■河南省鄭州市第十一中學(xué)1902班 李嘉豪

圓錐曲線屬于解析幾何部分內(nèi)容,而解析幾何的中心思想是借助笛卡兒直角坐標(biāo)系,用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題。因此,圓錐曲線問(wèn)題看似是幾何問(wèn)題,本質(zhì)上卻是代數(shù)問(wèn)題。經(jīng)過(guò)大量的實(shí)踐演練,筆者發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決就好比語(yǔ)言等價(jià)翻譯的過(guò)程,將用文字語(yǔ)言描述的數(shù)學(xué)問(wèn)題翻譯為用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的過(guò)程,再輔助結(jié)合我們的運(yùn)算能力,便能將問(wèn)題快速解決。在兩種語(yǔ)言的翻譯過(guò)程中,充分體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,而圓錐曲線問(wèn)題則是考查我們數(shù)學(xué)等價(jià)轉(zhuǎn)化能力的典型題目。下面筆者將結(jié)合典型例題進(jìn)行說(shuō)明。

例1(2018·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)橢圓+y2=1的右焦點(diǎn)為F,過(guò)F的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0)。

(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),求直線A M的方程;

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:∠O M A=∠O M B。

思路分析:根據(jù)題設(shè)條件可以直接得到右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)。由于直線l為過(guò)點(diǎn)F的直線,首先需要考慮直線斜率存在還是不存在的問(wèn)題。

若直線l的斜率不存在,則直接得到直線方程,進(jìn)而求出點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)。若直線l的斜率存在,由于已知直線上一點(diǎn)F的坐標(biāo),便可設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程,引入?yún)?shù),然后用參數(shù)k表示點(diǎn)A、B的坐標(biāo)。至此,所有的未知量都最終歸結(jié)為含有參數(shù)k的表達(dá)式,文字語(yǔ)言的翻譯工作基本完成,接下來(lái)便是純粹的計(jì)算問(wèn)題。

(1)要求直線AM的方程,題目中已知點(diǎn)M的坐標(biāo),只需求出點(diǎn)A的坐標(biāo)即可。此時(shí)直線l與x軸是垂直的關(guān)系,且已知點(diǎn)F的坐標(biāo),根據(jù)上面的分析,很容易得到點(diǎn)A坐標(biāo),求出直線AM的方程。

(2)要證明兩個(gè)角相等,將這個(gè)幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題的銜接知識(shí)是三角函數(shù)。在圓錐曲線中,與角緊密相關(guān)的是直線的斜率,此時(shí)便很容易想到兩個(gè)角的正切值。在直線傾斜角范圍內(nèi),若兩個(gè)角的正切值相等,則兩個(gè)角相等,反之也成立。這樣證明兩角相等的問(wèn)題便等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明兩個(gè)角的正切值相等,也就是對(duì)應(yīng)直線的斜率相等。要表示斜率離不開(kāi)點(diǎn)的坐標(biāo)。根據(jù)上面的分析可知,直線斜率不存在時(shí),可以求出點(diǎn)的坐標(biāo),斜率存在時(shí),可以用參數(shù)k表示點(diǎn)的坐標(biāo),于是可采用“設(shè)而不求”的方法證明等式成立。

解:(1)由已知得F(1,0),l的方程為x=1。

(2)當(dāng)l與x軸重合時(shí),∠OMA=∠OMB=0°。

當(dāng)l與x軸垂直時(shí),OM為A B的垂直平分線,所以∠OMA=∠OMB。

當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí),設(shè)l的方程為y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2)。

從而kMA+kMB=0,故MA,MB的傾斜角互補(bǔ)。所以∠OMA=∠OMB。

綜上,∠OMA=∠OMB。

例2(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知橢圓C:),四點(diǎn)P1(1,1),P2(0,1),中恰有三點(diǎn)在橢圓上。

(1)求C的方程。

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn)。若直線P2A與直線P2B的斜率之和為-1,證明:l過(guò)定點(diǎn)。

思路分析:(1)根據(jù)題設(shè)條件三個(gè)點(diǎn)在橢圓C上,那么是哪三個(gè)點(diǎn)在橢圓上就顯得非常重要。

根據(jù)橢圓圖形的特征,結(jié)合判斷點(diǎn)是否在橢圓上的方法,很容易得到點(diǎn)P2,P3,P4三個(gè)點(diǎn)在橢圓上。這樣就很容易求出橢圓的方程。

(2)第二問(wèn)涉及直線和橢圓的位置關(guān)系,離不開(kāi)直線方程,此時(shí)首先要考慮的是直線斜率不存在的情況是否符合題設(shè)條件。當(dāng)直線l斜率存在時(shí),由于直線的已知信息較少,可以根據(jù)常規(guī)方法設(shè)直線的斜截式方程y=k x+m(m≠1),引入?yún)?shù)k,m,設(shè)點(diǎn)A、B坐標(biāo)(盡管此時(shí)參數(shù)較多,但可以由題目中的條件尋找參數(shù)之間關(guān)系,消參,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到某一個(gè)參數(shù)上)。根據(jù)題設(shè)條件將直線與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理尋找兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,同時(shí)也找到了兩點(diǎn)坐標(biāo)與參數(shù)之間的關(guān)系,這樣本來(lái)多個(gè)參數(shù)問(wèn)題便歸為兩個(gè)參數(shù)k、m的問(wèn)題。又直線P2A與直線P2B的斜率之和為-1,利用各點(diǎn)的坐標(biāo)得到等式,進(jìn)一步消參,最終只剩下一個(gè)參數(shù)問(wèn)題。至此,題目條件已經(jīng)用完,此時(shí)回歸問(wèn)題,將參數(shù)之間關(guān)系代入直線方程便可得證。

解:(1)由于P3,P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱,故由題設(shè)知橢圓C經(jīng)過(guò)P3,P4兩點(diǎn)。

(2)設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2。

如果l與x軸垂直,設(shè)l:x=t,由題設(shè)知t≠0,且|t|＜2,可得A,B的坐標(biāo)分別為符合題設(shè)。

圓錐曲線問(wèn)題是高中階段學(xué)習(xí)的重中之重,盡管近些年難度有所降低,但所涉及的知識(shí)點(diǎn)繁多,覆蓋范圍廣,對(duì)大部分同學(xué)來(lái)說(shuō)還是一道坎。這就需要大家在掌握基本知識(shí)的基礎(chǔ)上,能夠?qū)λ鶎W(xué)知識(shí)活學(xué)活用,能夠?qū)⒅R(shí)之間的關(guān)系進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,從而做到以不變應(yīng)萬(wàn)變。