王寶生，唐秀歡，包利紅，朱 磊

(西北核技術研究所，陜西 西安 710024)

西安脈沖堆(XAPR)作為池式研究堆，具有停堆后的非能動安全性，即當反應堆發(fā)生事故時，依靠堆池水的自然循環(huán)冷卻將堆芯余熱非能動安全導出。然而這樣的B型非能動系統(tǒng)[1]在緩解嚴重事故時，易受到不確定性的影響，從而引起系統(tǒng)的功能失效[2]。因此，有必要對XAPR自然循環(huán)功能失效進行研究與分析，并發(fā)展一種評價其失效概率的方法，為XAPR概率安全評價提供重要的信息。

研究表明，功能失效概率的計算可采用響應面(RS)法、一次二階矩法(FOSM)、直接蒙特卡羅(DMCS)法、自適應蒙特卡羅(AMCS)法、自適應重要抽樣(AIS)法和重要抽樣蒙特卡羅(ISMCS)法等[3-8]。然而，RS法和FOSM能簡化復雜模型的處理，但對于高非線性問題的精度不夠理想；DMCS法能很好地模擬真實的概率，但需進行大量抽樣，計算效率低下；各種改進的蒙特卡羅(MCS)法通過引入重要密度函數，可提高計算效率，但對隱式關系的熱工水力過程，仍依賴響應面方程來替換熱工水力程序，難以避免RS法的固有缺點。

本文提出一種重要方向最優(yōu)化線抽樣(OLS)法來評價XAPR自然循環(huán)功能的可靠性?；谧匀谎h(huán)系統(tǒng)功能可靠性[9-11]的評價內容及流程，考慮系統(tǒng)模型及輸入參數的不確定性，利用OLS法獲得輸出響應的累積分布函數，進而計算功能失效概率及靈敏度系數。以XAPR自然循環(huán)冷卻堆芯能力的可靠性評價為例，結合中破口失水事故，對功能失效進行評估，并與其他幾種方法進行比較。

1 功能失效概率評估數學模型

假設影響系統(tǒng)功能可靠性的輸入變量X=(x1,x2,…,xn)由n個不確定輸入參數組成，那么功能失效概率Pf可由下式表示：

(1)

式中：g(X)=A-y(X)為功能函數，A為失效準則，y(X)為用函數映射關系表示的熱工水力學程序，g(X)>0表示系統(tǒng)處于安全狀態(tài)，g(X)<0表示系統(tǒng)處于失效狀態(tài)，g(X)=0表示系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)；fX(X)為輸入變量X的聯合概率密度函數。

為便于計算，式(1)可改寫為如下形式：

(2)

式中：I[g(X)]為指示性函數，若g(X)<0，則I[g(X)]=1，若g(X)≥0，則I[g(X)]=0；Ω為整個積分區(qū)域。

對于復雜的自然循環(huán)系統(tǒng)，難以用快速積分的方法求解式(2)，因為g(X)是一個復雜的熱工水力學程序，其功能函數都是模擬程序，需用數值方法求解。由于功能失效概率一般較小，采用MCS法計算需進行多次抽樣，且每次抽樣均要運行熱工水力學程序，計算量非常大。針對這一問題，本文提出重要方向OLS法進行求解。

2 重要方向OLS法

2.1 線抽樣法基本思想

該方法的基本原理是利用直線代替隨機點確定出高維復雜系統(tǒng)的失效域，通過重要方向α上的插值和n-1維上的隨機抽樣來高效地實現失效概率的計算。圖1示出線抽樣法示意圖。

(3)

圖1 線抽樣法示意圖Fig.1 Sketch map of line sampling method

(4)

(5)

2.2 最優(yōu)化重要方向的確定

線抽樣法的有效性取決于重要方向的選取，當重要方向與最優(yōu)重要方向一致時，效率達到最佳。定義最優(yōu)化重要方向αopt為使系統(tǒng)失效概率估算值方差最小的重要方向。那么最優(yōu)化重要方向可表述為αopt=Xopt/‖Xopt‖，其中Xopt位于失效域內。以系統(tǒng)失效概率估算值方差最小為目標，構建如下所示具有約束條件的優(yōu)化模型：

minM=Var[PN(F)]=σ2[PN(F)]

s.t.αopt=Xopt/‖Xopt‖

Xopt∈F,{g(Xopt)<0}

(6)

采用遺傳算法對所建立的優(yōu)化模型進行求解，其主要步驟如下。

1) 通過遺傳算法模擬產生NT個條件樣本點Xj(j=1,2,…,NT)，計算樣本點的質心

2.3 OLS法實現過程

2.4 OLS法的適用范圍

OLS法無需找到設計點，該方法只需確定失效域中的質心，即可通過遺傳算法求解約束條件準確確定最優(yōu)化重要方向，且采用3點二次插值在非線性情況下更易逼近真實的隱式功能函數方程。該方法不依賴于功能函數方程的顯式表達，且在重要方向上具有極高的效率，因此該方法適用于非線性程度較高的大型復雜自然循環(huán)系統(tǒng)可靠性分析中的高維小功能失效概率問題，對于具有不規(guī)則極限狀態(tài)曲面的功能函數，該方法尤其適用。此外，對于含有非正態(tài)隨機變量的情況，需先將非正態(tài)隨機變量轉為標準正態(tài)變量，再運用該方法求解。

圖2 OLS法的計算流程Fig.2 Flow chart of optimized line sampling method

3 OLS法的應用

以XAPR自然循環(huán)冷卻堆芯能力的可靠性評價為例，考慮模型與輸入參數的不確定性，對中破口失水事故下的自然循環(huán)功能失效概率進行量化分析。

3.1 系統(tǒng)安全功能

XAPR采用池式反應堆結構，堆芯采用自然循環(huán)冷卻，當反應堆發(fā)生冷卻劑喪失事故時，依靠池水自然循環(huán)冷卻，或與環(huán)境的熱量交換即可將堆芯余熱非能動導出。當發(fā)生失水事故時，事故進程可劃分為3個階段：1) 水冷自然循環(huán)冷卻階段；2) 堆芯半裸露階段；3) 空氣冷卻自然循環(huán)階段。這樣即可在失水事故時建立堆芯長期自然循環(huán)冷卻，將堆芯余熱導出，保證燃料元件的完整性。

3.2 系統(tǒng)模型與功能準則

采用RELAP5模擬失水事故堆芯自然循環(huán)冷卻過程。XAPR熱工水力建模計算節(jié)點示于圖3。圖3中控制體101～107為堆池，120～124為堆池混凝土壁外空氣邊界，150～163為一回路管道，170～172為簡化二回路邊界，109為堆池頂部空氣邊界。為驗證模型的準確性，采用運行工況作為邊界條件進行計算，得到堆芯自然循環(huán)流量為12.21 kg/s，該流量與實際自然循環(huán)流量12.13 kg/s基本一致。

定義功能準則為：當包殼溫度低于或等于500 ℃時，燃料芯體最高溫度應低于1 150 ℃；高于500 ℃時，應低于970 ℃。從概率安全角度出發(fā)，假設燃料芯體最高溫度超過安全限值970 ℃則認為功能失效。設向量X為不確定性參數，To,max(X)為燃料芯體最高溫度，則功能函數g(X)可表示為：g(X)=970-To,max(X)，當g(X)<0時，即認為功能失效。

3.3 系統(tǒng)不確定性參數

XAPR運行時涉及到2種不確定性：第1種是偶然不確定性，它與模型的幾何性質有關；第2種是認知局限不確定性，它與運行和試驗數據缺乏而導致對有關現象認知的局限性有關[2]。本文重點研究因認知局限的不確定性。

圖3 RELAP5計算節(jié)點Fig.3 Nodalization of RELAP5 calculation

利用層次分析法及專家判斷相結合的方式，識別出對XAPR堆芯自然循環(huán)影響較大的不確定性參數。在目前處理中，當可得到的數據有限時，各輸入參數的概率分布及取值區(qū)間主要以工程設計標準為基礎，并結合專家評價的主觀方法得出。表1列出輸入參數的概率分布及特征參數。這些參數的取值及分布考慮了所有可能的事故工況，是一種較為保守的方法。

表1 輸入參數的概率分布類型及特征參數Table 1 Probability distribution and characteristic parameter of input parameter

3.4 功能失效概率評估與結果分析

為便于比較，本文同時采用了DMCS、OLS、AMCS和AIS等方法進行計算。圖4示出不同方法的功能失效概率隨樣本數的變化。由圖4可見，當OLS法樣本數增大至5 000后，失效概率幾乎不再隨NT的增加而波動，且計算結果即可達到DMCS法樣本數為105時的計算精度(對于概率為10-3數量級，抽樣105次對于置信水平99%能獲得滿意結果，因此以105次抽樣結果作為基準值)[6]。同時從圖4還可看出，當樣本數分別達到50 000及20 000時，AMCS法和AIS法也能達到較好的收斂效果。因此，本文分別選取105、5 000、50 000、20 000作為DMCS、OLS、AMCS及AIS等方法的樣本數。

圖4 失效概率隨NT的變化Fig.4 Failure probability convergence with NT

圖5示出4種不同方法得到的反映模型輸出To,max不確定性的概率密度函數和累積分布函數。由圖5可見：To,max近似服從正態(tài)分布；

OLS法抽樣NT=5 000次的計算結果與DMCS法抽樣NT=105次的基準值吻合較好，但樣本數卻少得多，約為DMCS法樣本數的1/20。

為便于比較引入兩個指標：相對誤差ξ和單位變異系數Δ[8]：

(7)

(8)

式中，δ為變異系數。顯然，單位變異系數Δ越小，計算效率越高；相對誤差ξ越小，計算精度越高。不同方法計算得到的失效概率Pf、單位變異系數Δ、相對誤差ξ和計算時間tcom分別列于表2。由表2可見：DMCS法存在抽樣效率低、計算耗時的缺點，在抽樣數NT=105時才能達到誤差要求；RS法實質上是曲線擬合的近似方法，其計算精度依賴于功能函數的線性程度，對于功能函數非線性程度較高時計算結果偏差較大，本算例自然循環(huán)系統(tǒng)為非線性，所以結果欠佳；AMCS法和AIS法均屬于重要抽樣的蒙特卡羅方法，但對于隱式關系的熱工水力過程，仍依賴RS法替代熱工水力程序，無法避免RS法的缺點；OLS法的計算結果與基準值相近，具有較高計算效率的同時保持了良好的計算精度。更重要的是，該方法只需不確定性參數輸入變量和對應熱工水力程序的輸出響應值，不依賴于功能函數的顯式表達式。

3.5 參數靈敏度分析

靈敏度分析可反映輸入參數的不確定性對系統(tǒng)功能可靠性的影響，并給出量化的重要度排序，從而為提高系統(tǒng)功能可靠性提供指導性建議，有效減小不確定性。由于非能動物理過程為隱式非線性關系，傳統(tǒng)表征參數靈敏度的相關系數、標準回歸系數、秩相關系數及標準秩回歸系數等具有局限性[10]。本文將基本變量均值變化引起功能失效概率變化的比率表征為靈敏度，在數學上由失效概率Pf對基本變量均值μx的偏導數予以表達，即?Pf/?μx。為消除量綱影響，引入了無量綱靈敏度系數Sμxi=(?Pf/?μxi)×(σxi/Pf)[12]。靈敏度分析結果如圖6所示。

圖5 To,max的不確定性Fig.5 Uncertainty of To,max

計算方法NT103PfΔξ/%tcom/hDMCS1053.48017.0901 002.8RS1573.1973.238.13159.8AMCS+RS50 0003.12510.1710.20687.4AIS+RS20 0003.0574.1312.16365.3OLS5 0003.4051.682.15127.8

由圖6可見，衰變熱功率相對偏差Q、空氣入口溫度Tg、流道進口阻力系數kin、流道出口阻力系數kout、排水泵開啟延遲時間tp對系統(tǒng)輸出有較大影響，其中Q、Tg和tp最為敏感。因為這些參數直接影響事故發(fā)生后自然循環(huán)的輸熱能力和建立的時間，對自然循環(huán)余熱排出功能可靠性影響較大。因此，減小上述影響較大的輸入參數的不確定性可有效降低自然循環(huán)的失效概率，提高系統(tǒng)的功能可靠性。

選取Q、Tw、Tg、ξ2、ξ4、kin、kout、tm及tp等9個參數作為關鍵參數，其余6個參數采用均值保持不變。這樣15個輸入參數的模型可變?yōu)?個輸入參數，大幅簡化了模型。對簡化模型分別采用DMCS法和OLS法進行計算，與初始模型的結果進行比對，結果列于表3(50次計算的統(tǒng)計結果)。由表3可知，當考慮9個關鍵參數時，DMCS法和OLS法計算的失效概率均值分別為3.401×10-3及3.359×10-3，很接近初始模型的計算均值，但其計算效率更高、計算時間更少。

圖6 輸入參數歸一化靈敏度系數Fig.6 Normalized sensitivity coeffcient of input parameter

計算方法NT初始模型簡化模型1)失效概率均值標準差Δtcom/h失效概率均值標準差Δtcom/hDMCS1053.484×10-31.892×10-417.171 002.53.401×10-31.061×10-410.06701.9OLS5 0003.409×10-37.854×10-51.64127.93.359×10-35.117×10-51.2176.7OLS2)5 0001.042×10-42.076×10-61.1460.1

注：1) 9個關鍵參數模型

2) 忽略9個關鍵參數模型

4 結論

1) 本文采用遺傳算法求解具有約束條件的優(yōu)化模型，找出最優(yōu)化重要方向，并將失效域的條件樣本用作隨機樣本，使得計算效率大為提高。相比于其他方法，該方法具有較高的抽樣效率和計算精度，且該方法只需基本變量和對應的功能函數輸出值，不依賴功能函數的顯式表達式，對于隱式關系具有較強的適應性。

2) XAPR破口失水事故時，不確定性導致的功能失效總是有非零的發(fā)生概率，其失效概率為3.480×10-3。在涉及XAPR自然循環(huán)的可靠性評估中，功能失效是重要的，其失效概率應基于熱工水力計算和概率論方法進行全面評價。

3) 減小Q、Tg、kin、kout及tp等5個關鍵參數的不確定性，可更有效地降低自然循環(huán)的失效概率，提高XAPR自然循環(huán)冷卻堆芯的能力。同時，通過靈敏度分析將模型簡化后，計算量大幅減少，但計算結果仍很接近。