■河南省濮陽市第一高級中學 李佳穎

在高中數(shù)學教材中,平面向量是高中數(shù)學的新增內容,也是新高考的一個亮點,以向量為背景,一些傳統(tǒng)的數(shù)學問題就有了新的內涵。實際上,向量知識、向量觀點在數(shù)學、物理等學科的很多分支有著廣泛的應用,它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”,能融數(shù)形于一體,能與高中數(shù)學的許多主干知識綜合,形成知識交匯點。下面從四個方面闡述向量在整個高中數(shù)學中的具體應用。

一、利用向量證明等式

例1 已知α、β是任意角,求證:c o s(α

證明:在單位圓上,以x軸為始邊作角α,終邊交單位圓于A,以x軸為始邊作角

小結:對于某些恒等式證明,形式中含有c o s(α-β)或符合向量的坐標運算形式,可運用向量的數(shù)量積定義和向量坐標運算來證明。

二、利用向量證明不等式

小結:當求解問題中含有乘積或乘方時,可巧妙地利用向量數(shù)量積的坐標表達式,構造向量解之。

三、利用向量求值

小結:對于求值問題,可巧妙地運用向量的數(shù)量積定義,構造等量關系求解。

四、利用向量求函數(shù)值域

小結:巧妙構造向量,可以解決條件最值問題,特別是某些含有乘方之和或乘積之和的條件最值問題,用向量證明更有獨特之處