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        “等效重力”思想的應(yīng)用
        ——從一道高考題說(shuō)起

        2019-02-26 00:50:50陳篤杰
        數(shù)理化解題研究 2019年4期
        關(guān)鍵詞:最高點(diǎn)重力場(chǎng)小球

        陳篤杰

        (福建省漳州市第三中學(xué) 363000)

        一、2018年全國(guó)Ⅰ卷第18題的探討

        原題:如圖1,abc是豎直面內(nèi)的光滑固定軌道,ab水平,長(zhǎng)度為2R;bc是半徑為R的四分之一的圓弧,與ab相切于b點(diǎn).一質(zhì)量為m的小球始終受到與重力大小相等的水平外力的作用,自a點(diǎn)處從靜止開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng),重力加速度大小為g.小球從a點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到其軌跡最高點(diǎn),機(jī)械能的增量為( ).

        A.2mgRB.4mgRC.5mgRD.6mgR

        分析本題用很基本、簡(jiǎn)潔的物理模型來(lái)考查物理規(guī)律和思維方法,這也是全國(guó)卷命題的特點(diǎn)之一.學(xué)生對(duì)熟悉的物理情景容易上手,解題的關(guān)鍵是小球始終受到一個(gè)水平恒力,對(duì)文字表述“運(yùn)動(dòng)到其軌跡最高點(diǎn)”要細(xì)心審題,避免跳進(jìn)“陷阱”.此題將運(yùn)動(dòng)的合成與分解、功能關(guān)系等核心考點(diǎn)有機(jī)融合,突出考查學(xué)生分析綜合能力.

        解法一設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)的速度大小為vc,如圖2,小球從a到c的過(guò)程中

        小球離開(kāi)c點(diǎn)到軌跡最高點(diǎn)的過(guò)程中,由運(yùn)動(dòng)的分解得

        豎直方向上:小球只在重力的作用下,速度從vc勻減速到0

        水平方向上:小球做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng),加速度a=g

        小球從a點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到其軌跡最高點(diǎn)的過(guò)程中,總水平位移大小為5R

        由功能關(guān)系得:小球機(jī)械能的增加量ΔE=F·5R=5mgR

        該解法中規(guī)中矩,要求學(xué)生具有扎實(shí)的基本功和一定的數(shù)學(xué)計(jì)算能力.然而作為一道選擇題我們可以尋求較簡(jiǎn)捷的方法.

        解法二我們可以設(shè)想,整個(gè)軌道模型處在一個(gè)與水平方向成45°斜向右下方的“等效重力場(chǎng)”中,四分之一圓弧的中點(diǎn)可稱為“等效最低點(diǎn)”.如果在c點(diǎn)上方再補(bǔ)上一段豎直光滑軌道,如圖4,從“等效重力場(chǎng)”的角度觀察,呈現(xiàn)了我們熟悉的情景——“伽利略理想實(shí)驗(yàn)”的兩個(gè)對(duì)接的斜面.根據(jù)對(duì)稱性,小球從a點(diǎn)靜止出發(fā)“沿斜面滾下”經(jīng)圓弧后又會(huì)“沿斜面滾上”相同的“高度”,即恰好到達(dá)d點(diǎn),cd=2R.

        再撤去豎直光滑軌道,小球從c點(diǎn)拋出后,由于豎直方向上只受重力,按分運(yùn)動(dòng)的“獨(dú)立性”可知,小球離開(kāi)c點(diǎn)后到其軌跡最高點(diǎn)的豎直高度也為2R.又因水平和豎直方向上的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)具有“對(duì)稱性”,容易得出小球達(dá)到軌跡最高點(diǎn)時(shí)的水平位移也為2R,則從a點(diǎn)開(kāi)始的水平總位移為5R,由功能關(guān)系得小球機(jī)械能的增加量ΔE=F·5R=5mgR.

        解法二強(qiáng)調(diào)的是“物理思想”的應(yīng)用,等效重力場(chǎng)確定后只要簡(jiǎn)單分析和推理,基本上無(wú)需數(shù)學(xué)計(jì)算就能快速得出結(jié)果,提高了解題效率.

        下面以這道高考題為母題,通過(guò)一些簡(jiǎn)單的變形來(lái)探討“等效重力”的應(yīng)用.

        二、一題多變、拓展延伸

        拓展一在原題的基礎(chǔ)上改為求:小球從c點(diǎn)拋出后經(jīng)多少時(shí)間動(dòng)能最小?最小動(dòng)能為多少?

        豎直方向上:做初速度為vc,加速度為g的勻減速運(yùn)動(dòng)

        vy=vc-gt

        水平方向上:做初速度為零,加速度為g的勻加速運(yùn)動(dòng)vx=gt

        小球上拋后的速度

        該解法運(yùn)用二次函數(shù)求速度極值較繁瑣,要求學(xué)生具備較強(qiáng)的數(shù)學(xué)能力.

        設(shè)小球斜拋到“等效最高點(diǎn)”d點(diǎn)的時(shí)間為t,有最小速度vmin

        可見(jiàn),解法二應(yīng)用“等效重力”解題,思路清晰、過(guò)程簡(jiǎn)潔.

        “等效重力場(chǎng)”(g′)與豎直方向夾角為α

        設(shè)ab距離為S時(shí),小球恰能做完整的圓周運(yùn)動(dòng),小球在經(jīng)過(guò)”等效最高點(diǎn)”c點(diǎn)時(shí),對(duì)軌道壓力恰好為零,即小球在c點(diǎn)只受”等效重力”mg′,cO方向與豎直方向夾角也為α.

        拓展三如圖9,光滑的水平軌道和圓弧軌道在b點(diǎn)相切,整個(gè)裝置處于一個(gè)水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中.帶電小球在c點(diǎn)平衡,oc與豎直方向夾角α=30°.(1)要使小球運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)時(shí)速度為零,則小球由靜止釋放的位置與O連線與豎直方向夾角β為多少?

        (2)若α≤5°,則小球從靜止釋放到達(dá)b點(diǎn)的時(shí)間為多少?

        解(1)由于帶電小球在c點(diǎn)平衡,可知c點(diǎn)為“等效最低點(diǎn)”,“等效重力”mg′方向沿Oc,如圖10,根據(jù)對(duì)稱性,小球應(yīng)從c點(diǎn)右側(cè)的b′點(diǎn)靜止釋放,b′點(diǎn)與b點(diǎn)關(guān)于Oc對(duì)稱.因此,Ob′與豎直方向的夾角β=2α=60°,小球從b′點(diǎn)靜止出發(fā)后將在bb′之間往復(fù)運(yùn)動(dòng).

        (2)若α≤5°,則小球?qū)⒃赽b′之間做簡(jiǎn)諧振動(dòng)

        從靜止釋放后到達(dá)b點(diǎn)的時(shí)間

        “等效重力”是等效思想在解題過(guò)程中的一種具體應(yīng)用,是培養(yǎng)學(xué)生從不同角度思考問(wèn)題能力的重要途徑.我們可以利用類比法把一些復(fù)雜的、生疏的問(wèn)題等效為我們熟知的、經(jīng)典的重力場(chǎng)問(wèn)題,使解題思路更加豁然開(kāi)朗,減少繁瑣的數(shù)學(xué)計(jì)算,達(dá)到“柳暗花明”的效果.

        在重力場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)組成的復(fù)合場(chǎng)中,可應(yīng)用“等效重力”處理的常見(jiàn)問(wèn)題有:豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題、單擺的對(duì)稱性問(wèn)題、求解拋體運(yùn)動(dòng)速度(動(dòng)能、動(dòng)量)極值的問(wèn)題等.

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