李祖強(qiáng)， 熊 彬， 蘭懷慷， 羅天涯， 梁 卓

(桂林理工大學(xué) 地球科學(xué)學(xué)院，桂林 541006)

0 引言

對于研究地層垂直接觸時(shí)的點(diǎn)源電場分布問題，在上世紀(jì)三十年代由卡連諾夫[1]提出，此后，Aldredge[2]、達(dá)連諾夫[3]等人對該問題進(jìn)行研究，Maeda[4]利用鏡像法進(jìn)行求解，蘇聯(lián)學(xué)者M(jìn)aтвеев[5]通過解拉普拉斯方程求得電位，并給出兩垂直分界面下供電點(diǎn)源在介質(zhì)中的表達(dá)式，但是只適用于二、三層垂直介質(zhì)的電阻率異常分析。國內(nèi)，李純志[6]在蘇聯(lián)學(xué)者的基礎(chǔ)上給出了多個(gè)垂直界面下電位的計(jì)算；葛為中等[7]給出了直立多層介質(zhì)地面點(diǎn)源電場遞推公式，并進(jìn)行了正演問題的計(jì)算[8]；湯井田[9]推導(dǎo)了傾斜接觸面存在時(shí)電測深電阻率的實(shí)用計(jì)算公式。

筆者以直立多層介質(zhì)地面點(diǎn)源電場遞推公式為基礎(chǔ),在多個(gè)垂直連續(xù)的層狀介質(zhì)情況下，使用多種電法測量裝置進(jìn)行正演。使用Hankel線性濾波對電位積分進(jìn)行簡化計(jì)算。對比分析各裝置對直立多層介質(zhì)響應(yīng)的電阻率曲線，為在垂直接觸帶展開實(shí)際測量工作的裝置選擇上提供一些參考。

1 基本原理

1.1 多層垂直層狀介質(zhì)電位

對于圖1 所示具有多個(gè)垂直層時(shí)，地面點(diǎn)電源產(chǎn)生的電位可表示為[7]：

Bi(λ)eλz]J0(λr)dλ

(1)

式中：J0為零階貝塞爾函數(shù)；λ為積分變量；A、B為待定系數(shù)可參考文獻(xiàn)[7]中遞推公式；i代表層數(shù)；z代表測量點(diǎn)所在位置(如圖1三極裝置測量點(diǎn)M、N)；r為極距(此極距與測量水平層狀介質(zhì)時(shí)布設(shè)裝置的AO不同)；I為供電電流。當(dāng)測量點(diǎn)與電源點(diǎn)位于同一地層時(shí)Ci=ρi,不在同一地層時(shí)Ci=0。

利用公式(1)，計(jì)算得到垂直多層介質(zhì)連續(xù)變化的電位。

圖1 垂直多層介質(zhì)三極電剖面測量示意圖Fig.1 The schematic diagram of triple-pole electric section in vertical multilayer media

圖2 水平層狀介質(zhì)中三極測量示意圖Fig.2 The schematic diagram of pole-dipole array in horizontal layered media

圖3 垂直層狀介質(zhì)中三極測量示意圖Fig.3 The schematic diagram of pole-dipole array in vertical layered media

1.2 電位積分計(jì)算

對垂直層狀介質(zhì)中的電位進(jìn)行計(jì)算時(shí)，所設(shè)坐標(biāo)系相當(dāng)于將在水平層狀介質(zhì)中的坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)90°。圖2為對水平層狀介質(zhì)進(jìn)行測量時(shí)的示意圖，如圖虛線為所設(shè)柱坐標(biāo)系示意圖，以測點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，z軸垂直向下，電阻率變化方向?yàn)檩S方向，點(diǎn)源A落于地表柱坐標(biāo)半徑為r處，AO為極距。圖3為對垂直層狀介質(zhì)進(jìn)行測量時(shí)的示意圖，可視為圖2中的地層與虛線所示柱坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)90°，柱坐標(biāo)系軸垂直于地層變?yōu)榱怂椒较?，電阻變化方向?yàn)閆軸方向，此時(shí)AO為極距，柱坐標(biāo)半徑r=0。若點(diǎn)源在A*位置，則r=AA*。所以在對垂直層狀介質(zhì)計(jì)算時(shí)極距AO≠r，r與布極時(shí)電極所在直線是否垂直于地層有關(guān)。

當(dāng)垂直于界面布極，r=0時(shí)

Bi(λ)eλz] dλ

(2)

當(dāng)不垂直于界面布極，r>0時(shí)

Bi(λ)eλz]J0(λr)dλ

(3)

對于無窮區(qū)間的數(shù)值積分，可使用Hankel變換將式(3)進(jìn)行線性濾波計(jì)算，與水平地層的計(jì)算相仿[10]。令

F(λ,z)=Cie-λ|z|+Ai(λ)e-λz+Bi(λ)eλz

(4)

(5)

式中：H0k為第k個(gè)0階Hankel變換濾波系數(shù)；λk(r)為對應(yīng)抽樣值，本文基于Anderson[11]的fortran代碼，使用801個(gè)自適應(yīng)數(shù)字濾波0階Hankel變換系數(shù)進(jìn)行計(jì)算。

1.3 視電阻率

利用式(5)計(jì)算對應(yīng)電測量裝置[12]在各測點(diǎn)上的電位Ui(r,z)，代入各裝置電阻率計(jì)算公式，得出該測點(diǎn)的視電阻率。以三極裝置為例：

從Ui(r,z)中得出UAM、UAN，代入

(6)

將三極裝置(圖1)移動測量,反復(fù)進(jìn)行上述計(jì)算，得出各層介質(zhì)垂直接觸時(shí)的電阻率剖面。其他裝置電剖面計(jì)算類似。

2 算例分析

2.1 算法驗(yàn)證

圖4 三級裝置和極電位曲線Fig.4 M and N polar potential diagram of AMN three stage device

圖5 聯(lián)剖和對稱四極裝置視電阻率曲線Fig.5 The apparent resistivity curves of composite profile

經(jīng)由本文算法與鏡像法計(jì)算出的電位曲線及視電阻率曲線的對比，可認(rèn)為本文算法計(jì)算巖層陡立接觸視時(shí)的電阻率是可行的。

圖6 垂直13層介質(zhì)視電阻率曲線Fig.6 The apparent resistivity curves of a vertical 13-layer media(a)二級測量曲線；(b)聯(lián)合剖面測量曲線；(c)對稱四級測量曲線；(d)偶極測量曲線

2.2 多種裝置的垂直介質(zhì)電阻率剖面曲線

設(shè)圖6中地電斷面參數(shù)為ρ1=ρ5=ρ8=ρ13=500 Ω·m，ρ2=ρ4=ρ9=ρ12=50 Ω·m，ρ3=ρ6=ρ11=250 Ω·m，ρ7=ρ10=100 Ω·m，h2=h12=60 m，h3=h9=h11=100 m，h4=h6=h10=70 m，h5=90 m，h7=120 m。測量裝置垂直于地層界面，測點(diǎn)距20 m，二極裝置AM=10 m，三極、對稱四極和偶極裝置AM=10 m，MN=1 m，BN=10 m。

圖6的上部給出了四種裝置中的視電阻率曲線。從圖6中可以看出，四套視電阻率曲線均能清晰的勾繪出地電模型的物性輪廓。其中聯(lián)合剖面測量曲線中的正、反交點(diǎn)異常很清晰地反映出垂直地層中出現(xiàn)的高、低阻異常地層。相比其他裝置的測量曲線，偶極裝置的視電阻率測量曲線對于各層介質(zhì)的厚度呈現(xiàn)更為清晰。

2.3 陡立斷層模型電阻率剖面曲線

2.3.1 模型1

設(shè)圖7中地層參數(shù)ρ1=ρ3=ρ5=ρ7=1 000 Ω·m，ρ2=5 Ω·m，ρ4=10 Ω·m，ρ6=20 Ω·m，h2=h4=h6=2 m，h3=h5=68 m。測點(diǎn)距10 m，各裝置系數(shù)與前面算例相同。其模型相當(dāng)于圍巖中有三條陡立低阻斷層，其水平寬度相同，電阻率不同。

圖7 垂直7層介質(zhì)視電阻率曲線Fig.7 The apparent resistivity curves of a vertical 7-layer media(a)二極測量曲線；(b)聯(lián)合剖面測量曲線；(c)對稱四極測量曲線；(d)偶極測量曲線

四種裝置中的視電阻率曲線對三條陡立低阻斷層都有著明顯的異常指示。其中二極裝置視電阻率曲線對各低阻斷層的電阻率有一定的放大，低阻斷層上的視電阻率與所設(shè)模型參數(shù)差別較大，這是因?yàn)閿鄬铀綄挾认鄬ζ渌貙铀綄挾忍?，并且模型所設(shè)電阻率值也遠(yuǎn)小于其他地層，所以斷層附近計(jì)算的視電阻率值受其他地層影響較大。聯(lián)合剖面視電阻率曲線中各斷層上方都呈現(xiàn)正交點(diǎn)異常,偶極裝置測量曲線對于斷層水平寬度的顯示不夠明顯，相比圖6中的各裝置測量曲線都對斷層寬度有較好地顯示，其原因主要在于斷層水平寬度太窄，其寬度小于測點(diǎn)距。

2.3.2 模型2

設(shè)圖8中地層參數(shù)ρ1=ρ3=ρ5=ρ7=ρ9=1 000 Ω·m，ρ2=ρ4=ρ6=ρ8=10 Ω·m，h2=2 m，h4=10 m，h6=20 m，h8=30 m，h3=h5=h7=60 m。其他參數(shù)與2.3.1相同。

圖8 垂直9層介質(zhì)視電阻率曲線Fig.8 The apparent resistivity curves of a vertical 9-layer media(a)二極測量曲線；(b)聯(lián)合剖面測量曲線；(c)對稱四極測量曲線；(d)偶極測量曲線

模型2中將低阻斷層的電阻率設(shè)為相同的值，水平寬度設(shè)為不同的值，并且特意將斷層水平寬度值分別按小于測點(diǎn)間距(h2)、等于測點(diǎn)間距(h4)和大于測點(diǎn)間距(h6和h8分別為測點(diǎn)間距的兩倍和三倍)來設(shè)置，以便于觀察測點(diǎn)間距與斷層水平寬度對視電阻率計(jì)算的影響。

3 結(jié)論

通過若干算例的分析，可得如下結(jié)論：

對于擁有多個(gè)垂直接觸帶的巖層，二極、三極、對稱四極和偶極裝置的視電阻率剖面曲線均能清晰的勾繪出地電模型的物性輪廓，但是各裝置的視電阻率曲線對地電模型的各物性反映的敏感度有一定不同。

1)二極和偶極裝置視電阻率曲線對于各垂直巖層的厚度反映較為靈敏。兩種裝置的視電阻率剖面曲線與模型各層間電阻率的相對大小以及厚度呈現(xiàn)很好的對應(yīng)關(guān)系。

3)測點(diǎn)間距的選擇，對各測量裝置觀測垂直層狀介質(zhì)的電性有很大影響。測點(diǎn)間距過大(大于垂直巖層厚度)時(shí)，各測量裝置的視電阻率剖面曲線就不能很好地反映各垂直巖層的物性。圖7中四套裝置的視電阻率剖面曲線，都不能很好地反映出模型1中低阻層的厚度和電阻率值。當(dāng)測點(diǎn)間距小于或等于垂直巖層厚度時(shí)，各測量裝置所測視電阻率剖面曲線就可以較好地反映各垂直巖層的物性。其中，對于對稱四極裝置，測點(diǎn)間距需要小于垂直巖層厚度的一半，其視電阻率剖面曲線才能較好的反映巖層的位置、厚度以及電阻率值。