吳 攀

(福建省漳州市第三中學(xué) 363000)

數(shù)學(xué)科考試宗旨主要測(cè)試學(xué)生數(shù)學(xué)的“三基、五能、兩意識(shí)”.其中三基包括：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法.五能包括：空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力.兩意識(shí)包括：數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí).而解析幾何內(nèi)容突出考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想、和將幾何問(wèn)題代數(shù)化的本質(zhì).下面我們通過(guò)對(duì)解析幾何專題作簡(jiǎn)要研究分析，提出高考備考建議.

一、解析幾何常考問(wèn)題類(lèi)型梳理

1.橢圓、雙曲線或拋物線定義應(yīng)用及特征量問(wèn)題；2.求曲線或軌跡方程問(wèn)題；3.最值問(wèn)題；4.定點(diǎn)或定值問(wèn)題；5.直線與圓錐曲線關(guān)系問(wèn)題：弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、面積、對(duì)稱、平行、垂直、夾角等；6.探索性問(wèn)題：含參數(shù)問(wèn)題、最值問(wèn)題、存在性問(wèn)題等.

二、試題特點(diǎn)

1.題型：題型結(jié)構(gòu)比較穩(wěn)定，選擇題或填空題共2道、1道解答題，共3道題，分值為22分，占全卷約15%；橢圓、雙曲線、拋物線三種曲線都有涉及.

2.難度：從近三年試題分析發(fā)現(xiàn)，解析幾何試題的難度明顯降低，18年解析幾何大題從20題首次提前到19題，這是近幾年首次.

3.試題基本不給坐標(biāo)系和圖形，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想考查的要求較高，要求考生具備較強(qiáng)的幾何與代數(shù)之間互化的能力.

4.在近三年的高考中，理科選擇或填空題均考查到雙曲線的相關(guān)知識(shí)，解答題都是以橢圓為背景；文科大題都是以拋物線為背景，小題都有橢圓，另一個(gè)小題常以圓為背景；對(duì)兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的考查均體現(xiàn)較強(qiáng)的穩(wěn)定性.

5.解答題中關(guān)注弦長(zhǎng)、面積、角度、垂直等幾何量的“代數(shù)”運(yùn)算，試題常涉及算法的合理選擇.

6.全國(guó)卷文理科解答題背景資料有時(shí)是相近的，甚至是同題(如2018年).

7.試題常滲透平幾知識(shí).

三、存在問(wèn)題

1.缺乏科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖鲌D習(xí)慣，充分用圖能力弱

評(píng)析如圖所示，如果沒(méi)有科學(xué)規(guī)范的作圖，又沒(méi)有結(jié)合圖形的對(duì)稱性，學(xué)生將較難發(fā)現(xiàn)∠F1PF2=∠MF2N=60°，導(dǎo)致解題無(wú)法進(jìn)行.

建議：1.教師在講課時(shí)注意使用尺規(guī)規(guī)范作圖，起到良好的示范作用.2.要求學(xué)生作圖練習(xí)(包括立幾中的錐體柱體).學(xué)生練習(xí)不給圖形，要求學(xué)生自己作圖.

2.缺乏對(duì)圓錐曲線定義的深刻理解，應(yīng)用定義意識(shí)有待加強(qiáng)

例2 (2016全國(guó)Ⅰ卷理20)設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過(guò)點(diǎn)B(1，0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E．(1)證明|EA|+|EB|為定值，并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程．

評(píng)析學(xué)生未能從定義出發(fā)，研究題目中動(dòng)點(diǎn)滿足的不變幾何關(guān)系，實(shí)現(xiàn)用簡(jiǎn)便方法將幾何問(wèn)題代數(shù)化.

建議：1.理清求軌跡問(wèn)題的方法；2.通過(guò)方法的優(yōu)劣比較，引導(dǎo)學(xué)生合理選擇方法，優(yōu)化解題方法；3.適當(dāng)強(qiáng)調(diào)幾何性質(zhì)，加強(qiáng)課堂教學(xué)的嚴(yán)密性和條理性．

3.缺乏對(duì)幾何問(wèn)題代數(shù)化策略的深入研究

評(píng)析學(xué)生缺乏對(duì)幾何問(wèn)題代數(shù)化策略的深入研究，導(dǎo)致無(wú)從下手.其實(shí)，法一：可設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，由于直線是過(guò)x軸上的定點(diǎn)，把直線投影到y(tǒng)軸后，可得線段AF與線段FB的投影也存在y1=-3y2這一關(guān)系，從而將幾何關(guān)系坐標(biāo)化，達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.法二：也可通過(guò)橢圓的第二定義，將線段AF與線段FB的長(zhǎng)度分別轉(zhuǎn)化為A、B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，再通過(guò)幾何關(guān)系求解.

建議：訓(xùn)練學(xué)生規(guī)范作圖，加強(qiáng)幾何問(wèn)題代數(shù)化研究，結(jié)合曲線的幾何特征，盡量以簡(jiǎn)潔的代數(shù)形式呈現(xiàn)，從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的簡(jiǎn)化．

4.計(jì)算能力弱，即算法的合理選擇意識(shí)弱，簡(jiǎn)化運(yùn)算的意識(shí)待加強(qiáng)

例4 (2015全國(guó)Ⅱ卷理20)已知橢圓C:9x2+y2=m2(m>0)，直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M．

(1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；

5.其他問(wèn)題

從學(xué)生方面看，學(xué)生計(jì)算能力弱，即算法的合理選擇意識(shí)弱；學(xué)生存在畏難怕繁情緒，缺少克服困難的信心和耐力.從教師方面看，課時(shí)緊張，教師不舍得花課時(shí)講透題目；缺少歸納和學(xué)生弱點(diǎn)的針對(duì)性訓(xùn)練；缺少系統(tǒng)性總結(jié)反思和給學(xué)生積極的心理暗示.

只有找出問(wèn)題才能更好地解決問(wèn)題．我們?cè)谄綍r(shí)教學(xué)過(guò)程中，要善于引導(dǎo)學(xué)生充分利用圖形，挖掘圖形特征，利用圖形轉(zhuǎn)化幾何關(guān)系．平時(shí)教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注平面幾何知識(shí)，特別是三角形的中位線、相似等條件的應(yīng)用，常常能減少運(yùn)算量．同時(shí)，在計(jì)算過(guò)程中，注意培養(yǎng)學(xué)生的整體代換思想，通過(guò)設(shè)而不求等方法簡(jiǎn)化運(yùn)算．總之，解析幾何專題學(xué)習(xí)既要注重基礎(chǔ)和通性通法的掌握，又要注重培養(yǎng)學(xué)生理性思維和鍥而不舍的學(xué)習(xí)品質(zhì)，在教學(xué)中我們需要詳略得當(dāng)，扎實(shí)引導(dǎo)，層層突破.