■江蘇省張家港中等專業(yè)學(xué)校 韓文美

立體幾何中的空間角,能比較集中地考查同學(xué)們的空間想象能力、推理論證能力與運算求解能力,歷來被高考命題者青睞,幾乎年年必考,只是改變問題背景與設(shè)問角度而已。直線與平面所成的角求解方法往往比較多,可以通過幾何法、坐標(biāo)法、向量法、等積法等來處理,根據(jù)不同題目背景選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉斫鉀Q即可。

【高考真題】(2 0 1 8年浙江第1 9題)如圖1,已知多面體A B C A1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面A B C,∠A B C=1 2 0°,A1A=4,C1C=1,A B=B C=B1B=2。

圖1

(1)證明:A B1⊥平面A1B1C1;

(2)求直線A C1與平面A B B1所成的角的正弦值。

解法1(幾何法):(1)因為A1A⊥平面A B C,B1B⊥平面A B C,所以

因為A A1=4,B B1=2,A B=2,所以

(2)如圖2所示,過點C1作C1D⊥A1B1,交直線A1B1于點D,連接A D。

因為A B1⊥平面A1B1C1,所以平面A B B1⊥平面A1B1C1。

圖2

又C1D⊥A1B1,所以C1D⊥平面A B B1,∠C1A D就是直線A C1與平面A B B1所成的角。

由∠A B C=1 2 0°,A B=B C=2,由余弦定理可得A C=2 3,解得A C1=1 3。

所以C1D=A1C1·

因此,直線A C1與平面A B B1所成的角的正弦值是

解法2(坐標(biāo)法):(1)如圖3,以A C的中點O為原點,分別以射線O B,O C為x軸,y軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-x y z。

圖3

因此,直線A C1與平面A B B1所成的角的正弦值為

解法3(幾何法的改進法):(1)同解法1。

(2)如圖4,過點C作A B的延長線的垂線C D,垂足為D。由B1B,C1C均垂直于平面A B C,可得B1B∥C1C,所以C1C∥平面A B B1。

圖4

所以點C1到平面A B B1的距離與點C到平面A B B1的距離相等,可得d=C D=B C·s i n6 0°=。

∠A B C=1 2 0°,A B=B C=2,由余弦定理可得A C=,解得

設(shè)直線A C1與平面A B B1所成的角為θ,則有s i n

因此,直線A C1與平面A B B1所成的角

解法4(基底法):(1)同解法1。

(2)由∠A B C=1 2 0°,A B=B C=2,由余弦定理可得A C=2 3。

設(shè)平面A B B1的法向量為n=x a+y b+

解法5(向量法):(1)同解法1。

(2)過點C作A B的延長線的垂線C D,垂足為D,則C D⊥平面是平面A B B1的法向量。

此類立體幾何問題是近年高考中比較基礎(chǔ)的一類題型,題目不難,入口寬,方法多,正確分析圖形的特征對理解與解決問題很有幫助,同時高中階段的相關(guān)的學(xué)習(xí)方法幾乎都可以用上,給了每一位同學(xué)相同的成功機會。無論采用哪種方法來解決相應(yīng)的直線與平面所成的角問題,都充分考查了同學(xué)們各方面的能力。其實,進一步轉(zhuǎn)化思維,把對應(yīng)的空間圖形補成與之對應(yīng)的直三棱柱或四棱錐,也是一個非常不錯的思維方向。