馬江英 施建昌

(1.浙江省紹興市柯橋區(qū)錢清中學 312025；2.浙江省紹興市柯橋區(qū)教師發(fā)展中心 312030)

在近幾年的高考中，計數(shù)原理是高考考查的重要知識點，是數(shù)學中的重要研究對象之一，其中的分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理是解決計數(shù)問題的最基本、最重要的方法，也稱為基本計數(shù)原理，它們?yōu)榻鉀Q很多實際問題提供了思想和工具.與分配有關(guān)的計數(shù)原理問題一直是高考的熱點，從考查的題型上看主要涉及平均分組和不平均分組二類典型問題，下面從二類典型問題和涉二類問題的綜合問題三個方面進行例說.

一、平均分組問題

例1 為迎接2020年東京奧運會，日本某校舉行奧運知識競賽，經(jīng)初選后，有12名同學獲得參賽資格.這12名選手要分成4個小組，每組3人，那么不同的分組方法有____種.

評注此題是一個平均分組問題，主要是要注意根據(jù)平均分組原則進行解題.平均分組問題的方法是解決有關(guān)分組問題的根本方法，在解題時要注意正確使用.

二、不平均分組問題

例2 將語文、數(shù)學、外語、物理、化學、生物這六本課外輔導讀物贈送給某希望工程學校的四名學生閱讀，每人至少一本，至多2本，則恰好有一人同時獲得物理、化學兩本書的概率是( ).

評注分組問題中對于不平均分組問題的組合數(shù)一般不必除以某一個數(shù)的階乘數(shù)，但對于含有平均分組成分的則需要按不平均分組的原則進行計算.

三、分組綜合問題

分組綜合問題就是指在分組中既含有平均分組的情況，也含有不平均分組的成分，在解題時要注意綜合考慮，并特別掌握好各種分組情況的解法和注意事項.

例3 將7個人(含甲、乙)分成三個組，一組3人，另兩組各2人，不同的分組數(shù)為a，甲、乙分到同一組的概率為p，則a,p的值分別為( ).

甲、乙分在同一組的方法種數(shù)有以下兩種情況，

評注這是一個分組綜合問題，第一問涉及到平均分組與不平均分組兩種情況，對于每組2人的兩組是平均分組，而3人組就是不平均分組，這類問題的求解方法要特別注意.第二問主要是對于甲、乙分到同一組的情況有兩種，即在3人組或在2人組，要分類討論.像這樣的分組問題，特別是不完全平均分組問題，對于平均分組的問題在計算組合數(shù)時要除以相同個數(shù)的組數(shù)的階乘數(shù)，而不相同的個數(shù)不必計算在階乘數(shù)內(nèi).

分組問題中的平均分組問題與不平均分組問題處理方法是不一樣的，要特別注意“不平均分組問題”的情況及“含有平均和不平均分組的交匯問題”的情況的區(qū)別與聯(lián)系，掌握原則是：涉及平均分組時，在分組時對于分好組的組合數(shù)還應除以相同個數(shù)的組數(shù)的階乘數(shù). 這類問題往往需要注意排列、組合計算公式的應用，并學會將復雜事件分解為若干簡單事件進行處理.