徐會(huì)林

（贛南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 江西 贛州341000）

泰勒公式是高等數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是難點(diǎn)內(nèi)容之一，在數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域中均有重要的應(yīng)用價(jià)值.泰勒公式不僅可以用于證明等式、證明不等式、計(jì)算極限、求行列式以及求近似值等［1-2］，還可用于數(shù)值分析中的算法設(shè)計(jì)及誤差分析等［3-5］.

1 泰勒公式教學(xué)及應(yīng)用特點(diǎn)

泰勒公式比較抽象，難以理解，學(xué)生很難吃透泰勒公式的實(shí)質(zhì)，更談不上對(duì)泰勒公式的靈活運(yùn)用，因此，泰勒公式一直是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn).為了使學(xué)生更好的理解泰勒公式的思想，已有很多論文就泰勒公式的教學(xué)進(jìn)行了積極的探討［6-7］.

泰勒公式的實(shí)質(zhì)是在展開(kāi)點(diǎn)附近用多項(xiàng)式近似函數(shù)，這種近似是局部的，其優(yōu)點(diǎn)是可以利用多項(xiàng)式代替函數(shù)進(jìn)行近似計(jì)算.正是因?yàn)槿绱耍├展皆跀?shù)值分析中有著廣泛的應(yīng)用價(jià)值.為了使學(xué)生認(rèn)識(shí)到泰勒公式的重要性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，本文總結(jié)了泰勒公式在數(shù)值微分、數(shù)值積分、常微分方程數(shù)值解等問(wèn)題中的應(yīng)用.

2 泰勒公式的應(yīng)用

首先，給出常見(jiàn)的泰勒公式.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有n+1 階導(dǎo)數(shù)，x0∈(a,b)，則對(duì)任意x∈(a,b)，有：

其中Rn(x)為余項(xiàng)，常見(jiàn)的余項(xiàng)有佩亞諾型、拉格朗日型、積分型及柯西型余項(xiàng)［8］.記n 次泰勒多項(xiàng)式為Pn(x)，則有f(x)=Pn(x)+Rn(x).事實(shí)上，泰勒多項(xiàng)式也可理解為是滿足帶導(dǎo)數(shù)的插值條件的插值多項(xiàng)式：

也稱為泰勒插值多項(xiàng)式［3］.

2.1 泰勒公式在數(shù)值微分中的應(yīng)用

設(shè)步長(zhǎng)h>0，分別將函數(shù)f(x+h)和f(x-h)在點(diǎn)x 泰勒展開(kāi)，可得：

由此可得近似一階導(dǎo)數(shù)的向前差分公式：

另一種近似求導(dǎo)的方法是通過(guò)計(jì)算如下積分來(lái)實(shí)現(xiàn)的［9］：

將函數(shù)f(x+t), t∈［-h， h］在x 點(diǎn)泰勒展開(kāi)，可得：

即：

2.2 泰勒公式在數(shù)值積分中的應(yīng)用

設(shè)F(x)為f(x),的原函數(shù)，即F′(x)=f(x), x∈［a， b］，由牛頓-萊布尼茨公式可知：

將F(x)在點(diǎn)x=a 泰勒展開(kāi)，可得：

其中a＜ξ6＜6. 將（6）式代入（5）式，可得：

由此可得左矩形求積公式：

分別將x=a 和x=b 代入（7）式，并相減可得：

其中a＜ξ7＜b.由此可得中點(diǎn)求積公式：

2.3 泰勒公式在常微分方程數(shù)值解中的應(yīng)用

考慮一階常微分方程初值問(wèn)題：

的數(shù)值解.在區(qū)間［a,b］上構(gòu)造等距離散節(jié)點(diǎn)：

步長(zhǎng)為h，即xn=x0+nh, n=0, 1,…, N.所謂數(shù)值解就是計(jì)算未知函數(shù)y(x)在離散節(jié)點(diǎn)上的近似值yn≈y(xn).將y(x)在xn點(diǎn)泰勒展開(kāi)，可得：

由此可得求解常微分方程的歐拉法：

假設(shè)yn是準(zhǔn)確的，即yn=y(xn)，則（8）式減（9）式可得：

此時(shí)，稱（10）式為歐拉法的局部截?cái)嗾`差［10］.泰勒公式還可用于構(gòu)造龍格-庫(kù)塔方法等線性單步法以及線性多步法的公式，并分析公式的局部截?cái)嗾`差.下面，以辛普森方法［3］：

為例，借助泰勒公式分析它的局部截?cái)嗾`差.假設(shè)（11）式右端的近似值均取準(zhǔn)確值，則有：

分別將y(x)和y′(x)在xn點(diǎn)泰勒展開(kāi)，可得：

當(dāng)k=5 時(shí)，在（13）式中取x=xn+2，在（14）式中分別取x=xn+1和x=xn+2，代入（12）式可得辛普森公式的局部截?cái)嗾`差為：

此外，泰勒公式還可用于分析求解非線性方程的不動(dòng)點(diǎn)迭代法的收斂速度［3］，在此不再贅述.

3 結(jié)語(yǔ)

本文給出了泰勒公式在數(shù)值微分、數(shù)值積分、常微分方程數(shù)值解等數(shù)值問(wèn)題中的應(yīng)用.泰勒公式不僅可以用于構(gòu)造數(shù)值算法，還可用于分析數(shù)值算法的誤差，在數(shù)值分析中有著廣泛的應(yīng)用價(jià)值.通過(guò)本文的分析，可以使學(xué)生感受到泰勒公式的應(yīng)用價(jià)值，認(rèn)識(shí)到泰勒公式的重要性.