■河南省項城市第一高級中學(xué) 胡德軍

概率統(tǒng)計是實施新課標之后高考變化較大的一個模塊,經(jīng)過對近幾年高考試題的觀察分析,不難發(fā)現(xiàn)概率統(tǒng)計試題一般在新穎化、生活化的情境中,結(jié)合數(shù)學(xué)文化、社會熱點,選取一些貼近生活的素材,考查學(xué)生提取信息、分析數(shù)據(jù)、解決問題的能力,以體現(xiàn)概率統(tǒng)計的應(yīng)用價值。下面選取近年來各類數(shù)學(xué)考試中與概率統(tǒng)計相關(guān)的創(chuàng)新試題進行分析。

一、概率與數(shù)學(xué)文化結(jié)合

例1古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用窮竭法建立了這樣的結(jié)論:“任何由直線和拋物線所包圍的弓形,其面積都是其同底同高的三角形面積的三分之四。”如圖1,已知直線x=2交拋物線y2=4x于A,B兩點,點A,B在y軸上的射影分別為D,C。從長方形A B C D中任取一點,根據(jù)阿基米德這一理論,則該點位于陰影部分的概率為( )。

解析：在拋物線y2=4x中,取x=2,可得

圖1

點評:以數(shù)學(xué)文化為問題背景,考查幾何概型是本題的一大亮點,整道題目打破以往常見的幾何概型模式思維,借助于古代數(shù)學(xué)知識直接解題,顯得新穎別致。

二、概率與社會熱點交叉

例2PM 2.5是指懸浮在空氣中的空氣動力學(xué)當量直徑小于或等于2.5微米的顆粒物,也稱為可入肺顆粒物。根據(jù)現(xiàn)行國家標準G B 3095-2012,PM 2.5日均值在35微克/立方米以下,空氣質(zhì)量為一級;在35微克/立方米～75微克/立方米之間,空氣質(zhì)量為二級;在75微克/立方米以上,空氣質(zhì)量為超標。從某自然保護區(qū)2017年全年每天的PM 2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本,監(jiān)測值頻數(shù)如表1所示:

表1

(1)從這10天的PM 2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中,隨機抽出3天,求恰有1天空氣質(zhì)量達到一級的概率;

(2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)記ξ表示抽到PM 2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標的天數(shù)求ξ的分布列;

(3)以這10天的PM 2.5日均值來估計一年的空氣質(zhì)量情況,求一年(按365天計算)中平均有多少天的空氣質(zhì)量達到一級或二級(精確到整數(shù))。

由測度比為面積比可得,點位于陰影部

解析：(1)記“從10天的P M 2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中,隨機抽出3天,恰有1天空氣質(zhì)量達到一級”為事件A,則

(2)依據(jù)條件,ξ服從超幾何分布,由題意可知ξ的可能取值為0,1,2,3,則P(ξ=0)

所以ξ的分布列為表2:

表2

(3)依題意可知,10天中每天空氣質(zhì)量達到一級或二級的天數(shù)有7天,即10天中空氣質(zhì)量達到一級或二級的概率為

點評:本題把隨機變量的分布列與統(tǒng)計結(jié)合在一起進行考查,注重社會現(xiàn)實,體現(xiàn)時代精神,試題選擇體現(xiàn)社會熱點,主要考查了離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求解,解題的關(guān)鍵是準確判斷概率模型,求解相應(yīng)的概率。

表3

(1)如果認為每周使用超過3次的用戶為“喜歡騎行共享單車”,請完成2×2列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下,認為是否“喜歡騎行共享單車”與性別有關(guān)。

(2)每周騎行共享單車6次及6次以上的用戶稱為“騎行達人”,視頻率為概率,在我市所有“騎行達人”中,隨機抽取4名用戶。

①求抽取的4名用戶中,既有男“騎行達人”,又有女“騎行達人”的概率;

②為了鼓勵女性用戶使用共享單車,對抽出的女“騎行達人”每人獎勵500元,記獎勵總金額為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望。

表4

解析：(1)由題中表格可得2×2列聯(lián)表,如表5所示:

表5

(2)視頻率為概率,在我市“騎行達人”中,隨機抽取1名用戶,該用戶是男“騎行達人”的概率為,女“騎行達人”的概率為

①抽取的4名用戶中,既有男“騎行達人”,又有女“騎行達人”的概率為:

為了降低貧鎘液中鈷含量，西北鉛鋅冶煉廠貧鎘液采用合金鋅粉與吐酒石除鈷，控制溫度80 ℃左右，反應(yīng)1.5～2 h，間斷除鈷，每罐體積約40 m3,合金鋅粉加入量按照貧鎘液鈷的30倍加入，除鈷效果見表3。

所以Y的分布列為表6:

表6

所以X的分布列為表7:

表7

點評:二項分布是一種常見的離散型隨機變量的分布模型,利用二項分布可以快速地求出隨機變量的分布列,從而簡化了求解過程。而利用二項分布解決問題的關(guān)鍵是建立二項分布模型,也是看它是否滿足n次獨立重復(fù)試驗,隨機變量是否為這個n次獨立重復(fù)試驗中某事件發(fā)生的次數(shù)。

三、概率與生產(chǎn)生活牽手

例4菜農(nóng)定期使用低害殺蟲農(nóng)藥對蔬菜進行噴灑,以防止害蟲的危害,但采集上市時蔬菜上仍有少量的殘留農(nóng)藥,食用時需要用清水清洗干凈,表8是用清水x(單位:千克)清洗該蔬菜1千克后,蔬菜上殘留的農(nóng)藥y(單位:微克)的統(tǒng)計表。

表8

(1)令w=x2,利用下列參考數(shù)據(jù)求出y關(guān)于w的回歸方程^y=^b w+^a。(^a,^b精確到0.1)

(2)對于某種殘留在蔬菜上的農(nóng)藥,當它的殘留量不高于20微克時對人體是無害的,為了放心食用該蔬菜,請估計至少需用多少千克的清水清洗1千克蔬菜。(精確到0.1)

解析：(1)由題意可得

所以y關(guān)于w的回歸方程為^y=-1.9w+57.9。

所以為了放心食用該蔬菜,估計需要用4.5千克的清水清洗1千克蔬菜。

點評:本題考查了線性回歸方程的求法與應(yīng)用問題。解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)所給數(shù)據(jù)畫出散點圖,根據(jù)散點圖判斷兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系,必要的時候還需要先進行變換,把非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題進行分析,這種題型在前幾年高考中有所涉及。