馬江英 施建昌
(1.浙江省紹興市柯橋區(qū)錢清中學 312025;2.浙江省紹興市柯橋區(qū)教師發(fā)展中心 312030)
在近幾年的高考中,計數(shù)原理是高考考查的重要知識點,是數(shù)學中的重要研究對象之一,其中的分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理是解決計數(shù)問題的最基本、最重要的方法,也稱為基本計數(shù)原理,它們?yōu)榻鉀Q很多實際問題提供了思想和工具.與分配有關的計數(shù)原理問題一直是高考的熱點,從考查的題型上看主要涉及平均分組和不平均分組二類典型問題,下面從二類典型問題和涉二類問題的綜合問題三個方面進行例說.
例1 為迎接2020年東京奧運會,日本某校舉行奧運知識競賽,經(jīng)初選后,有12名同學獲得參賽資格.這12名選手要分成4個小組,每組3人,那么不同的分組方法有____種.
評注此題是一個平均分組問題,主要是要注意根據(jù)平均分組原則進行解題.平均分組問題的方法是解決有關分組問題的根本方法,在解題時要注意正確使用.
例2 將語文、數(shù)學、外語、物理、化學、生物這六本課外輔導讀物贈送給某希望工程學校的四名學生閱讀,每人至少一本,至多2本,則恰好有一人同時獲得物理、化學兩本書的概率是( ).
評注分組問題中對于不平均分組問題的組合數(shù)一般不必除以某一個數(shù)的階乘數(shù),但對于含有平均分組成分的則需要按不平均分組的原則進行計算.
分組綜合問題就是指在分組中既含有平均分組的情況,也含有不平均分組的成分,在解題時要注意綜合考慮,并特別掌握好各種分組情況的解法和注意事項.
例3 將7個人(含甲、乙)分成三個組,一組3人,另兩組各2人,不同的分組數(shù)為a,甲、乙分到同一組的概率為p,則a,p的值分別為( ).
甲、乙分在同一組的方法種數(shù)有以下兩種情況,
評注這是一個分組綜合問題,第一問涉及到平均分組與不平均分組兩種情況,對于每組2人的兩組是平均分組,而3人組就是不平均分組,這類問題的求解方法要特別注意.第二問主要是對于甲、乙分到同一組的情況有兩種,即在3人組或在2人組,要分類討論.像這樣的分組問題,特別是不完全平均分組問題,對于平均分組的問題在計算組合數(shù)時要除以相同個數(shù)的組數(shù)的階乘數(shù),而不相同的個數(shù)不必計算在階乘數(shù)內.
分組問題中的平均分組問題與不平均分組問題處理方法是不一樣的,要特別注意“不平均分組問題”的情況及“含有平均和不平均分組的交匯問題”的情況的區(qū)別與聯(lián)系,掌握原則是:涉及平均分組時,在分組時對于分好組的組合數(shù)還應除以相同個數(shù)的組數(shù)的階乘數(shù). 這類問題往往需要注意排列、組合計算公式的應用,并學會將復雜事件分解為若干簡單事件進行處理.