左 維，李 巍

(天津中德應(yīng)用技術(shù)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300350)

0 引言

5軸數(shù)控機(jī)床加工零部件范圍廣，加工形式靈活，可加工葉輪、曲軸等包含復(fù)雜曲面的零件。由于CAD/CAM在設(shè)計(jì)制造中應(yīng)用普及性增強(qiáng)，5軸機(jī)床的應(yīng)用也越來越廣泛，5軸數(shù)控機(jī)床的運(yùn)動精度問題就顯得尤為重要。隨著對數(shù)控機(jī)床的運(yùn)動精度研究不斷深入，尤其是3軸機(jī)床21項(xiàng)誤差及5軸機(jī)床37項(xiàng)獨(dú)立誤差的確定[1]，對數(shù)控機(jī)床的誤差研究從基于統(tǒng)計(jì)學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)榛跀?shù)值方法[2-3]。在加工曲面或曲線過程中，誤差的耦合是大量存在的。許多學(xué)者對單根進(jìn)給軸的誤差進(jìn)行了解耦分析，并取得了一定成果[4-5]。而正確、高效的誤差辨識技術(shù)正是誤差解耦補(bǔ)償?shù)那疤醄6]。

球桿儀作為一種快速誤差檢測儀器，具有高效率、高精度的特點(diǎn)。在工業(yè)中有著廣泛應(yīng)用，但球桿儀的算法及誤差模型并不開放，進(jìn)行誤差辨識研究有一定的難度，許多學(xué)者采用球桿儀進(jìn)行過誤差辨識方面的研究[7-8]。其中，梁瑩瑩等提出了改變球桿儀桿長及測量高度的方法進(jìn)行誤差辨識，可有效檢測出同一坐標(biāo)系下全部6個(gè)誤差元素[9]，該方法具有高精度、易進(jìn)行數(shù)值等優(yōu)點(diǎn)。

近來，有學(xué)者提出球桿儀安裝尺寸對檢測過程的影響不容忽略[10]。為了避免頻繁調(diào)整球桿儀安裝尺寸對最終檢測結(jié)果的影響，本文以自主設(shè)計(jì)的五軸數(shù)控機(jī)床和國產(chǎn)開放式數(shù)控系統(tǒng)作為研究對象，建立了五軸機(jī)床空間誤差模型。并在該模型基礎(chǔ)上，組合使用球桿儀和激光干涉儀，針對工件坐標(biāo)系及刀具坐標(biāo)系間的聯(lián)動插補(bǔ)開展辨識研究。

1 機(jī)床綜合誤差建模及辨識原理

1.1 機(jī)床綜合誤差模型

本文研究對象為一臺5軸數(shù)控機(jī)床，其機(jī)械結(jié)構(gòu)為擺頭——回轉(zhuǎn)臺式，由三根直線軸X、Y、Z，兩根旋轉(zhuǎn)軸A、C組成。其中A軸為機(jī)床擺頭，圍繞X軸旋轉(zhuǎn)；C軸為機(jī)床回轉(zhuǎn)工作臺，圍繞Z軸旋轉(zhuǎn)，機(jī)床進(jìn)給軸運(yùn)動范圍為1200mm×950mm×1100mm，如圖1所示。拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為樹形結(jié)構(gòu)，有兩條運(yùn)動支鏈，如圖2所示。

根據(jù)多體理論進(jìn)行機(jī)床坐標(biāo)系建模，MCS為機(jī)床坐標(biāo)系，與地面固定。TCS和WCS為刀具坐標(biāo)系與工件坐標(biāo)系，將球桿儀固定在TCS與WCS中，則二者分別是運(yùn)動的兩個(gè)末端。XCS、YCS、ZCS為軸的進(jìn)給軸坐標(biāo)系，ACS、CCS為帶動刀具坐標(biāo)、工件坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸坐標(biāo)系。球桿儀在圖中標(biāo)記為DDB，直接工作在機(jī)床擺頭與回轉(zhuǎn)工作臺所兩個(gè)坐標(biāo)系之間，反映由MCS—>YCS—>ZCS—>ACS—>TCS和MCS—>XCS—>CCS—>WCS兩條運(yùn)動支鏈形成的綜合誤差：

(1)

式(1)中即為單擺頭——回轉(zhuǎn)臺五軸系統(tǒng)綜合誤差，球桿儀測量的機(jī)床空間誤差反映了機(jī)床兩條運(yùn)動支鏈分別累計(jì)的誤差，即機(jī)床綜合空間誤差。

圖1 5軸機(jī)床機(jī)械結(jié)構(gòu)及各軸定義

圖2 5軸機(jī)床拓?fù)鋱D

1.2 球桿儀誤差辨識原理

已有的球桿儀辨識方法，大體是通過改變球桿儀桿長及改變球桿儀安裝位置的方式，一次辨識出同一坐標(biāo)系內(nèi)6個(gè)誤差元素。這種辨識方式，將誤差認(rèn)定為發(fā)生在一組坐標(biāo)系內(nèi)，忽略了多體拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中坐標(biāo)系之間的誤差，因此多適用于三軸機(jī)床的誤差分析；且安裝位置的精確度要求極高，尤其是拆裝過程重復(fù)定位精度效果較差，否則會影響辨識準(zhǔn)確性。

對于5軸空間插補(bǔ)復(fù)雜的機(jī)床誤差，因其空間坐標(biāo)系間聯(lián)動決定曲面成型質(zhì)量，需要考慮如前述坐標(biāo)系之間的相對誤差，傳統(tǒng)辨識方法則不適用。通過本文中的方式可以有效避免球桿儀的二次裝配，提高辨識準(zhǔn)確性；采集空間內(nèi)不同平面的特征點(diǎn)進(jìn)行分析運(yùn)算的方法，大大降低了計(jì)算難度，對于提升辨識效率有較大提升。將球桿儀一端安裝在工作臺上，其理論中心位置用O1表達(dá)，在坐標(biāo)系中位置為(x1,y1,z1)；另一端安裝在主軸上，理論中心位置用O2表達(dá)，在坐標(biāo)系中位置為(x2,y2,z2)。根據(jù)空間勾股定理可得到球桿儀的長度與坐標(biāo)位置關(guān)系：

(2)

(3)

用式(3)減去式(2)，可以得到：

(4)

將上式化簡，可得關(guān)于球桿儀半徑變化與各進(jìn)給軸誤差分量的關(guān)系：

(5)

圖3 球桿儀工作狀態(tài)

2 空間誤差測量模型

一個(gè)旋轉(zhuǎn)軸在運(yùn)動過程中會產(chǎn)生6個(gè)自由度的誤差，以O(shè)1為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)球桿儀浮動端中心O2在WCS下齊次坐標(biāo)為P。對其齊次坐標(biāo)變換進(jìn)行推導(dǎo)，若將O1在Z方向位置與回轉(zhuǎn)臺工作中心Z軸重合，設(shè)球桿儀沿桿方向與X軸夾角為θ，桿長為一固定數(shù)值L。其工作狀態(tài)如圖2所示，通過X軸與Y軸進(jìn)行圓弧插補(bǔ)工作，此時(shí)兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸及垂直位移軸為靜止?fàn)顟B(tài)，ACS、CCS、ZCS矩陣的誤差傳遞矩陣退化為單位矩陣。浮動端中心O2理想初始齊次坐標(biāo)可描述為Pi=[cosθL,0,sinθL+h,1]T，X、Y軸進(jìn)行圓弧插補(bǔ)工作時(shí)，設(shè)在X-Y平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)角度為α，此時(shí)θ為一常數(shù)，則一般狀態(tài)下的齊次坐標(biāo)可以表示為:

Pi=[cosαcosθL,sinαL,sinθL+h,1]T

忽略二階項(xiàng)，可將上式修正為式(6)：

(6)

O2′在考慮誤差影響情況下的實(shí)際坐標(biāo)Pa：

(7)

式(7)已知量θ、L、h，未知量εxx′、εyx′、εxy′、εyy′、εxz′、εyz′、δxx′、δxy′、δxz′。其中，δxx′、δxy′、δxz′為X軸運(yùn)動對三個(gè)進(jìn)給軸產(chǎn)生的位置誤差，即直線度誤差。Pa與Pi之差即為球桿儀長度變化，從齊次坐標(biāo)矩陣中提取X、Y、Z三個(gè)方向上的分量即為Δx、Δy、Δz，代入式(5)可得出ΔR關(guān)于各誤差分量的方程：

ΔR={[cosαcosθL+sinαL(-εxz′+εyz′)+(εxy′-εyy′)
(sinθL+h)+δxx′](x2-x1)+[cosαcosθL(εyz′+εxz′)+
sinαL+(sinθL+h)(-εxx′+εyx′)+δxy′](y2-y1)+
[ cosαcosθL(εxy′-εyy′)+sinαL(-εyx′+εxx′)+
sinθL+h+δxz′](z2-z1)} /L

(8)

由式(8)可知，9個(gè)未知量需要9組不同方程組才能解出，為了簡化計(jì)算過程，其中三個(gè)直線度誤差δxx′、δxy′、δxz′可視為靜態(tài)誤差，先行通過激光干涉儀進(jìn)行消除。簡化后可通過6個(gè)獨(dú)立方程對式(8)進(jìn)行誤差辨識并將誤差因素進(jìn)行分離，如式(9)所示。該方程式表達(dá)球坐標(biāo)下TCS坐標(biāo)系相對于WCS坐標(biāo)系6個(gè)旋轉(zhuǎn)誤差分量的產(chǎn)生導(dǎo)致球桿儀長度變化這一現(xiàn)象。

ΔR′={[cosαcosθL+sinαL(-εxz′+εyz′)+(εxy′-εyy′)
(sinθL+h)](x2-x1)+[cosαcosθL(εyz′+εxz′)+sinαL+
(sinθL+h)(-εxx′+εyx′)](y2-y1)+[ cosαcosθL(εxy′-
εyy′)+sinαL(-εyx′+εxx′)+sinθL+h](z2-z1)} /L

(9)

3 五軸空間誤差測量實(shí)驗(yàn)

3.1 實(shí)驗(yàn)方法與數(shù)據(jù)

使用激光干涉儀對直線度誤差進(jìn)行辨識與補(bǔ)償，待通過螺距補(bǔ)償方法消除了三個(gè)方向直線度誤差對機(jī)床坐標(biāo)系的影響后，將雷尼紹QC20-W球桿儀安裝在五軸機(jī)床上，見圖4。對機(jī)床參與XOY平面插補(bǔ)的兩個(gè)坐標(biāo)系XCS及YCS進(jìn)行總計(jì)12個(gè)角度誤差因素進(jìn)行辨識。在實(shí)驗(yàn)中，選用球桿儀測量條件為：L=100mm，h=100mm，并在θ=0°,15°,30°,45°,60°,75° 6種角度進(jìn)行插補(bǔ)工作。由于插補(bǔ)實(shí)驗(yàn)采集信息量較大不利于后期分析，采用選取其特征點(diǎn)的工作方式進(jìn)行簡化，將每個(gè)工作圓面間隔60°進(jìn)行取值。由于在工作過程中伴隨著熱誤差存在，且其與機(jī)床幾何誤差耦合，為了使測量結(jié)果為穩(wěn)態(tài)誤差結(jié)果，機(jī)床測試前進(jìn)行了6h熱機(jī)，測試時(shí)嚴(yán)格保證外界環(huán)境溫度條件為20°C，分為順時(shí)針與逆時(shí)針兩次進(jìn)行。

(a)θ=0°球桿儀實(shí)驗(yàn)工作狀態(tài)圖 (b)θ=60°球桿儀實(shí)驗(yàn)工作狀態(tài) 圖4 球桿儀實(shí)驗(yàn)時(shí)工作狀態(tài)

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果處理與分析

將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)代入式(9)中，可以得知矩陣滿秩，此時(shí)有特定解。利用高斯消元法可計(jì)算出6個(gè)方向分量計(jì)算結(jié)果分別為：

εxx′=0.0006、εyx′=0.0007、εxy′=0.0009、
εyy′=0.0009、εxz′=0.0003、εyz′=-0.0006。

將部分空間角度對應(yīng)的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，可以得出在指定角度平面中的旋轉(zhuǎn)誤差元素。由表1中數(shù)據(jù)可見，由不同θ組成的空間平面內(nèi)誤差元素是有變化的，且其變化成線性關(guān)系，其數(shù)值變化在空間圓平面內(nèi)呈連續(xù)變化狀態(tài)，這是由于球桿儀在測量時(shí)的軌跡遵循空間圓平面而產(chǎn)生的。按照如上方法，在XOY平面上進(jìn)行了旋向?yàn)槟鏁r(shí)針的空間圓弧軌跡測試，并得出部分旋轉(zhuǎn)誤差元素大小如表2所示，其在相同特征點(diǎn)位置上的數(shù)值大小基本相同。即在進(jìn)行靜態(tài)補(bǔ)償?shù)幕A(chǔ)上，數(shù)控機(jī)床做順時(shí)針運(yùn)動與逆時(shí)針運(yùn)動，其旋轉(zhuǎn)誤差的大小基本相同。

表1 XOY平面順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度誤差

表2 XOY平面逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度誤差

由兩表中數(shù)值對比分析，可以得出：

(1)在同一空間中，不同軌跡形成的旋轉(zhuǎn)誤差元素并不相同。

(2)同一運(yùn)動軌跡所形成的平面中，旋轉(zhuǎn)誤差元素呈連續(xù)變化規(guī)律。

(3)誤差變化趨勢基本滿足運(yùn)動圓弧直徑越大誤差越大的規(guī)律。

(4)將靜態(tài)誤差中的直線度誤差消除后，仍將產(chǎn)生坐標(biāo)系間旋轉(zhuǎn)誤差。

(5)坐標(biāo)系間產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)誤差，其誤差量大小基本與軌跡旋轉(zhuǎn)旋向無關(guān)。

4 小結(jié)

通過誤差建模與實(shí)驗(yàn)，本文提出了一種基于球桿儀測量5軸機(jī)床工作誤差的方法，通過采集空間不同平面特征點(diǎn)的方式，快速計(jì)算出機(jī)床空間誤差。通過該方法可以有效辨識出TCS與WCS兩個(gè)坐標(biāo)系下6項(xiàng)不同回轉(zhuǎn)誤差元素的具體數(shù)值。聯(lián)合激光干涉儀，則可以辨識出加工誤差中全部12項(xiàng)誤差元素。以5軸數(shù)控機(jī)床作為實(shí)驗(yàn)載體，驗(yàn)證了空間中不同圓形軌跡產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)誤差并非常量這一機(jī)床誤差特性。在此基礎(chǔ)上揭示了不同角度對應(yīng)誤差元素?cái)?shù)值的規(guī)律。實(shí)驗(yàn)結(jié)果精度等級，超過數(shù)控機(jī)床加工精度要求一個(gè)數(shù)量級，可滿足加工及補(bǔ)償要求。可以此辨識方法為依據(jù)，進(jìn)行誤差運(yùn)動解耦分析及誤差補(bǔ)償?shù)裙ぷ?，也?軸數(shù)控機(jī)床進(jìn)行后續(xù)插補(bǔ)軌跡優(yōu)化及誤差對曲面精加工的影響等研究打下基礎(chǔ)。