羅 亮, 張為民, Jürgen Fleischer

(1.同濟(jì)大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院 上海，201804) (2.同濟(jì)大學(xué)中德學(xué)院 上海，201804)(3.同濟(jì)大學(xué)先進(jìn)制造技術(shù)中心 上海，201804) (4.卡爾斯魯厄理工學(xué)院生產(chǎn)技術(shù)研究所 卡爾斯魯厄，76131，德國(guó))

引 言

制造業(yè)對(duì)加工效率的追求要求進(jìn)給系統(tǒng)具有更高的速度和加速度，滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)是由多個(gè)部件組成的柔性體系統(tǒng)，在高速、高加速度進(jìn)給過(guò)程中容易產(chǎn)生振動(dòng)問(wèn)題，而不平滑的進(jìn)給運(yùn)動(dòng)指令是其中最主要的激勵(lì)源之一[1-3]。

為了解決高速進(jìn)給過(guò)程中的振動(dòng)問(wèn)題，傳統(tǒng)通過(guò)增大機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)剛度的方法，不僅增加了傳動(dòng)系統(tǒng)慣性，需要功率更大的驅(qū)動(dòng)部件和驅(qū)動(dòng)力矩，同時(shí)也增加了能耗。使用減振技術(shù)已成為解決高速進(jìn)給過(guò)程中振動(dòng)問(wèn)題的趨勢(shì)[4-5]。目前，減振技術(shù)主要有主動(dòng)振動(dòng)抑制技術(shù)和振動(dòng)規(guī)避技術(shù)。主動(dòng)振動(dòng)抑制技術(shù)有通過(guò)慣性阻尼器或反相激振器等附加設(shè)備實(shí)現(xiàn)進(jìn)給系統(tǒng)振動(dòng)的主動(dòng)衰減[6-7]，也有使用抑振算法通過(guò)伺服驅(qū)動(dòng)器實(shí)現(xiàn)振動(dòng)的主動(dòng)抑制[8]。后一種方式不會(huì)大幅增加設(shè)備成本，其中陷波濾波器是使用最廣泛的振動(dòng)抑制方法之一，但必須獲得準(zhǔn)確的機(jī)械系統(tǒng)諧振頻率，同時(shí)也會(huì)降低伺服系統(tǒng)的響應(yīng)速度[9-10]。振動(dòng)規(guī)避技術(shù)是通過(guò)控制激勵(lì)源來(lái)實(shí)現(xiàn)控制振動(dòng)的方法。以速度轉(zhuǎn)接處理和加減速控制等主要方法實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)軌跡平滑處理，降低了進(jìn)給運(yùn)動(dòng)過(guò)程中對(duì)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)激勵(lì)，同時(shí)提高了數(shù)控機(jī)床的進(jìn)給速度和加速度。合理的加減速控制策略是實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)軌跡平滑處理，繼而實(shí)現(xiàn)振動(dòng)規(guī)避的關(guān)鍵[11-12]。NURBS，Hermite等樣條插補(bǔ)算法對(duì)CAM系統(tǒng)中生成的G代碼微小直線段進(jìn)行擬合，基于進(jìn)給系統(tǒng)的加加速、加速度等邊界條件，改善了運(yùn)動(dòng)軌跡的光滑性，并有效降低了進(jìn)給系統(tǒng)因頻繁加減速而產(chǎn)生的振動(dòng)問(wèn)題[13-14]。數(shù)控加工對(duì)效率的不斷追求，要求加工過(guò)程能夠充分利用進(jìn)給系統(tǒng)的速度和加速度。然而，由于缺乏滾珠絲杠驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)進(jìn)給運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)的理論研究和加減速控制策略與進(jìn)給系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的理論分析模型，只能通過(guò)經(jīng)驗(yàn)性的提高運(yùn)動(dòng)指令曲線的連續(xù)性，在一定程度上降低高速、高加速度進(jìn)給過(guò)程中產(chǎn)生的進(jìn)給振動(dòng)問(wèn)題[15-16]。

針對(duì)以上問(wèn)題，筆者基于滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)集中質(zhì)量動(dòng)力學(xué)模型，建立滾珠絲杠驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的進(jìn)給運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)理論模型，研究伺服電機(jī)輸出扭矩與進(jìn)給系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)之間的理論關(guān)系。通過(guò)分析現(xiàn)有加減速策略中存在的加加速曲線不平滑的問(wèn)題，提出一種類余弦加加速策略，以減小進(jìn)給運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的對(duì)進(jìn)給驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)激勵(lì)。

1 滾珠絲桿進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的低階模態(tài)是影響進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的主要因素[17-18]。集中質(zhì)量動(dòng)力學(xué)模型能夠合理降低仿真模型的自由度數(shù)量，保留系統(tǒng)低階模態(tài)從而簡(jiǎn)化計(jì)算。典型的滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)由伺服電機(jī)、聯(lián)軸器、絲杠螺母、工作臺(tái)及基座組成，其集中質(zhì)量動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示，表1為模型中各參數(shù)定義。

圖1 滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)集中質(zhì)量模型 Fig.1 Lumped mass model of ball screw feed drives

表1進(jìn)給系統(tǒng)集中質(zhì)量模型參數(shù)定義

Tab.1Parameterdefinitionoflumpedmassmodelofballscrewfeeddrives

滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)集中質(zhì)量動(dòng)力學(xué)模型為

(1)

其中：

q=(θMθSXBXSXT)T為物理坐標(biāo)向量；Q=(TM0 0 0 -FC)T為物理力向量；i為絲杠螺母?jìng)鲃?dòng)比。

2 滾珠絲桿進(jìn)給系統(tǒng)激勵(lì)響應(yīng)特性

基于式(1)的滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，建立伺服電機(jī)扭矩激勵(lì)下的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性模型。

2.1 滾珠絲桿進(jìn)給系統(tǒng)激勵(lì)響應(yīng)理論模型

將式(1)的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程解耦，得到系統(tǒng)的微分方程為

(2)

其中：qrt為系統(tǒng)廣義坐標(biāo)；prt為廣義力向量。

(3)

其中：μ為系統(tǒng)模態(tài)矩陣。

式(2)中每個(gè)方程相當(dāng)于一個(gè)獨(dú)立的單自由度系統(tǒng)，并具有式(4)頻率響應(yīng)特性。

(4)

根據(jù)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)理論，可得到物理坐標(biāo)的自相關(guān)函數(shù)為

(5)

其中：Sfifjω為廣義力功率譜。

2.2 伺服電機(jī)扭矩激勵(lì)響應(yīng)特性分析

(6)

物理力相關(guān)矩陣與廣義力相關(guān)矩陣具有式(7)所示坐標(biāo)變換關(guān)系

(7)

將式(6)代入式(7)可得

TTMRTMτ

(8)

其中：

根據(jù)多自由度振動(dòng)系統(tǒng)廣義力功率譜與物理力功率譜的Fourier變換關(guān)系有

(9)

將式(8)代入式(9)可得

(10)

由式(10)表明，進(jìn)給系統(tǒng)廣義力功率譜與伺服電機(jī)扭矩功率譜為線性變換關(guān)系，其變換關(guān)系TTM由系統(tǒng)特性參數(shù)決定。將式(10)代入式(5)，可得式(11)所示系統(tǒng)響應(yīng)物理坐標(biāo)相關(guān)矩陣

(11)

滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)是復(fù)雜的機(jī)電耦合系統(tǒng)，其控制回路中包含多種時(shí)變、非線性因素，進(jìn)給系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中伺服電機(jī)的輸出扭矩TMτ本質(zhì)是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，不計(jì)系統(tǒng)阻尼其統(tǒng)計(jì)特征可近似為運(yùn)動(dòng)指令加速度曲線與系統(tǒng)慣量的乘積。因此，運(yùn)動(dòng)指令加速度曲線是影響伺服電機(jī)扭矩功率譜STMω進(jìn)而影響進(jìn)給系統(tǒng)振動(dòng)的重要因素。

3 類余弦加加速加減速策略的制定

根據(jù)Fourier變換定義，加速度曲線中任何不平滑過(guò)程都會(huì)引入高頻成分，給進(jìn)給過(guò)程帶來(lái)振動(dòng)激勵(lì)。為了提高運(yùn)動(dòng)指令曲線的平順度，使用更高階連續(xù)的加加速曲線是一種可行方案，出現(xiàn)了直線加減速策略(圖2(a))、有限加加速策略(圖2(b))以及正弦加加速策略(圖2(c))及其改進(jìn)策略等。

圖2 不同加減速策略的加加速、加速度曲線Fig.2 Acceleration and jerk curves of different motion profiles

正弦加加速策略及其改進(jìn)策略通過(guò)構(gòu)建三角函數(shù)實(shí)現(xiàn)了加加速曲線的高階連續(xù)[11]，但沒(méi)有消除加加速開(kāi)始點(diǎn)及結(jié)束點(diǎn)的不平滑變化。針對(duì)該問(wèn)題，筆者提出一種式(12)所示的類余弦加加速加減速策略，其加加速和加速度曲線如圖2(d)所示。該策略平滑了加加速開(kāi)始點(diǎn)及結(jié)束點(diǎn)的曲率突變，實(shí)現(xiàn)了加加速全過(guò)程的平滑過(guò)渡。對(duì)式(12)積分可獲得式(13)類余弦加加速策略的加速度曲線方程。

圖3為各加減速策略加速度曲線的功率譜分析結(jié)果，進(jìn)給系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)指令曲線平順度越高，其加速度曲線功率譜中、高頻段的功率密度就越低。與其他加減速策略相比，筆者提出的類余弦加加速策略的中高頻段的功率密度大幅降低，對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)的激勵(lì)也就更小。

(12)

(13)

圖3 不同加減速策略加速度曲線功率譜分析Fig.3 Power spectrum density analysis result of different motion profiles acceleration curves

4 加減速策略激勵(lì)特性對(duì)比分析

4.1 加減速策略激勵(lì)特性仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

為了排除滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)中的間隙、阻尼等非線性因素以及機(jī)電耦合因素等對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)振動(dòng)的影響，通過(guò)建立合理簡(jiǎn)化的進(jìn)給系統(tǒng)仿真模型，以仿真分析的方式對(duì)各加減速策略的激勵(lì)特性進(jìn)行對(duì)比分析。建立的仿真模型如圖4所示。其中，左側(cè)為各加減速策略的運(yùn)動(dòng)指令輸出模塊，右側(cè)為滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)集中質(zhì)量動(dòng)力學(xué)模型。將各加減速策略的加速度曲線轉(zhuǎn)換成伺服電機(jī)的理想扭矩，并輸入到滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型中。

圖4 不同加減速策略激勵(lì)特性仿真實(shí)驗(yàn)仿真模型 Fig.4 Simulation model for the simulative study of motion profiles excitation characteristics

為使各加減速策略的激勵(lì)特性具有可比性，調(diào)整各加減速策略的最大加加速值，使各加減速策略完成位移指令所消耗的時(shí)間相同，根據(jù)表2中的仿真參數(shù)，生成的各加減速策略下的加速度曲線如圖5所示。表中加加速值為有限加加速策略的最大加加速值。

表2仿真模型運(yùn)動(dòng)指令參數(shù)

Tab.2Motionprofilesparametersusedinthesimulativestudy

參數(shù)數(shù)值位移/mm300最大加速度/(m·s-2)40最大速度 /(m·min-1)40.8最大加加速參考/(m·s-3)15

圖5 不同加減速策略的加速度指令曲線Fig.5 Acceleration curves of different motion trajectories

4.2 進(jìn)給系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)架集中質(zhì)量模型實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

以實(shí)驗(yàn)室某滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)架為研究對(duì)象，建立圖1所示的滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)集中質(zhì)量動(dòng)力學(xué)仿真模型。表3為該實(shí)驗(yàn)臺(tái)架的關(guān)鍵部件參數(shù)，臺(tái)架使用THK預(yù)壓型G0間隙等級(jí)絲杠，絲杠安裝方式為固定-支撐方式。

表3 進(jìn)給系統(tǒng)關(guān)鍵部件參數(shù)

表4 集中質(zhì)量仿真模型參數(shù)

采用AVANT-7008數(shù)據(jù)采集與分析儀和Dytran壓電加速度計(jì)在該實(shí)驗(yàn)臺(tái)架上構(gòu)建了圖7所示的實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)采集系統(tǒng)，在工作臺(tái)上布置加速度傳感器，用力錘對(duì)工作臺(tái)進(jìn)行激勵(lì)。為了避免工作臺(tái)其他方向的結(jié)構(gòu)模態(tài)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響，力錘的激勵(lì)方向?yàn)楣ぷ髋_(tái)進(jìn)給方向，加速度傳感器只采集進(jìn)給方向的加速度信號(hào)。采用多點(diǎn)激振-單點(diǎn)拾振的方法完成工作臺(tái)進(jìn)給方向的模態(tài)數(shù)據(jù)采集，通過(guò)模態(tài)參數(shù)識(shí)別，獲得的滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)臺(tái)架模態(tài)參數(shù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6(b)所示。

圖6 工作臺(tái)頻率響應(yīng)特性仿真結(jié)果與模態(tài)測(cè)試結(jié)果Fig.6 Simulated frequency response result and modal test result of work table

圖7 滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)架模態(tài)測(cè)試實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.7 Modal test platform for the ball screw feed drive experimental bench

表5為實(shí)驗(yàn)和仿真獲得的臺(tái)架特征頻率結(jié)果對(duì)比。結(jié)果分析表明，系統(tǒng)前三階固有頻率的仿真與實(shí)測(cè)結(jié)果相對(duì)誤差在5%以內(nèi)。由于集中質(zhì)量模型是有1個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度的半定系統(tǒng)，系統(tǒng)存在一個(gè)剛體模態(tài)[19]。模態(tài)實(shí)驗(yàn)中伺服電機(jī)轉(zhuǎn)子處于伺服定位狀態(tài)限制了轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)自由度，因此模態(tài)實(shí)驗(yàn)結(jié)果比仿真結(jié)果多1階自然頻率。經(jīng)過(guò)進(jìn)一步分析，伺服電機(jī)采用20位編碼器，分辨率為6×10-6rad，采集到伺服電機(jī)靜止電機(jī)電流約0.12～0.18A，電機(jī)扭矩常數(shù)為1.93，伺服剛度估算約為5×104N·m/rad。在集中質(zhì)量模型中增加伺服剛度KM，仿真結(jié)果中出現(xiàn)455 Hz特征頻率。

通過(guò)初步分析，第5階的振動(dòng)頻率主要與絲杠的軸向振動(dòng)相關(guān)，由于絲杠安裝問(wèn)題引起的軸承剛度值變化以及伺服電機(jī)轉(zhuǎn)子質(zhì)量估算引入的誤差，導(dǎo)致仿真結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果相差較大。

表5仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

Tab.5Comparisonofthesimulatedandmeasurednaturefrequency

自然頻率仿真結(jié)果fi/Hz自然頻率實(shí)驗(yàn)實(shí)測(cè)結(jié)果f'i/Hz相對(duì)誤差百分比(fi -fi')fi'-1/%25.025073.9751.5246.02574.3—451-630.055912.7

4.3 加減速策略激勵(lì)特性仿真結(jié)果分析

以圖4的仿真模型進(jìn)行加減速策略激勵(lì)特性的仿真研究，獲得圖8所示的工作臺(tái)加速度響應(yīng)曲線仿真結(jié)果。由于動(dòng)力學(xué)模型中忽略了系統(tǒng)阻尼，系統(tǒng)中的振動(dòng)能量沒(méi)有耗散，因此工作臺(tái)的振幅沒(méi)有衰減。由圖8可見(jiàn)，運(yùn)動(dòng)軌跡的平滑程度越高，工作臺(tái)的振幅越小。

圖8 不同加減速策略的工作臺(tái)加速度響應(yīng)仿真曲線Fig.8 Simulative acceleration response of different motion profiles

將工作臺(tái)加速度仿真輸出信號(hào)與加速度指令信號(hào)做差得到工作臺(tái)的振動(dòng)曲線(圖9所示)。每次加加速度的狀態(tài)轉(zhuǎn)變，都伴隨著工作臺(tái)振動(dòng)幅值的增加，而加加速度越平滑，工作臺(tái)振動(dòng)幅值的增加量就越小。圖9 (d)類余弦加減速策略引起的工作臺(tái)振動(dòng)振幅最小。

圖9 不同加減速策略的工作臺(tái)振動(dòng)曲線Fig.9 Table vibration curve under different motion profiles

圖10 不同加減速策略下工作臺(tái)振動(dòng)功率譜分析Fig.10 Power spectral density analysis of table vibration under different motion profiles

5 結(jié) 論

1) 基于滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)集中質(zhì)量動(dòng)力學(xué)模型，建立了滾珠絲桿進(jìn)給系統(tǒng)伺服電機(jī)扭矩激勵(lì)與物理坐標(biāo)響應(yīng)的理論模型，為研究進(jìn)給系統(tǒng)振動(dòng)激勵(lì)響應(yīng)特性提供了理論依據(jù)。

2) 提出一種類余弦加加速加減速策略，該策略平滑了加加速開(kāi)始點(diǎn)及結(jié)束點(diǎn)的不平滑，實(shí)現(xiàn)了加加速全過(guò)程的平滑過(guò)渡。功率譜分析結(jié)果表明，類余弦加加速策略加速度曲線在50Hz以上頻率的功率密度更低，對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)的激勵(lì)更小。

3) 以滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)架為研究對(duì)象，建立了系統(tǒng)的集中質(zhì)量動(dòng)力學(xué)仿真模型，通過(guò)模態(tài)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該動(dòng)力學(xué)仿真模型，并通過(guò)仿真研究對(duì)比分析了各加減速策略的激勵(lì)特性。分析結(jié)果表明，類余弦加減速策略具有更小的激勵(lì)特性，工作臺(tái)產(chǎn)生的振幅更小，其響應(yīng)的功率密度遠(yuǎn)小于有限加加速策略和正弦加加速策略。