柏 林， 唐 滔， 劉小峰， 韋代平

(重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 重慶，400044)

引 言

當(dāng)結(jié)構(gòu)中存在疲勞裂紋或微裂紋等早期損傷時(shí)，譜分析會(huì)發(fā)生高階諧波滋生，Lamb波的非線性特征變化與板材內(nèi)部缺陷之間存在著特定的關(guān)系，可用于無(wú)損定量評(píng)價(jià)結(jié)構(gòu)材料的早期損傷程度，研究不需要參考信號(hào)的非線性Lamb波的結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)新方法，具有重要的工程應(yīng)用價(jià)值。國(guó)內(nèi)學(xué)者在非線性Lamb波的傳播激勵(lì)以及應(yīng)用技術(shù)方面已經(jīng)取得一定的研究成果。例如：材料的力學(xué)性能變化對(duì)非線性二次諧波敏感性研究[1-2]；基于二次諧波的積累增長(zhǎng)效應(yīng)的材料非線性性質(zhì)檢測(cè)等[3-4]。目前，針對(duì)非線性Lamb波信號(hào)的特征增強(qiáng)及其提取方法的研究很少，基本上都停留在頻域二次諧波幅值大小的衡量上。必須指出的是，基頻激發(fā)的二次非線性Lamb波信號(hào)由于模式和傳播速度的原因，極易衰減掉，且容易被噪聲淹沒，導(dǎo)致檢測(cè)可靠性降低，給裂紋的定量評(píng)估帶來(lái)了較大誤差。關(guān)于裂紋損傷特征與非線性Lamb波信號(hào)之間的定量關(guān)系，非線性Lamb波的分析方法和損傷評(píng)價(jià)特征提取方法等還有許多問題需要深入研究。鑒于線性Lamb波對(duì)微小裂紋檢測(cè)的局限性及非線性Lamb波對(duì)外界干擾的敏感性，研究微裂紋超聲Lamb波的非線性特征增強(qiáng)方法對(duì)板構(gòu)件的早期裂紋損傷識(shí)別具有重要意義。

基于混沌振子系統(tǒng)的弱信號(hào)檢測(cè)技術(shù)利用混沌振子的非平衡相變對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的敏感性以及對(duì)噪聲信號(hào)的免疫能力，實(shí)現(xiàn)強(qiáng)噪聲背景下微弱信號(hào)的檢測(cè)。混沌檢測(cè)系統(tǒng)在Lamb波的缺陷檢測(cè)已經(jīng)進(jìn)行了一段時(shí)間的探索性研究。武靜等[5]采用Lyapunov指數(shù)對(duì)管道缺陷損傷進(jìn)行了評(píng)價(jià)與定位。文獻(xiàn)[6]研究了斜裂紋管道超聲導(dǎo)波的混沌振子檢測(cè)方法。但目前的研究主要集中在線性Lamb波分析中，還沒有涉及到微裂紋產(chǎn)生的非線性Lamb波檢測(cè)。應(yīng)用Duffing混沌振子對(duì)微弱信號(hào)檢測(cè)理論來(lái)分析板材結(jié)構(gòu)微裂紋在Lamb激勵(lì)下的非線性特性進(jìn)行微裂紋的檢測(cè)，是一個(gè)全新的研究領(lǐng)域。筆者在分析非線性Lamb波信號(hào)的產(chǎn)生激勵(lì)及傳播特性的基礎(chǔ)上，采用Duffing振子方程對(duì)微弱周期信號(hào)進(jìn)行了增強(qiáng)，并采用Lyapunov指數(shù)對(duì)的裂紋產(chǎn)生Lamb波的非線性特征進(jìn)行了量化分析。

1 非線性Lamb波的傳播原理

當(dāng)Lamb波經(jīng)過(guò)發(fā)生換能器輸入材料中，材料在超聲波作用下內(nèi)部空間受到擾動(dòng)，在這種較大擾動(dòng)下，內(nèi)部的微小裂紋出現(xiàn)周期性的閉合張開。當(dāng)超聲波信號(hào)與微裂紋相互作用時(shí)，將改變微裂紋處的阻尼，使之與周邊均勻材料不同，局部質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度也將發(fā)生變化，所以與連續(xù)體材料相比會(huì)產(chǎn)生顯著的高頻諧波信號(hào)[7-8]。對(duì)大部分材料而言，應(yīng)力σ與應(yīng)變?chǔ)?成非線性的關(guān)系。在小區(qū)間內(nèi)，可由胡克定律描述為

σ=Eε(1+βε+…)

(1)

其中：E為彈性模量；β為二階彈性系數(shù)，也稱為非線性系數(shù)。

β可以作為描述介質(zhì)非線性的一個(gè)參數(shù)。對(duì)出現(xiàn)接觸類損傷的金屬結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，可認(rèn)為結(jié)構(gòu)的非線性主要是由接觸類損傷導(dǎo)致的，因此可以通過(guò)測(cè)量參數(shù)β的變化檢測(cè)、評(píng)價(jià)結(jié)構(gòu)的損傷

(2)

根據(jù)文獻(xiàn)[9]，微裂紋導(dǎo)致的超聲非線性系數(shù)的表達(dá)式為

(3)

在實(shí)際非線性Lamb波測(cè)試過(guò)程中，二次諧波的幅值與基波的幅值相對(duì)非常小，常常被淹沒在噪聲信號(hào)中。因此，對(duì)微弱諧波信號(hào)進(jìn)行有效增強(qiáng)，采用微弱諧波信號(hào)檢測(cè)技術(shù)對(duì)其進(jìn)行定性定量分析。

2 基于 Duffing-Holmes的微弱波檢測(cè)

杜芬(Duffing)振子方程被用于微弱信號(hào)檢測(cè)的基本原理是：由于其非線性特征，當(dāng)輸入信號(hào)中有周期信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)將發(fā)生狀態(tài)的遷移。由于裂紋引起的非線性Lamb波中的二次諧波非常微弱且易收到外界環(huán)境干擾，為提高振子對(duì)微弱諧波檢測(cè)的靈敏度與工作穩(wěn)定性，去掉原始Duffing 系統(tǒng)中恢復(fù)力項(xiàng)的線性部分x，引入非線性部分x5，轉(zhuǎn)化為Duffing-Holmes振子方程[10]

(4)

其中：k為阻尼比；(-x3(t)+x5(t))為系統(tǒng)的非線性恢復(fù)力項(xiàng)；Fcos(ωt)為內(nèi)策動(dòng)力項(xiàng)；F為策動(dòng)力幅值；ω為策動(dòng)力角頻率。

當(dāng)確定式(1)中的阻尼比k, 逐漸增大策動(dòng)力幅值F，使Duffing振子處于由混沌狀態(tài)向大尺度周期狀態(tài)轉(zhuǎn)變的臨界狀態(tài)。在這種狀態(tài)下，稍增大策動(dòng)力幅值F，Duffing振子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)將轉(zhuǎn)變?yōu)榇蟪叨戎芷跔顟B(tài)。

為了實(shí)現(xiàn)Duffing系統(tǒng)對(duì)任意頻率諧波檢測(cè)的普適性，需對(duì)系統(tǒng)的時(shí)間尺度進(jìn)行縮放。令t=ω0τ，ω0為待測(cè)頻率, 則式(9)進(jìn)行尺度變化為

(5)

采用式(5)可以在不改變 Duffing振子系統(tǒng)的參數(shù)條件下，通過(guò)變化系統(tǒng)計(jì)算步長(zhǎng),實(shí)現(xiàn)對(duì)非線性Lamb波高次諧波的檢測(cè)，從而大大降低系統(tǒng)復(fù)雜度，進(jìn)一步增強(qiáng)了系統(tǒng)的微弱諧波檢測(cè)性能。

混沌狀態(tài)可利用相軌跡圖進(jìn)行判斷，但這不便于工程的應(yīng)用?；煦缦到y(tǒng)的另一個(gè)基本特征是對(duì)初始條件的敏感性。兩個(gè)相近的初始條件會(huì)產(chǎn)生兩條混沌軌道，這兩條軌道會(huì)隨著時(shí)間的變化逐漸分離，Lyapunov指數(shù)就是用來(lái)描述相鄰軌道分離程度的。Lyapunov指數(shù)特別適用于檢測(cè)初始條件微小變化及敏感性非常大情況下的特性，可用來(lái)定量描述混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在一維動(dòng)力系統(tǒng)xn+1=F(xn)中，原動(dòng)力系統(tǒng)在x0處的Lyapunov指數(shù)表示為

(6)

Lyapunov指數(shù)對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)的平均結(jié)果用來(lái)表示整個(gè)系統(tǒng)的特征。當(dāng)λ>0時(shí)，可判定系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；當(dāng)λ<0時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)行軌跡是局部穩(wěn)定的，且對(duì)初始條件不敏感。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為大尺度周期狀態(tài)。計(jì)算Lyapunov指數(shù)的方法包括定義法、正交法、wolf法[11]和小數(shù)據(jù)量法等。筆者采用Wolf法計(jì)算Duffing 系統(tǒng)的求解信號(hào)。

3 微裂紋檢測(cè)與量化方法

Duffing 振子系統(tǒng)具有對(duì)參數(shù)敏感及對(duì)噪聲免疫的特性，噪聲在有限時(shí)間內(nèi)使系統(tǒng)產(chǎn)生復(fù)雜運(yùn)動(dòng)，但最終趨于規(guī)則，而且在統(tǒng)計(jì)意義下，零均值的噪聲不會(huì)改變系統(tǒng)原有的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，只是在原有軌跡附近做振蕩。因此可根據(jù)系統(tǒng)是否發(fā)生相變來(lái)檢測(cè)微小非線性Lamb信號(hào)的存在與否以及確定其參數(shù)，具體的實(shí)施步驟如下：

1) 根據(jù)Lamb波的采樣頻率及激發(fā)頻率，設(shè)置Duffing-Holmes振子系統(tǒng)的變換尺度及分析步長(zhǎng)h 與內(nèi)置頻率ω；

2) 初步確定系統(tǒng)的混沌臨界閾值fd，然后在沒有待測(cè)信號(hào)和噪聲輸入情況下調(diào)整好fd和k的值，使得系統(tǒng)剛好處在倍混沌臨界狀態(tài)；

3) 由于裂紋波包屬于瞬態(tài)信號(hào)，而Duffing振子一般用于穩(wěn)定諧波的檢測(cè)，因此需要對(duì)獲得采集的Lamb波包進(jìn)行周期延拓處理；

4) 為降低一次諧波對(duì)二次諧波檢測(cè)的影響，采用高通濾波方法將一次諧波去掉，將濾波后的信號(hào)輸入到Duffing-Holmes振子系統(tǒng)，利用龍格庫(kù)塔法求解模型；

5) 對(duì)Duffing-Holmes振子系統(tǒng)輸出的時(shí)間序列采用C-C法確定時(shí)延參數(shù)τ與嵌入維數(shù)m, 進(jìn)行相空間重構(gòu)；

6) 采用Wolf方法在重構(gòu)相空間中計(jì)算出最大Lyapunov指數(shù)，并進(jìn)行歸一化處理；

7) 對(duì)不同裂紋模型數(shù)據(jù)重復(fù)步驟3～4，得出不同裂紋模型數(shù)據(jù)的Lyapunov指數(shù)，進(jìn)行Lyapunov指數(shù)與裂紋長(zhǎng)度的線性分析。

4 有限元模型

當(dāng)前主要通過(guò)數(shù)值計(jì)算模擬Lamb波在含微裂紋的鋁板中傳播，得出影響非線性系數(shù)β的因素，并且定量地得出一定的線性相關(guān)性。為了進(jìn)行Duffing振子對(duì)裂紋大小的定量分析，采用有限元軟件ABAQUS建立了1個(gè)無(wú)裂紋鋁板及6個(gè)尺寸分別為0.2, 0.4, 0.6，0.8，1及1.2 mm的二維微小橢圓型裂紋的有限元模型。用ABAQUS進(jìn)行有限元分析，采用二維shell模型，鋁板尺寸為1 000 mm×2 mm,鋁板材料密度為2 700 kg/m3,彈性模量為70 GPa,泊松比為0.35。在邊界條件中給左端添加位移激勵(lì)來(lái)激勵(lì)鋁板產(chǎn)生S0模態(tài)lamb波，激勵(lì)信號(hào)是中心頻率為140 kHz的10周期漢寧窗調(diào)制正弦信號(hào)，最大幅值為1×10-8mm。激勵(lì)點(diǎn)與裂紋距離為500 mm，裂紋與接收點(diǎn)距離為100 mm，右端固定。采樣時(shí)間間隔設(shè)為2×10-8s，采樣頻率為5×107Hz。

不同的混沌振子具有不同的混沌檢測(cè)性能，為了能更有效地實(shí)現(xiàn)微弱非線性Lamb諧波的檢測(cè)，必須要選擇一個(gè)對(duì)二次諧波信號(hào)敏感的混沌系統(tǒng)，設(shè)置式(5)中的系統(tǒng)參數(shù)k=0.5,初始狀態(tài)x(0)=dx(0)=0, 并調(diào)節(jié)參數(shù)F至0.725時(shí)使系統(tǒng)處于混沌臨界狀態(tài)。取0.6 mm長(zhǎng)裂紋模型的Lamb波信號(hào)進(jìn)行分析，接收點(diǎn)接收到的波形及其頻譜如圖1所示。

從圖1可知，接收Lamb波包中的二次諧波非常微弱，與1次諧波的幅值相差3個(gè)數(shù)量級(jí)，在實(shí)測(cè)信號(hào)中裂紋二次諧波易受到噪聲的影響，不管是在時(shí)域還是在頻域都無(wú)法檢測(cè)出來(lái)。為模擬真實(shí)的檢測(cè)Lamb 波，在圖1的接收信號(hào)中加入標(biāo)準(zhǔn)差為1.124 2×10-9的白噪聲，如圖2所示。可以看出，二次諧波已經(jīng)完全淹沒在噪聲中，放大頻譜中的二次諧波幅值無(wú)法直接分辨出來(lái)?？梢?，傳統(tǒng)的β指數(shù)量化分析裂紋方法在干擾情況下已經(jīng)完全失效。

圖1 0.6 mm裂紋時(shí)接收到的時(shí)域波形及頻譜Fig.1 The time waveform and spectrum of 0.6 mm crack

圖2 加噪裂紋信號(hào)及其頻譜Fig.2 The time waveform and spectrum of crack signal with plus noise

采用本研究方法首先截取Lamb波波包進(jìn)行整周期延拓，并進(jìn)行低阻濾波去掉1次諧波對(duì)混沌振子的影響。將濾波后的信號(hào)輸入調(diào)整好的Duffing系統(tǒng)中，采用4～5階變步長(zhǎng)Runge-Kutta法求解，得到系統(tǒng)的相軌圖以及龐加萊界面圖如圖3所示。從圖3的相軌圖可看出，在加入濾波裂紋信號(hào)后，系統(tǒng)已經(jīng)從混沌狀態(tài)進(jìn)入了大尺度周期狀態(tài)，在相應(yīng)的Poincare圖上為變現(xiàn)一個(gè)穩(wěn)定的離散點(diǎn)，證實(shí)了加入信號(hào)二次諧波成分的存在，表征了模型中裂紋損傷。其中，相軌跡x與dx/dt為無(wú)量綱參數(shù)。

圖3 裂紋信號(hào)的相軌圖和龐加萊圖Fig.3 The phase trajectory and Poincare map of crack signal

圖4 無(wú)損信號(hào)的相軌跡圖與龐加萊圖Fig.4 The phase trajectory and poincare map of no crack signal

采用同樣的方法，在無(wú)裂紋健康模型產(chǎn)生的Lamb波信號(hào)中加同樣大小的噪聲，同樣采用周期延拓與濾波處理后，輸入到Duffing系統(tǒng)中得到的相軌跡圖以及龐加萊界面圖如圖4所示?？梢钥闯?，Duffing系統(tǒng)的相圖為混沌狀態(tài)，且Poincare圖中為一遍分散點(diǎn)，此時(shí)系統(tǒng)無(wú)法穩(wěn)定在某一個(gè)周期成分。因此可判定，輸入信號(hào)中并不存在二次諧波頻率280kHz，驗(yàn)證了模型中無(wú)裂紋缺陷。

為了對(duì)裂紋做進(jìn)一步的量化分析，通過(guò)C-C法，對(duì)時(shí)間Duffing系統(tǒng)獲得的時(shí)間序列x(t)進(jìn)行最大Lyapunov指數(shù)計(jì)算。首先, 需要對(duì)時(shí)間序列x(t)做相空間重構(gòu)，采用C-C法計(jì)算出的延遲時(shí)間和最小嵌入維數(shù)分別為τ=7和m=5，通過(guò)wolf法求取x(t)的最大Lyapunov指數(shù)為-2.439 3×10-4。采用同樣的方法分別對(duì)其他5個(gè)裂紋模型非線性Lamb波及無(wú)損信號(hào)獲得最大Lyapunov指數(shù)，結(jié)果如表1所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，對(duì)于裂紋模型的最大Lyapunov指數(shù)均小于0，這說(shuō)明待檢信號(hào)中只要包含和Duffing-Holmes系統(tǒng)外策力頻率相同的二次諧波280kHz，都會(huì)導(dǎo)致Lyapunov指數(shù)由大于0轉(zhuǎn)變?yōu)樾∮?。以裂紋信號(hào)的Lyapunov指數(shù)的相反數(shù)與無(wú)損信號(hào)的Lyapunov指數(shù)之比作為裂紋損傷指標(biāo)γ，即

(7)

其中：LLE1為裂紋信號(hào)的Lyapunov指數(shù)；LLE0為無(wú)損信號(hào)的Lyapunov指數(shù)。

損傷指標(biāo)γ與裂紋大小之間的線性關(guān)系如圖5(a)所示。無(wú)噪聲干擾情況下非線性指數(shù)β′與裂紋大小的線性關(guān)系如圖5(b)所示。比較可知，在強(qiáng)噪聲干擾情況下得到的Lyapunov指數(shù)比β′指數(shù)能更有效地對(duì)微裂紋大小進(jìn)行定量分析，為結(jié)構(gòu)中微裂紋的辨識(shí)與衡量提供了新的手段與方法。

為了比較γ與β系數(shù)與裂紋長(zhǎng)度及之間線性擬合關(guān)系，采用確定系數(shù)(R-square)來(lái)描述系數(shù)與裂紋大小之間的線性擬合度。

(8)

其中：SSR為擬合指數(shù)與實(shí)際指數(shù)均值之差的平方和；SST為實(shí)際指數(shù)計(jì)算值和其均值之差的平方和。

SSR的計(jì)算公式為

其中：yi為不同尺寸裂紋所對(duì)應(yīng)的缺陷指數(shù)γ或β。

SST的計(jì)算公式為

表1 Lyapunov指數(shù)與β′指數(shù)的對(duì)比

圖5 非線性參數(shù)β′，γ 與裂紋長(zhǎng)度的線性關(guān)系Fig.5 Linear relationship between β′ and γ with crack length

根據(jù)式(8)計(jì)算出的γ與β′的R-square指數(shù)分別為0.927 8與0.925 9?？梢?，單根裂紋損傷情況下，損傷指數(shù)γ比β指數(shù)更能表達(dá)Lamb波非線性特征與裂紋大小的線性關(guān)系。

5 結(jié)束語(yǔ)

利用Duffing-Holmes振子和Lyapunov指數(shù)對(duì)強(qiáng)噪聲背景下的非線性Lamb諧波進(jìn)行檢測(cè)并對(duì)其諧波對(duì)應(yīng)的微小裂紋進(jìn)行量化分析。從仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，該方法可以有效檢測(cè)強(qiáng)高斯白噪聲下的非線性Lamb波的二次諧波并對(duì)其進(jìn)行量化描述。由于Duffing-Holmes振子對(duì)噪聲具有較強(qiáng)的免疫性，因此利用該方法進(jìn)行微裂紋非線性Lamb波的檢測(cè)時(shí)不需要對(duì)噪聲進(jìn)行抑制，從而避免了再抑制噪聲過(guò)程中對(duì)微弱非線性諧波信號(hào)的抑制，體現(xiàn)了該方法檢測(cè)微裂紋的優(yōu)越性。