( )。

A.(1,3) B.(1,3]

C.(3,+∞) D.[3,+∞)

解法一：利用余弦定理及三角函數(shù)的有界性求解。

設(shè)|P F2|=m,∠F1P F2=θ(0＜θ≤π)。

因?yàn)?1≤cosθ≤1,e＞1,所以e∈(1,3]。

解法二：利用三角形的性質(zhì)。

不妨設(shè)|P F2|=m,則|P F1|=2m,由雙曲線的定義可得|P F1|-|P F2|=2a,所以|P F2|=2a,|P F1|=4a。

在△P F1F2中,2a+4a＞2c,4a-2a＜2c,所以

又當(dāng)P,F1,F2三點(diǎn)共線時(shí),2a+4a=

點(diǎn)評(píng):解法一根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合余弦定理將離心率轉(zhuǎn)化為角的函數(shù),再利用三角函數(shù)的有界性求出函數(shù)最值;解法二利用三角形的任意兩邊之差小于第三邊的性質(zhì)求解,簡(jiǎn)單易行。

二、弦長(zhǎng)問題

例3已知F是拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn),FM的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N,若M為FN的中點(diǎn),則|FN|=

解法一：易得,Mx=,所以

如圖3,M(1,22),所以N(0,42),所以|FN|=

圖3

解法二：易得

點(diǎn)評(píng):本例難度系數(shù)較低,注意題中條件“若M為FN的中點(diǎn)”,解題時(shí)一定會(huì)用到中點(diǎn)坐標(biāo)公式。

三、軌跡方程問題

例4過原點(diǎn)作直線l和拋物線y=x2-4x+6交于A,B兩點(diǎn),求線段A B的中點(diǎn)M的軌跡方程。

解析：由題可知,直線l的斜率一定存在,設(shè)直線l的方程為y=k x,代入拋物線方程得x2-(4+k)x+6=0,由Δ＞0,解得

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),則或x＞6。

規(guī)律總結(jié)：求軌跡方程的常用方法:①直接法;②相關(guān)點(diǎn)法;③參數(shù)法;④定義法。

注意事項(xiàng)：①求軌跡方程的關(guān)鍵是在復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)變化中,發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,即動(dòng)點(diǎn)滿足的等量關(guān)系。要學(xué)會(huì)動(dòng)中找靜,變中求不變。②軌跡方程可用普通方程F(x,y=0表示,也可以用x=f(t),(t為參數(shù))來｛y=g(t)表示,若要求軌跡方程,需把參數(shù)方程化成普通方程。③求出軌跡方程后,應(yīng)注意檢驗(yàn)是否滿足題意。

四、對(duì)稱問題

例5已知橢圓上兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B關(guān)于直線對(duì)稱。求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解法一：利用判別式及韋達(dá)定理來求解。

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)。

點(diǎn)評(píng):使用判別式及韋達(dá)定理這種方法來求解時(shí),必須抓住:①垂直;②平分;③存在。

解法二：點(diǎn)差法。

由題意可知m≠0,設(shè)A(x1,y1)B(x2,y2),M(x0,y0)。

由題意知,點(diǎn)M(x0,y0)在橢圓內(nèi),故

解法三：利用根的分布求解。

點(diǎn)評(píng):“點(diǎn)差法”是解決中點(diǎn)弦問題時(shí)常見的方法。使用該方法有三個(gè)關(guān)鍵步驟:代入、做差、變形,其實(shí)質(zhì)是建立曲線的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線的斜率之間的關(guān)系,是“設(shè)而不求”思想的具體體現(xiàn)。若曲線C上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱,則等價(jià)于C上存在被直線l垂直平分的弦,即等價(jià)于弦的方程與C的方程組成的方程組在某確定的區(qū)間上有兩個(gè)不同的解。因此可以利用一元二次方程根的分布來求解。

五、最值問題

例6已知A(-2,2)為定點(diǎn),B是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),F是右焦點(diǎn),當(dāng)取得最小值時(shí),試求B點(diǎn)的坐標(biāo)。

解析：由題意,過點(diǎn)B作l的垂線,垂足為N,過A作此準(zhǔn)線的垂線,垂足為M。

復(fù)習(xí)建議：縱觀近幾年高考題,圓錐曲線考查內(nèi)容較少,但是形式變化多端。考題難度上易、中、難三檔題目都有,主要考查的知識(shí)點(diǎn)是圓錐曲線的概念、幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系。同學(xué)們應(yīng)提高自己的獨(dú)立思考、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算、數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用等能力。