■山東省東明縣第一中學(xué) 王素京

三角函數(shù)、三角變換和解三角形,注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)間的交叉、滲透,解法靈活多變,突出對(duì)思維的靈活性和嚴(yán)密性的考查,解題時(shí)稍有不慎,便會(huì)出現(xiàn)增解、漏解,甚至錯(cuò)解的情況。本文歸納剖析常見的典型易錯(cuò)題,并對(duì)思維誤區(qū)進(jìn)行警示,防止類似錯(cuò)誤再次發(fā)生。

誤區(qū)1——圖像變換或求解析式時(shí)忽略整體變量

例1 (2018屆遼寧大連期末)已知函數(shù)現(xiàn)將y=f(x)的圖像向左平移個(gè)單位,再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖像,則g(x)在上的值域?yàn)? )。

A.[-1,2] B.[0,1]

C.[0,2] D.[-1,0]

錯(cuò)解：B或C或D。

剖析：整體變量下進(jìn)行圖像變換時(shí)求錯(cuò)y=g(x),利用正弦的有界性求值域時(shí)忽略角的范圍。通過變換,所以所以,所以2。故選A。

警示：三角函數(shù)的平移、伸縮變換及有界性求值域,凸顯整體變量觀念的具體應(yīng)用,特別注意平移的量為

誤區(qū)2——忽視三角形中最大角或最小角的范圍

例2 在不等邊△ABC中,a為最大邊,如果a2＜b2+c2,求A的取值范圍。

錯(cuò)解：因?yàn)閍2＜b2+c2,所以b2+c2-a2＞0,則。又cosA在(0,π)上為減函數(shù)且,所以又因?yàn)锳為△ABC的內(nèi)角,所以

剖析：已知條件弱用,題設(shè)中a為最大邊,而錯(cuò)解中只把a(bǔ)看作是三角形中的普通一條邊,造成解題錯(cuò)誤。由上面的解法,可得又因?yàn)閍為最大邊,所以因此得A的取值范圍是

警示：在三角形中,利用反證法可得其最大角范圍為,最小角范圍為

誤區(qū)3——三角形中忽視“大邊對(duì)大角、大角對(duì)大邊”的制約

例3 (2018屆河北張家口期末)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若,則a=_______。

錯(cuò)解：因?yàn)橛烧叶ɡ碇?即代入有,結(jié)合題設(shè)有

剖析：本題忽視了c＞b,漏掉一解。因?yàn)閏＞b,由以上解法可得所以或。若則A=若,則A=為等腰三角形,可得a=1。綜上可得a=1或a=2。

警示：在△ABC中,抓住a＞b?A＞B?sin

A＞sinB的理解和應(yīng)用,可以幫助我們縮小角的范圍,正確地進(jìn)行取舍。

誤區(qū)4——△ABC中忽略A+B+C=π的隱含條件

例4 在△ABC中,已知,求cosC的值。

錯(cuò)解：在△ABC中,因?yàn)?所以

剖析：錯(cuò)解中忽視了“A+B+C=π”這一隱含條件。在△ABC中,因?yàn)樗郧褺為銳角。因?yàn)樗?/p>

又因?yàn)锳+B+C=π,所以所以

警示：對(duì)于三角形中求角的問題,應(yīng)把握其隱含條件(如內(nèi)角和,大邊對(duì)大角等)和函數(shù)值對(duì)角的限制,盡量縮小角的范圍(越小越好),只有這樣才可以避免多解和漏解。

誤區(qū)5——忽視題設(shè)條件對(duì)角的制約關(guān)系

例5 在△ABC中,3 sinA+4 cosB=6,3 cos

A+4 sinB=1,則∠C的大小為( )。

錯(cuò)解：由平方相加得,所以,所以

剖析：錯(cuò)解忽略等式對(duì)的限制,即隱含條件

警示：三角形中的題設(shè)條件中常常隱含角與角之間的制約關(guān)系,這就需要我們充分挖掘和應(yīng)用,如本題條件比較隱蔽,不易發(fā)現(xiàn),忽略后常常會(huì)有多解。