楊洪濤，龐勇軍，李 莉，陳邦晟

(安徽理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，安徽 淮南 232001)

0 引言

XY工作臺(tái)是數(shù)控機(jī)床的重要組成部分，其定位誤差是影響機(jī)床加工精度和在機(jī)測(cè)量系統(tǒng)測(cè)量精度的主要來源。XY工作臺(tái)定位誤差不僅受各組成部件剛度變化、裝配精度、摩擦磨損等因素影響，而且受工作臺(tái)移動(dòng)速度的影響[1-3]。近年來不少學(xué)者對(duì)工作臺(tái)各組成部件的結(jié)構(gòu)特性及精度開展研究。Lin等建立了滾珠絲杠副誤差模型[4]。許向榮等推導(dǎo)了螺母滾珠絲杠副剛度的計(jì)算方法，并分析了其影響因素[5]。劉春山、陳曉懷分析了光柵測(cè)量系統(tǒng)的誤差來源，采用雙頻激光干涉儀對(duì)光柵測(cè)量系統(tǒng)進(jìn)行了位置精度評(píng)定[6-7]。蔣書運(yùn)等對(duì)數(shù)控機(jī)床的導(dǎo)軌結(jié)合部的動(dòng)態(tài)剛度特性進(jìn)行了分析[8]。Karnopp提出的Stribeck摩擦模型能夠較好的描述機(jī)械進(jìn)給系統(tǒng)的摩擦現(xiàn)象，并分析了摩擦的非線性對(duì)工作臺(tái)運(yùn)動(dòng)的影響[9]。上述研究成果主要對(duì)工作臺(tái)各組成部分的結(jié)構(gòu)特性和誤差開展獨(dú)立研究，缺乏對(duì)運(yùn)動(dòng)速度影響下的XY工作臺(tái)定位誤差變化規(guī)律開展系統(tǒng)研究，因此本文擬在綜合分析XY工作臺(tái)單運(yùn)動(dòng)方向的各組成機(jī)構(gòu)特性對(duì)工作臺(tái)定位誤差影響規(guī)律基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究不同運(yùn)動(dòng)速度下XY工作臺(tái)定位誤差變化規(guī)律，建立定位誤差預(yù)測(cè)補(bǔ)償模型。

1 XY工作臺(tái)動(dòng)態(tài)定位誤差源分析

如圖1所示,XY工作臺(tái)由伺服驅(qū)動(dòng)電機(jī)、聯(lián)軸器、支撐軸承、滾珠絲杠、導(dǎo)軌、光柵和工作臺(tái)臺(tái)面構(gòu)成。由伺服驅(qū)動(dòng)電機(jī)通過聯(lián)軸器，驅(qū)動(dòng)滾珠絲杠旋轉(zhuǎn)，帶動(dòng)絲杠螺母副和工作臺(tái)臺(tái)面做直線運(yùn)動(dòng)，通過光柵測(cè)量顯示其運(yùn)動(dòng)位置。由于導(dǎo)軌存在制造和安裝誤差，導(dǎo)致工作臺(tái)由兩根導(dǎo)軌支撐運(yùn)動(dòng)時(shí)存在6項(xiàng)幾何誤差。電機(jī)驅(qū)動(dòng)工作臺(tái)施加的扭矩，促使?jié)L珠絲杠組件出現(xiàn)軸向變形，與滾珠絲杠的制造誤差耦合在一起，引起滾珠絲杠存在螺距誤差。同時(shí)光柵測(cè)量系統(tǒng)也存在著定位誤差。從上述分析可知，XY工作臺(tái)單向動(dòng)態(tài)定位誤差主要來源于上述三類誤差。

圖1 XY工作臺(tái)的結(jié)構(gòu)及組成

2 XY工作臺(tái)動(dòng)態(tài)定位誤差產(chǎn)生機(jī)理分析與建模

當(dāng)XY工作臺(tái)運(yùn)動(dòng)速度不同時(shí)，電機(jī)施加的扭矩不同，導(dǎo)軌副上產(chǎn)生的摩擦力也不同，上述三類誤差也會(huì)發(fā)生變化。為了分析不同運(yùn)動(dòng)速度下XY工作臺(tái)動(dòng)態(tài)定位誤差的變化規(guī)律，精確建立誤差預(yù)測(cè)補(bǔ)償模型，下面對(duì)工作臺(tái)三類動(dòng)態(tài)誤差產(chǎn)生機(jī)理進(jìn)行詳細(xì)分析，建立其計(jì)算模型。

2.1 不同運(yùn)動(dòng)速度下的XY工作臺(tái)的摩擦特性

數(shù)控機(jī)床XY工作臺(tái)的摩擦力主要來源于導(dǎo)軌系統(tǒng)和滾珠絲杠組件，會(huì)影響導(dǎo)軌和滾珠絲杠的性能，產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差，進(jìn)而影響工作臺(tái)定位精度。XY工作臺(tái)的運(yùn)動(dòng)速度不同，其摩擦力不同，影響工作臺(tái)定位精度程度也不同。為了確定在不同運(yùn)動(dòng)速度下的XY工作臺(tái)摩擦力大小，現(xiàn)采用Stribeck摩擦模型來建立工作臺(tái)摩擦力計(jì)算模型[10]。由于滾珠絲杠組件可以近似為兩個(gè)滾動(dòng)體，只產(chǎn)生滾動(dòng)摩擦，因此可以假設(shè)其為庫侖摩擦。而導(dǎo)軌組件可以近似為兩個(gè)滑動(dòng)體，只產(chǎn)生滑動(dòng)摩擦，因此可以假設(shè)為庫倫摩擦和Stribeck摩擦的和，所以XY工作臺(tái)總摩擦力Ff可以利用式(1)計(jì)算。

(1)

式中，v—工作臺(tái)速度；fs—靜摩擦力；fs=μsmg；μs—靜摩擦系數(shù)；fm—庫倫摩擦力；fm=μmmg；μm—?jiǎng)幽Σ料禂?shù)；m—工作臺(tái)質(zhì)量；vs—Stribeck速度；fv—粘性摩擦系數(shù)。

根據(jù)后續(xù)實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)際結(jié)構(gòu)組成，本文取μs=0.042；μm=0.04；vε=0.02mm/s；m=23.5kg。

2.2 光柵測(cè)量系統(tǒng)的誤差

2.2.1 標(biāo)尺光柵誤差

標(biāo)尺光柵誤差包括柵距誤差和均勻性誤差。但莫爾條紋對(duì)光柵柵距具有平均效應(yīng)，故柵距誤差可以忽略不計(jì)。均勻性誤差是由標(biāo)尺光柵各部分透光量不均勻所造成的，可以將其視為隨機(jī)誤差δ隨1。

2.2.2 光柵副誤差

(1)光柵副夾角偏差Δθ引起的誤差

光柵安裝時(shí)指示光柵與標(biāo)尺光柵之間存在間隙，光柵夾角偏差會(huì)引起信號(hào)調(diào)制與信號(hào)正交性發(fā)生變化，帶來光柵尺測(cè)量誤差[11]。

①信號(hào)調(diào)制幅度變化引起的誤差

(2)

式中，h—指示光柵光欄高度。

②信號(hào)正交性變化引起的誤差

Δθ會(huì)使莫爾條紋的相對(duì)寬度D/θ發(fā)生變化，影響指示光柵輸出信號(hào)的正交性，帶來測(cè)量誤差Δφ。

(3)

式中，a—象限中心距。

(2)光柵副間隙Δt1帶來的誤差

Δt1會(huì)使指示光柵輸出信號(hào)調(diào)制度和直流電平發(fā)生相對(duì)變化，從而帶來光柵測(cè)量誤差。

①信號(hào)調(diào)制度變化引起的誤差

(4)

②直流電平相對(duì)變化引的誤差

(5)

式中，t1—光柵副間隙；n—光柵聚光透鏡焦距；L1—光柵第一菲涅爾焦距；L1=D2/λ；λ—指示光柵中光電器件的峰值響應(yīng)波長(zhǎng)；s—光源寬度。

2.2.3 溫度誤差

數(shù)控機(jī)床工作臺(tái)過程中，XY工作臺(tái)會(huì)經(jīng)歷溫度的變化，光柵測(cè)量系會(huì)產(chǎn)生溫度誤差，主要表現(xiàn)為標(biāo)尺光柵的溫度變形誤差，可以利用下式計(jì)算。

ΔW=±Lx·αΔT

(6)

式中，Lx—XY工作臺(tái)的位移；α—標(biāo)尺光柵的膨脹系數(shù)；ΔT—光柵溫度與環(huán)境溫度差。

綜上分析，光柵測(cè)量系統(tǒng)的誤差有上述三類誤差組成，則由光柵測(cè)量系統(tǒng)引起的XY工作臺(tái)定位誤差ΔG可以利用下式計(jì)算。

(7)

式中，δ隨1—隨機(jī)誤差。

本文試驗(yàn)臺(tái)使用的光柵尺型號(hào)為JCXE5，各個(gè)參數(shù)分別取值如下：t1=0.08mm；s/n =0.2；θ=0.1°；L1=0.167mm；D =0.01mm；a =5mm；α=3.5×10-6mm/°C；ΔT=0.3°C；h =4mm。

因此公式(7)可以簡(jiǎn)化為：

ΔG=0.34693Δt1+1.5×10-6Lx+δ隨1

(8)

2.3 滾珠絲杠組件引起的工作臺(tái)定位誤差建模

XY工作臺(tái)滾珠絲杠組件誤差主要來源于電機(jī)轉(zhuǎn)矩作用下的滾珠絲杠螺距變化、螺母組件的軸向變形和滾珠絲杠扭轉(zhuǎn)引起的變形等方面，下面分別對(duì)各誤差分量進(jìn)行分析建模，主要包括驅(qū)動(dòng)電機(jī)建模、滾珠絲桿螺距變化引起的誤差建模、螺母組件軸向變形引起的誤差建模和滾珠絲桿扭轉(zhuǎn)變形引起的誤差建模等。

2.3.1 驅(qū)動(dòng)電機(jī)模型

根據(jù)克希荷夫定律，可得XY工作臺(tái)的驅(qū)動(dòng)力矩與電機(jī)角速度的關(guān)系為：

(9)

式中，Le—電機(jī)電樞的電感；Ka—力矩系數(shù)；U—電機(jī)電樞的電動(dòng)勢(shì)；i—電機(jī)電樞的電流；R—電機(jī)電樞的電阻；ω—電機(jī)輸出角速度；Ke—電機(jī)反電勢(shì)系數(shù)。

2.3.2 滾珠絲杠螺距變化引起的誤差

滾珠絲杠的軸向變形會(huì)導(dǎo)致絲杠螺距的變化，而軸向變形量與其軸向剛度Kx有關(guān)。XY工作臺(tái)的滾珠絲杠采用兩端固定支承的方式，因此其軸向剛度為：

(10)

式中，d—滾珠絲杠的螺紋小徑；L—兩端軸承之間的距離；E—滾珠絲杠的彈性模量；l—滾珠絲桿副到右軸承的距離。

當(dāng)螺母組件處于滾珠絲杠的中間位置時(shí)，具有軸向最小剛度，即l=L/2，此時(shí)：

(11)

滾珠絲杠所受的軸向力：

(12)

式中，η—滾珠絲杠的效率；P—滾珠絲杠的導(dǎo)程；T—驅(qū)動(dòng)電機(jī)的轉(zhuǎn)矩。

滾珠絲杠的軸向變形量為：

(13)

式中，F(xiàn)f—工作臺(tái)的摩擦力。

則滾珠絲杠的螺距變形量為：

ΔXr=PΔX/L

(14)

工作臺(tái)由于滾珠絲杠螺距變化導(dǎo)致的定位誤差ΔZ為：

(15)

2.3.3 螺母組件軸向變形引起的誤差

XY工作臺(tái)滾珠絲杠螺母組件軸向變形量引起的工作臺(tái)定位誤差Δδ是由螺母組件中滾珠與滾道的彈性變形量引起的，根據(jù)赫茲接觸理論計(jì)算可得[12]：

(16)

式中 ，p—作用于螺母滾珠與滾道接觸點(diǎn)的法向壓力；J,ma—由τ值決定的系數(shù)；E1,E2—滾珠與內(nèi)外環(huán)的彈性模量；μ1,μ2—滾珠與內(nèi)外環(huán)的泊松比；Σρ—滾珠與內(nèi)外環(huán)接觸點(diǎn)主曲率半徑和。

2.3.4 滾珠絲杠扭轉(zhuǎn)變形引起的誤差

滾珠絲杠的扭轉(zhuǎn)變形大小取決于其扭轉(zhuǎn)剛度，其會(huì)引起工作臺(tái)滾珠絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)的角度與電機(jī)實(shí)際轉(zhuǎn)動(dòng)角度差，進(jìn)而引起工作臺(tái)的定位誤差。

滾珠絲杠的扭轉(zhuǎn)剛度為：

(17)

式中，G—滾珠絲杠的抗剪彈性模量；IP—軸截面的極慣性矩；LS—滾珠絲桿螺母到左軸承的距離。

則工作臺(tái)滾珠絲杠相對(duì)于電機(jī)的轉(zhuǎn)角變化為：

(18)

因此XY工作臺(tái)由于滾珠絲杠扭轉(zhuǎn)變形引起的定位誤差ΔN為：

(19)

綜上分析可知，由滾珠絲杠組件引起的XY工作臺(tái)定位誤差ΔH可以計(jì)算為：

ΔH=ΔZ+Δδ+ΔN

(20)

根據(jù)本文實(shí)驗(yàn)臺(tái)所采用的滾珠絲杠技術(shù)參數(shù)，公式(9)～公式(19)中參數(shù)分別取值如下：

P =5mm；L =424mm；d =13.5mm；μ1=μ2=0.3；E = E1=E2=2.06×105N/mm2；η=93%；Σρ=0.211；τ=6.21×10-3；LS=300mm；G =8.24×10-2N/mm2；Le=5.5mH；Ke=0.001。

則上述滾珠絲杠組件引起的XY工作臺(tái)定位誤差計(jì)算模型為：

ΔH=LX(41.8648/v-Ff)/741067200+
1.49263×10-4v2/3+9.26944×10-5/v

(21)

2.4 導(dǎo)軌系統(tǒng)制造、安裝質(zhì)量和摩擦力引起的誤差

XY工作臺(tái)面安裝在在兩根導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)軌的制造和安裝質(zhì)量會(huì)導(dǎo)致工作臺(tái)產(chǎn)生俯仰和偏擺角運(yùn)動(dòng)誤差。另外隨著工作臺(tái)負(fù)載和運(yùn)動(dòng)速度的不同，導(dǎo)軌摩擦力發(fā)生變化，因此在摩擦力、負(fù)載和慣性力作用下的導(dǎo)軌變形量也不同，導(dǎo)軌系統(tǒng)的俯仰和偏擺角運(yùn)動(dòng)誤差也發(fā)生變化，進(jìn)而引起工作臺(tái)定位誤差發(fā)生變化。

工作臺(tái)的驅(qū)動(dòng)力、摩擦力、運(yùn)動(dòng)速度等動(dòng)力學(xué)關(guān)系模型可以描述為：

(22)

式中，m—工作臺(tái)質(zhì)量；θ1—工作臺(tái)的俯仰角；v—工作臺(tái)的瞬時(shí)速度；ΔLx—工作臺(tái)移動(dòng)的定位誤差。

(23)

同時(shí)工作臺(tái)與導(dǎo)軌之間存在間隙和偏擺角運(yùn)動(dòng)誤差，指示光柵會(huì)在運(yùn)動(dòng)的過程中產(chǎn)生水平方向的阿貝誤差[13]，進(jìn)而產(chǎn)生工作臺(tái)的定位誤差Δa。

Δa=L1tanθ2≈L1θ2

(24)

式中，Δa—水平方向上的阿貝誤差；θ2—導(dǎo)軌與垂直方向的夾角，即工作臺(tái)的偏擺角，則式(8)中的光柵副間隙誤差Δt1的計(jì)算公式為Δt1=L1(1-cosθ2)。

另外XY工作臺(tái)經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間的往返運(yùn)動(dòng)后，導(dǎo)軌面與工作臺(tái)之間的磨損會(huì)導(dǎo)致兩者間隙加大，在水平方向會(huì)產(chǎn)生一個(gè)附加阿貝誤差，隨著磨損的加劇會(huì)對(duì)最終測(cè)量結(jié)果的影響越來越大，現(xiàn)將其視為隨機(jī)誤差δ隨2。

在上述公式中，θ1和θ2可以通過實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到。根據(jù)本文實(shí)驗(yàn)臺(tái)的技術(shù)參數(shù)，m =23.5kg；L1=60mm，則導(dǎo)軌系統(tǒng)制造、安裝質(zhì)量和摩擦力引起的誤差ΔD為：

ΔD=ΔLX+Δa+δ隨2=
23.5v2/(41.8648/v+235000·
sinθ1cosθ1-Ff)+60θ2+δ隨2

(25)

綜上分析可知，XY工作臺(tái)單向運(yùn)動(dòng)時(shí)的定位誤差Δ可以由式(26)計(jì)算得到：

Δ=ΔG+ΔH+ΔD

(26)

3 實(shí)際實(shí)驗(yàn)與測(cè)量結(jié)果分析

從公式(26)可知，XY工作臺(tái)單向運(yùn)動(dòng)的定位誤差Δ在不同運(yùn)動(dòng)速度下是不一樣的。為了分析運(yùn)動(dòng)速度對(duì)XY工作臺(tái)的影響，本文利用數(shù)控XY工作臺(tái)和英國(guó)Renishaw XL80激光干涉儀搭建了實(shí)驗(yàn)裝置，如圖2所示，分別測(cè)量上述公式中需要測(cè)量的工作臺(tái)運(yùn)動(dòng)速度、俯仰角和偏擺角，用于計(jì)算工作臺(tái)的綜合定位誤差。

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)中XY工作臺(tái)運(yùn)動(dòng)速度由數(shù)控系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)置，分別設(shè)為1mm/s，2mm/s，3mm/s，4mm/s，6mm/s，8mm/s。本文以XY工作臺(tái)X向行程為例，其行程為150mm。由數(shù)控系統(tǒng)控制工作臺(tái)沿X方向以上述不同運(yùn)動(dòng)速度運(yùn)動(dòng)，每間隔5mm分別利用激光干涉儀實(shí)時(shí)測(cè)量工作臺(tái)的俯仰角和偏擺角，測(cè)得不同速度下的XY工作臺(tái)X方向的俯仰角和偏擺角如圖3和圖4所示，可以看出工作臺(tái)導(dǎo)軌質(zhì)量較好，不同的速度下工作臺(tái)的俯仰和偏擺角具有較好的重復(fù)性。

將XY工作臺(tái)的運(yùn)動(dòng)速度、測(cè)量得到的不同速度下的俯仰角和偏擺角值代入公式(26)，計(jì)算得到不同運(yùn)動(dòng)速度下的工作臺(tái)X方向的動(dòng)態(tài)定位誤差，如圖5所示。從圖5中可以看出，XY工作臺(tái)的移動(dòng)速度從1mm/s變化到8mm/s時(shí)，定位誤差的變化規(guī)律基本保持不變，但具體數(shù)值發(fā)生變化。本文將XY工作臺(tái)位移為5mm，45mm，70mm，100mm時(shí)的在不同運(yùn)動(dòng)速度下的動(dòng)態(tài)定位誤差進(jìn)行采樣，繪制的定位誤差與速度的關(guān)系如圖6所示。

圖3 XY工作臺(tái)俯仰角

圖4 XY工作臺(tái)偏擺角

圖5 XY工作臺(tái)動(dòng)態(tài)定位誤差

圖6 定位誤差與速度的關(guān)系圖

從圖中可以看出，當(dāng)速度在3mm/s時(shí)，XY工作臺(tái)的定位誤差最小，存在著最佳運(yùn)動(dòng)速度。

4 結(jié)論

本文詳細(xì)分析了不同運(yùn)動(dòng)速度和摩擦特性影響下的數(shù)控機(jī)床XY工作臺(tái)動(dòng)態(tài)定位誤差的來源，建立了各動(dòng)態(tài)定位誤差分量的精確計(jì)算模型，搭建了實(shí)驗(yàn)裝置，測(cè)量了在所需運(yùn)動(dòng)速度下的俯仰角和偏擺角，精確計(jì)算了工作臺(tái)的定位誤差值，同時(shí)分析了XY工作臺(tái)動(dòng)態(tài)定位誤差受運(yùn)動(dòng)速度影響的變化規(guī)律。根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，本文研究的數(shù)控XY工作臺(tái)動(dòng)態(tài)定位誤差受到運(yùn)動(dòng)速度影響，不同運(yùn)動(dòng)速度下的動(dòng)態(tài)定位誤差不同，存在著最佳測(cè)量速度。因此為了提高數(shù)控機(jī)床動(dòng)態(tài)加工精度和在機(jī)測(cè)量系統(tǒng)的測(cè)量精度，必須精確建立工作臺(tái)定位誤差與運(yùn)動(dòng)速度下的誤差補(bǔ)償模型，同時(shí)盡量保證數(shù)控機(jī)床在其最佳運(yùn)動(dòng)速度下進(jìn)行工作。