李 沖， 邢繼春， 方記文， 趙 忠

(1.江蘇科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 鎮(zhèn)江，212003) (2.江蘇科技大學(xué)江蘇省船海機(jī)械裝備先進(jìn)制造重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 鎮(zhèn)江，212003) (3.燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 秦皇島，066004)

引 言

隨著航空、航天、武器等尖端技術(shù)的不斷發(fā)展，機(jī)械傳動逐步走向高精度、高效率、大功率密度及微型化的趨勢[1]。活齒傳動作為一種結(jié)構(gòu)緊湊、傳動比大、承載能力高的傳動方式[2]，近年來成為眾多學(xué)者研究的一大熱點(diǎn)課題?；铨X傳動最初由德國技術(shù)人員在20世紀(jì)30～40年代提出，國內(nèi)對活齒傳動的研究始于20世紀(jì)70年代后期[3]。周建軍等[4]對活齒傳動機(jī)構(gòu)的設(shè)計和分類進(jìn)行了系統(tǒng)闡述，為樣機(jī)的設(shè)計及可行性奠定了理論基礎(chǔ)。趙純可等[5]對二差齒擺桿活齒傳動進(jìn)行了深入研究，給出了齒形的設(shè)計與加工方法等。劉大偉等[6]給出了非勻速活齒機(jī)構(gòu)的傳動原理及典型結(jié)構(gòu)，該種機(jī)構(gòu)具有設(shè)計制造簡單，能實(shí)現(xiàn)變速傳動效果多樣性。李劍鋒等[7]對二齒差鋼球活齒傳動齒廓干涉進(jìn)行了研究，給出了避免定盤封閉槽發(fā)生齒廓干涉的設(shè)計條件。李沖等[8]提出了一種機(jī)電集成壓電諧波傳動系統(tǒng)，將微型鋼球活齒傳動與壓電驅(qū)動實(shí)現(xiàn)完美結(jié)合，具有低速、大轉(zhuǎn)矩特性。

科研工作者對于不同類型活齒傳動的動力學(xué)特性進(jìn)行了研究。梁尚明等[9]建立了擺動活齒傳動系統(tǒng)的動力學(xué)模型，并分析了彎曲振動、扭轉(zhuǎn)振動及其耦合效應(yīng)。金向陽等[10]對航空用微小型正弦活齒系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模，得到了其動態(tài)特性參數(shù)，找出了結(jié)構(gòu)中影響動態(tài)特性參數(shù)的薄弱環(huán)節(jié)。安子軍等[11]采用集中參數(shù)法建立擺桿活齒傳動系統(tǒng)的3自由度扭轉(zhuǎn)振動動力學(xué)模型，給出模態(tài)頻率和振型。文獻(xiàn)[12-13]借鑒行星齒輪傳動模型對微型鋼球活齒傳動系統(tǒng)進(jìn)行動力學(xué)建模并對壓電諧波活齒傳動系統(tǒng)進(jìn)行了耦合振動研究。

活齒系統(tǒng)在工作時，參與嚙合的齒數(shù)處于變化中，故活齒系統(tǒng)輸出轉(zhuǎn)矩呈非線性變化。活齒系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性對其傳動效率產(chǎn)生重要影響。通過對活齒傳動系統(tǒng)進(jìn)行非線性共振研究，可以了解系統(tǒng)的動態(tài)特性，避免系統(tǒng)非線性共振的產(chǎn)生，進(jìn)而提高系統(tǒng)傳動的平穩(wěn)性。筆者對設(shè)計的大傳動比微型活齒傳動系統(tǒng)進(jìn)行非線性動力學(xué)建模，給出非線性幅頻關(guān)系及共振響應(yīng)規(guī)律。

1 活齒傳動系統(tǒng)設(shè)計

活齒傳動系統(tǒng)由波發(fā)生器、中心輪、活齒架及活齒構(gòu)成，如圖1所示。工作時，波發(fā)生器按照諧波運(yùn)動的形式沿圓周方向擺動，波發(fā)生器邊緣與活齒接觸時通過諧波力迫使活齒沿中心輪齒廓滾動，活齒帶動活齒架轉(zhuǎn)過一定角度。在波發(fā)生器連續(xù)諧波的作用下，活齒架輸出完整周期運(yùn)動。

筆者所用微型活齒傳動系統(tǒng)，設(shè)活齒個數(shù)Zp=30，中心輪波齒數(shù)Zc=29，則系統(tǒng)傳動比為

(1)

設(shè)微型活齒系統(tǒng)偏心距a=0.1mm，a取值較小是為了能夠通過微納米驅(qū)動機(jī)構(gòu)來提供偏心，使活齒系統(tǒng)能夠應(yīng)用于微型精密傳動部位。中心輪齒廓是活齒傳動的關(guān)鍵部位，中心輪齒廓方程為

(2)

其中：φ為活齒架轉(zhuǎn)角；ψ為活齒中心運(yùn)動軌跡上該點(diǎn)法線與x軸的夾角；b=rs+rp；rs，rp分別為波發(fā)生器和活齒的半徑。

圖1 活齒傳動系統(tǒng)構(gòu)成圖Fig.1 Composition diagrams of movable tooth drive system

圖2為活齒位于中心輪齒廓上兩個極限位置的幾何關(guān)系圖。由圖2(a)及活齒連續(xù)傳動條件、不干涉條件可得活齒架外圓半徑的尺寸范圍為

(3)

圖2 活齒與中心輪齒廓的位置關(guān)系Fig.2 Location relationship between movable tooth and central cog profile

由圖2(b)及活齒連續(xù)傳動條件、不干涉條件可得活齒架內(nèi)圓半徑的尺寸范圍為

(4)

2 活齒傳動系統(tǒng)動力學(xué)建模

微型活齒系統(tǒng)動力學(xué)模型如圖3所示，OXY為定坐標(biāo)系，Oxy為活齒架坐標(biāo)系，Oixiyi為活齒坐標(biāo)系(i=1,2,…,Zp)，波發(fā)生器、中心輪、活齒架和活齒分別用下標(biāo)s，c，r，p表示。xj，yj，uj為線位移和周向線位移(j=s,c,r,p1,…,pZ)。該模型假設(shè)：a．各構(gòu)件嚙合處為彈性變形，主體部分是剛性的；b.各構(gòu)件在平面內(nèi)振動；c.只考慮活齒的平移振動。

在圖3(a)中，波發(fā)生器、中心輪和活齒架相對于活齒的位移沿嚙合線方向的投影為

(5)

其中：φ1i=φi+φ3i，φθi=φi-θi；θi為構(gòu)件振動角位移；φi為活齒i-活齒架的連線與X軸的夾角；φ3i為波發(fā)生器-活齒i的連線與活齒i-活齒架連線的夾角。

圖3 傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型Fig.3 Dynamic model of drive system

由波發(fā)生器相對于活齒的位移關(guān)系可得

(6)

由中心輪相對于活齒的位移關(guān)系可得

(7)

由活齒架相對于活齒的位移關(guān)系可得

(8)

由活齒相對于各構(gòu)件的位移關(guān)系可得

(9)

其中：mj和Ij分別為各構(gòu)件的質(zhì)量和等效質(zhì)量，kg；kj，kjz，kjt分別為活齒與各構(gòu)件的嚙合剛度、徑向支撐剛度和切向扭轉(zhuǎn)剛度，N/m；rj為各構(gòu)件理論半徑，m；Ts為波發(fā)生器轉(zhuǎn)矩，N·m。

3 非線性共振響應(yīng)

活齒系統(tǒng)工作時，參與嚙合的齒數(shù)會在Zp/2和(Zp/2+1)間交替變化，故系統(tǒng)的輸出轉(zhuǎn)矩會出現(xiàn)波動變化，如圖4所示，每經(jīng)過π/435，轉(zhuǎn)矩出現(xiàn)一次突變。將一個周期內(nèi)的T隨θ變化用多項式擬合

(10)

其中：τ1，τ2和τ3分別為擬合系數(shù)。

圖4 輸出轉(zhuǎn)矩隨活齒架轉(zhuǎn)角變化Fig.4 Output torque changes with corner of teeth center

為將轉(zhuǎn)矩T在整個時間歷程中用連續(xù)方程表示，將式(10)通過傅里葉展開

(11)

假設(shè)活齒相對于活齒架的轉(zhuǎn)角為δθ，活齒架轉(zhuǎn)矩增量為δTr，則Tr在θ=θ0處的泰勒級數(shù)展開式為

(12)

由嚙合剛度和輸出轉(zhuǎn)矩的關(guān)系可得

(13)

(14)

式(12)是通過傅里葉展開和泰勒級數(shù)展開得到的，將圖4中轉(zhuǎn)矩波形簡化為正弦形式，可得

αTcos(ωet)

(15)

將式(12)與式(15)合并，則活齒架轉(zhuǎn)矩增量為

αTcos(ωet)

(16)

將式(16)代入式(13)和式(14)，然后將式(13)，式(14)代入式(6)～式(9)，整理可得

(17)

(18)

將式(18)正則化，可得系統(tǒng)正則化動態(tài)方程為

(19)

進(jìn)行變量替換，設(shè)CzNi=2ζωi，系統(tǒng)阻尼項、激勵頻率與派生固有頻率之差與ε同數(shù)量級，令

(20)

引入變量ψi=ωeit，將式(19)轉(zhuǎn)化為對ψi的微分，令ε的同次冪系數(shù)相等，可得近似微分方程組為

(21)

CkiPeNcosψi+θ

(22)

解方程式(21)，設(shè)激勵中初始相位角θ恰能使響應(yīng)的相位為ωeit，可得其解為

(23)

將式(23)和u=u0+εu1+ε2u2代入一次近似方程式(22)，可得

(24)

首先，解式(24)中的第1式，為消除久期項，令sin(ψi)和cos(ψi)的系數(shù)為0，且消除θ可得

(25)

(26)

將ζ用ζωe1/ω1代替，并令s1=ωe1/ω1，可得活齒傳動系統(tǒng)在激勵頻率ωe1接近派生系統(tǒng)固有頻率ω1時振幅與頻率的關(guān)系式為

(27)

同理可得，當(dāng)激勵頻率ωe2和ωe3分別接近ω2和ω3時，系統(tǒng)振幅與頻率的關(guān)系式為

(28)

聯(lián)立式(27)和式(28)，整理可得

(29)

解式(24)可得非線性方程一次近似解為

(30)

4 算例分析

4.1 幅頻曲線隨參數(shù)變化

任取活齒傳動系統(tǒng)兩組基本參數(shù)如表1所示，兩組參數(shù)對應(yīng)的活齒數(shù)量為30和15。由式(29)可得，在激勵頻率分別接近派生系統(tǒng)的一階固有頻率時，系統(tǒng)振動頻率與振幅隨阻尼系數(shù)ζ、嚙合活齒個數(shù)f、波發(fā)生器偏移量a、活齒半徑rp和波發(fā)生器半徑rs的變化如圖5和圖6所示，圖中si為無量綱單位。由圖可知：

2) 系統(tǒng)最大振幅值偏離si=1的程度隨s1，s2和s3的順序依次增大，且振幅偏離si=1的距離代表了非線性的顯著程度。

3) 隨著阻尼系數(shù)ζ的增大，當(dāng)si恒定時系統(tǒng)的響應(yīng)振幅逐漸減小，這是由于阻尼較大時對共振具有一定的抑制作用。

4) 隨著嚙合活齒數(shù)f的增大，系統(tǒng)的響應(yīng)振幅較大幅度減小，振幅偏離si=1的程度減小，且偏離量隨著si的增加而增加，故參與嚙合的活齒數(shù)越少時系統(tǒng)的非線性越顯著。這是由于隨著f的改變，嚙合剛度發(fā)生變化，進(jìn)而非線性嚙合力發(fā)生改變。

5) 波發(fā)生器偏移量a、活齒半徑r和波發(fā)生器半徑R對系統(tǒng)振幅和頻率的影響都是在s1時很小，在s3時比較大。區(qū)別在于，在s1和s2時振幅隨a的增加而增加，隨r和R的增加而減小，在s3時振幅隨a的增加而減小，隨r和R的增加而增加。

6) 振幅隨a，r和R的變化規(guī)律不同的原因在于，由剛度計算式知剛度隨a的變化與剛度隨r和R的變化趨勢相反，故振幅隨a與r和R的變化規(guī)律不同。在同一系統(tǒng)參數(shù)影響下，由于不同si時PNi和Bk隨參數(shù)的變化不同，造成了不同si時振幅隨同一參數(shù)的變化規(guī)律不同。

圖5 活齒系統(tǒng)幅頻曲線隨第1組參數(shù)變化Fig.5 Amplitude-frequency curve of movable tooth system changes with first group parameters

圖6 活齒系統(tǒng)幅頻曲線隨第2組參數(shù)變化Fig.6 Amplitude-frequency curve of movable tooth system changes with second group parameters

類別參數(shù)活齒架中心輪波發(fā)生器活齒第1組mj/kg1.31×10-25.64×10-22.59×10-23.30×10-5Ij/kg9.34×10-38.41×10-21.30×10-21.32×10-5rj/mm15.816.614.51第2組mj/kg1.76×10-25.18×10-21.30×10-23.30×10-5Ij/kg1.44×10-27.72×10-29.30×10-31.32×10-5rj/mm11.812.610.61

7) 活齒傳動系統(tǒng)在兩組參數(shù)下的幅頻響應(yīng)變化規(guī)律相同，不同之處在于，活齒數(shù)量為15齒時系統(tǒng)響應(yīng)幅值小于30齒時的幅值。

4.2 系統(tǒng)共振響應(yīng)

由式(30)知，當(dāng)激勵頻率接近系統(tǒng)的某一固有頻率時，活齒傳動系統(tǒng)整體或局部將發(fā)生共振現(xiàn)象。分別求解當(dāng)ωe≈ω1，ωe≈2ω1及ωe≈1/2ω1時的響應(yīng)，圖7為波發(fā)生器的響應(yīng)，可以得出以下規(guī)律。

圖7 激勵頻率接近不同倍頻時的系統(tǒng)響應(yīng)Fig.7 The system response when excitation frequencies near multi-time frequency

1) 當(dāng)ωe≈ω1時，xs向和ys向的響應(yīng)振幅較大，此時波發(fā)生器xs向和ys向發(fā)生共振，且xs向的共振更加劇烈，故在頻率ω1時對應(yīng)的活齒系統(tǒng)的振型為波發(fā)生器平移振動。

2) 當(dāng)ωe≈2ω1時，xs向、ys向和us向的振幅都比較小，故系統(tǒng)在2倍頻時共振現(xiàn)象不明顯。

3) 當(dāng)ωe≈1/2ω1時，xs向、ys向和us向的振幅都很大，此時波發(fā)生器既存在平移振動又存在扭轉(zhuǎn)振動，且驗(yàn)證了亞諧波共振的存在。由于ωe≈1/2ω1時的最大振幅小于ωe≈ω1時的振幅，故亞諧波共振的劇烈程度小于1倍頻共振時的劇烈程度。

5 結(jié) 論

1) 阻尼系數(shù)ζ和嚙合活齒個數(shù)f對幅頻曲線的影響最大，且f越少時系統(tǒng)的非線性越顯著。

2) 系統(tǒng)在ωe≈ω1和ωe≈1/2ω1時共振顯著，且亞諧波共振程度小于1倍頻共振程度。

3) 在進(jìn)行活齒傳動系統(tǒng)改進(jìn)和優(yōu)化時，為了減小系統(tǒng)振動及提高系統(tǒng)平穩(wěn)性，應(yīng)盡量減小活齒數(shù)量和波發(fā)生器偏心距，同時活齒傳動系統(tǒng)的工作頻率應(yīng)當(dāng)遠(yuǎn)離1/2倍頻和1倍頻。