■廖慶偉

一、知識(shí)梳理

1.散點(diǎn)圖：將各數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)畫出來，得到表示兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形，這樣的圖形叫作散點(diǎn)圖。利用散點(diǎn)圖，可以判斷兩個(gè)變量是否相關(guān)，是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)。

2.兩個(gè)變量的線性相關(guān)：（1）由散點(diǎn)圖可知，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在通過散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，則稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫回歸直線。（2）回歸方程為?y=b x+a，其中b=（3）通過求的最小值而得出回歸直線的方法，即求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的距離的平方和最小，這一方法叫作最小二乘法。（4）相關(guān)系數(shù)當(dāng)r＞0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)，當(dāng)r＜0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，r的絕對(duì)值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系，通常|r|大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性。

二、典型例題解析

問題一：如何理解兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系

例1給出下列變量關(guān)系：

①人的身高與體重之間的關(guān)系；

②人的年齡與血壓之間的關(guān)系；

③人的身高與數(shù)學(xué)成績(jī)之間的關(guān)系；

④農(nóng)作物的施肥量與產(chǎn)量之間的關(guān)系；

⑤正方形的邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系。

其中是變量之間具有相關(guān)關(guān)系的有____（將所有符合條件的序號(hào)都填上）。

解：①人的身高與體重之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系。②人的年齡與血壓之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系。③人的身高與數(shù)學(xué)成績(jī)之間的關(guān)系既不是函數(shù)關(guān)系，也不是相關(guān)關(guān)系。④農(nóng)作物的施肥量與產(chǎn)量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系。⑤正方形的邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系是確定關(guān)系，即為函數(shù)關(guān)系。答案為①②④。

評(píng)析：利用定義區(qū)分相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的關(guān)鍵要看兩個(gè)變量間的關(guān)系具有“確定性”還是具有“伴隨性”。

問題二：如何利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量的線性相關(guān)性

例2 觀察下列各圖形（如圖1，圖2，圖3，圖4）。

其中兩個(gè)變量x，y具有很強(qiáng)相關(guān)關(guān)系的圖形是（ ）。

解：相關(guān)關(guān)系有兩種情況：若所有點(diǎn)看上去都在一條直線附近波動(dòng)，則是線性相關(guān)；若所有點(diǎn)看上去都在某條曲線（不是一條直線）附近波動(dòng)，則是非線性相關(guān)。圖1，圖4的相關(guān)性較弱，圖2中兩變量幾乎沒有什么關(guān)系，而圖3相關(guān)性很強(qiáng)。應(yīng)選C。

評(píng)析：觀察散點(diǎn)圖，如果發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個(gè)變量是線性相關(guān)的。

問題三：如何求線性回歸方程

例3表1是某地搜集到的新房屋的銷售價(jià)格y（萬元）和房屋的面積x（m2）的數(shù)據(jù)，試求線性回歸方程。

表1

解：由已知得

設(shè)所求回歸直線方程為?y=b x+a，則b—1.65。故所求回歸直線方程為1.65。

問題四：如何利用線性回歸方程求參數(shù)的值

例4對(duì)于表2所示的五個(gè)散點(diǎn)，已知求得的線性回歸直線方程為?y=0.8x—155，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）。解：依題意得

表2

問題五：如何利用線性回歸方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)

例5假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x（年）和所支出的維修費(fèi)用y（萬元），有如表3所示的統(tǒng)計(jì)資料。

表3

若由資料可知，y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系，試求：

（1）線性回歸直線方程。

（2）根據(jù)回歸直線方程，估計(jì)使用年限為12年時(shí)，維修費(fèi)用是多少?

解：（1）列表，如表4所示。

表4

（2）當(dāng)x=12時(shí)14.84（萬元），即估計(jì)使用年限為12年時(shí)，維修費(fèi)用是14.84萬元。

評(píng)析：對(duì)于具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，才能求出線性回歸方程，才能利用線性回歸方程對(duì)變量進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)。若回歸直線方程為，則的估計(jì)值為（注意計(jì)算的值不一定是真實(shí)值）。