□ 李群霞，馬風(fēng)才,張 群

(北京科技大學(xué) 東凌經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京 100083)

1 引言

在設(shè)備維修中，同類型的備件安裝在不同的設(shè)備上，所起到的作用大不相同。因此在研究備件庫存管理模型和設(shè)備維修過程中，需要分析這種備件的應(yīng)用場(chǎng)景。當(dāng)剩下少量備件時(shí)，這些備件一般將被特殊對(duì)待，即作為重要備件，只用于重要需求，即只對(duì)重要設(shè)備進(jìn)行安裝和維修，暫停對(duì)次要設(shè)備的維修，從而保證整體利益的最大化。Veinott[1]最早在庫存管理中引入了多種需求類別和重要水平的定義。重要水平定義為：當(dāng)庫存水平下降到一定水平，所有剩下備件被認(rèn)為重要備件的時(shí)候，該庫存水平為重要水平。Ha[2]假設(shè)各種不同需求都服從泊松分布過程，并且假設(shè)訂貨量和重要水平與時(shí)間無關(guān)，在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出了最優(yōu)重要水平策略。Vericourt[3]研究了相似的模型，假設(shè)了出現(xiàn)的缺貨可以補(bǔ)貨。Melchiors[4]將需求分為兩類，在訂貨成本、庫存持有成本和銷售損失成本之和最小化條件下，估計(jì)了最優(yōu)的訂貨量，基本的庫存水平和重要水平。同樣，Deshpande[5]分析了相似模型，假設(shè)缺貨可以補(bǔ)貨。Chang[6]對(duì)模型做了簡化，假設(shè)重訂貨點(diǎn)水平即為重要水平，在此基礎(chǔ)上，分析了備件訂貨庫存模型。

本文采用Chang[6]的假設(shè)，重要水平設(shè)置在訂貨點(diǎn)水平。在每個(gè)訂貨周期開始的一段時(shí)間內(nèi)，由于備件數(shù)量充足，備件不分重要備件和次要備件，所有備件都用于對(duì)重要設(shè)備和次要設(shè)備進(jìn)行維修，不分優(yōu)先級(jí)。當(dāng)備件庫存水平降到重訂貨點(diǎn)水平時(shí)，將剩下的所有備件視為重要備件，只用于重要設(shè)備的維修，次要設(shè)備維修被暫停。另外假設(shè)允許缺貨現(xiàn)象的發(fā)生。從上述假設(shè)可知，當(dāng)備件庫存水平到達(dá)重訂貨點(diǎn)水平時(shí)，次要備件先于重要備件開始缺貨。當(dāng)所有剩下的重要備件被重要需求消耗完，重要備件也開始缺貨。由于客戶在提前期開始，即在重訂貨點(diǎn)開始訂貨，因此，備件將在提前期末瞬時(shí)補(bǔ)貨，該時(shí)刻客戶才結(jié)束重要備件和次要備件的缺貨。一般情況下，在每個(gè)生產(chǎn)時(shí)間間隔，生產(chǎn)商會(huì)在客戶下達(dá)訂貨需求的時(shí)候，啟動(dòng)機(jī)器開始生產(chǎn)備件，在提前期末必須生產(chǎn)夠多的備件供給客戶。因此，提前期信息已經(jīng)在客戶和生產(chǎn)商之間得到了共享。Sajadieh在文獻(xiàn)[7]中假設(shè)提前期訂貨只影響客戶的庫存變化水平和訂貨行為，來研究聯(lián)合庫存模型，在最小的聯(lián)合庫存成本下，并尋求最優(yōu)的訂貨量和訂貨次數(shù)。該研究存在一定的局限性。主要原因是在研究生產(chǎn)商的生產(chǎn)庫存模型中未考慮提前期信息的共享，因而未考慮提前期信息對(duì)生產(chǎn)商的生產(chǎn)庫存模型的影響。本文相比Sajadieh文獻(xiàn)[7]在提前期信息上做了進(jìn)一步的深化，另外，將備件分成了重要備件和次要備件，這些假設(shè)更符合實(shí)際環(huán)境。

本文將建立客戶的備件庫存模型和生產(chǎn)商的生產(chǎn)庫存模型，結(jié)合構(gòu)成聯(lián)合備件庫存模型，在此基礎(chǔ)上尋求聯(lián)合優(yōu)化方法，保證在最小聯(lián)合成本條件下，獲取最優(yōu)參數(shù)，即最優(yōu)訂貨量、最優(yōu)訂貨次數(shù)和最優(yōu)重要水平。相比Chang文獻(xiàn)[6]，本文的研究是在供應(yīng)鏈環(huán)境下對(duì)此研究，因此更復(fù)雜。

2 供應(yīng)鏈庫存水平描述

圖1(a)：客戶重要備件的庫存變化水平圖1(b)：客戶次要備件的庫存變化水平圖1(c)：生產(chǎn)商的庫存變化水平

本文假設(shè)當(dāng)客戶的備件庫存水平降為重訂貨點(diǎn)水平時(shí)，將剩下的備件都被認(rèn)為重要備件，只用于重要需求，而次要備件開始缺貨。因此，重訂貨點(diǎn)水平為重要水平。為了更直觀的表達(dá)，可以將客戶的備件庫存變化水平分成兩部分：重要備件的庫存變化水平和次要備件的庫存變化水平，如圖1(a)和圖1(b)所示。另外，圖1(c)反映生產(chǎn)商的庫存水平的變化情況?？蛻粼谥赜嗀淈c(diǎn)，即在t1時(shí)刻末或者提前期開始向生產(chǎn)商訂購Q件產(chǎn)品。生產(chǎn)商立即響應(yīng)訂貨需求，開始生產(chǎn)備件產(chǎn)品。假設(shè)不允許生產(chǎn)商存在缺貨現(xiàn)象，則生產(chǎn)商必須在提前期末，即在L時(shí)刻末，必須至少生產(chǎn)相同數(shù)量的備件，以滿足客戶的需求。由于Q件備件會(huì)瞬時(shí)到達(dá)，因此，客戶的庫存會(huì)及時(shí)補(bǔ)貨，而生產(chǎn)商的庫存及時(shí)地得到削減。生產(chǎn)商一旦啟動(dòng)生產(chǎn)機(jī)器就會(huì)一直生產(chǎn)備件，直到生產(chǎn)nQ件備件來滿足客戶的n次訂貨，才結(jié)束生產(chǎn)。具體涉及的參數(shù)定義如表1所示。

表1 變量及其含義

3 供應(yīng)鏈備件庫存模型

3.1 客戶平均庫存成本

(1)

其中：

(2)

假設(shè)重要備件和次要備件分別服從(μc,σc)和(μn,σn)的正態(tài)分布，上式展開后，則:

(3)

3.2 生產(chǎn)商平均庫存成本

如圖1(c)所示，為了滿足客戶的n次需求，生產(chǎn)商只在0≤t≤Tm內(nèi)生產(chǎn)了nQ件產(chǎn)品，在Tm

(4)

另外,生產(chǎn)商的生產(chǎn)準(zhǔn)備成本=Am，則生產(chǎn)商平均生產(chǎn)庫存成本Cm為平均庫存持有成本和平均生產(chǎn)準(zhǔn)備成本之和，即:

(5)

3.3 聯(lián)合平均庫存成本

結(jié)合式(1)的客戶平均成本和式(5)的生產(chǎn)商平均成本，可得聯(lián)合平均庫存成本：

(6)

(7)

將上式代入式(6)，可得：

(8)

(9)

將上式代入式(8)，可得:

(10)

(11)

將上式分別代入式(8)和(9)，可得:

(12)

則最終最小聯(lián)合備件庫存成本為:

(13)

4 算例分析

假設(shè)客戶和生產(chǎn)商的庫存參數(shù)如下：

①一次訂貨(客戶)：Ab=100元/次，D=2000件/年，hb=20件/年，Sbc=50件/年，Sbn=40件/年，μc=2件/提前期，σc=4，μn=10件/提前期，σn=20。

②一次生產(chǎn)(生產(chǎn)商)：Am=10000元/次，P=40000件/年，hm=10元/件/年。

5 敏感性分析

5.1 α=Am/Ab對(duì)r*，n*,Q*,C*的影響

圖2 α=Am/Ab對(duì)r*,n*,Q*,C*的影響

設(shè)Am在區(qū)間[2000,4000]變化，Ab值和其它庫存參數(shù)值不變，則α=Am/Ab在區(qū)間[20,40]變化，r*,n*,Q*,C*隨α=A/Ab變化趨勢(shì)如圖2所示。n*和C*值隨α值的增大而增大，幾乎是線性增大的，而r*和Q*值不受α值變化的影響。

5.2 β=hb/hm對(duì)r*,n*,Q*,C*的影響

設(shè)hb在區(qū)間[15,30]變化，hm值和其它庫存參數(shù)值不變，則β=hb/hm在區(qū)間[1.5,3.0]變化，n*,Q*,C*隨β=hb/hm變化趨勢(shì)如圖3所示。r*值和Q*值隨β值的增大而減少，相比r*曲線，Q*曲線非線性特性更加明顯，而n*值和C*值隨β值的增大而非線性增大。

圖3 β=hb/hm對(duì)r*,n*,Q*,C*的影響

5.3 ρ=D/P對(duì)r*,n*,Q*,C*的影響

圖4 ρ=D/P對(duì)r*,n*,Q*,C*的影響

設(shè)P在區(qū)間[4000,8000]變化，D值和其它庫存參數(shù)值不變，則ρ=D/P在區(qū)間[0.25,0.50]變化。r*,n*,Q*,C*隨ρ=D/P變化趨勢(shì)如圖4所示。r*值和Q*值不隨ρ值的變化而變化，n*值隨ρ值的增大而增大，而C*值隨ρ值的增大而減少。

6 結(jié)論

本文對(duì)聯(lián)合備件庫存模型進(jìn)行深入的研究，獲得以下結(jié)論：

①針對(duì)備件使用情況，將備件分為重要備件和次要備件，將重訂貨點(diǎn)水平設(shè)置為重要水平。當(dāng)庫存水平降為重訂貨點(diǎn)水平時(shí)，將剩下備件作為重要備件，只供應(yīng)給重要需求。

②提前期信息在生產(chǎn)商和客戶之間得到共享，因此,無論生產(chǎn)商的生產(chǎn)庫存模型，還是客戶的備件訂貨庫存模型，都受到了提前期參數(shù)的約束。

③聯(lián)合客戶的備件庫存模型和生產(chǎn)商的生產(chǎn)庫存模型，最終確立了聯(lián)合備件庫存模型，優(yōu)化方法證明模型存在最優(yōu)重要水平，最優(yōu)訂貨量和最優(yōu)訂貨次數(shù)，并且保證在這些最優(yōu)處存在最小的聯(lián)合平均備件庫存成本。

④敏感性分析方法分析了客戶的與生產(chǎn)商的準(zhǔn)備成本之比、客戶的與生產(chǎn)商的單位持有成本之比、客戶需求率與生產(chǎn)商生產(chǎn)率之比對(duì)最優(yōu)參數(shù)和聯(lián)合成本的影響。從圖可知，最優(yōu)參數(shù)和聯(lián)合成本更易受客戶的與生產(chǎn)商的單位持有成本之比的影響。