劉爾春,孫慶龍,盧志誠,惠相君,周鵬飛,汪家樂,孫靖康,崔玉國
(1.寧波大學(xué) 機(jī)械工程與力學(xué)學(xué)院,浙江 寧波 315211; 2.首信自動化有限公司,河北 遷安 064400)
壓電微動平臺是一種由壓電執(zhí)行器驅(qū)動的微位移機(jī)構(gòu),具有結(jié)構(gòu)小巧緊湊,輸出力大,分辨率高,響應(yīng)速度快及負(fù)載能力強(qiáng)的特點(diǎn),因而被廣泛應(yīng)用于高精密定位系統(tǒng)中。如在超精密加工中,它可以推動刀架使刀具實(shí)現(xiàn)微移動,進(jìn)而使加工更精準(zhǔn)[1];在微結(jié)構(gòu)表面形貌測量中,它可以作為掃描探針顯微鏡的掃描平臺,進(jìn)而和微探針相配合,實(shí)現(xiàn)對微結(jié)構(gòu)表面的精密測量[2];在微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)裝配中,它可作為微零件、微部件的載物臺,帶動微零件、微部件產(chǎn)生微運(yùn)動,從而在微機(jī)器人操作手的配合下,將微零件裝配成微部件,或?qū)⑽⒉考b配成微系統(tǒng)[3]。另一方面,由于壓電執(zhí)行器存在遲滯誤差特性,會使由其驅(qū)動的微動平臺產(chǎn)生定位誤差,因此需要采取相應(yīng)的控制方法對平臺進(jìn)行控制,如前饋控制[4]、比例、積分、微分(PID)控制[5-7]、魯棒控制[8]、自適應(yīng)控制[9]、復(fù)合控制[10-11]等。宋林等基于所提出的閾值優(yōu)化Prandtl-Ishilinskii(PI)遲滯模型,設(shè)計(jì)了壓電微動平臺的前饋控制器,平臺在前饋控制作用下,達(dá)到5 μm階躍參考位移的響應(yīng)時(shí)間為0.01 s,跟蹤最大值為17 μm的變幅值三角波參考位移時(shí),使定位誤差變化范圍由-1.15~1.35 μm減小為-1.15~-0.05 μm[4]。Lin等采用灰色相關(guān)分析法來整定壓電微動平臺的PID控制器參數(shù),使平臺在PID控制下的穩(wěn)態(tài)誤差減小了97%[6]。Ghafarirad等將基于改進(jìn)觀測器的魯棒控制同PI逆模型相結(jié)合,設(shè)計(jì)了壓電微動平臺的魯棒控制器,實(shí)現(xiàn)了平臺在預(yù)估干擾作用下的精密定位[8]。張桂林等基于傳統(tǒng)PI遲滯模型來描述壓電執(zhí)行器的遲滯特性,并采用自適應(yīng)投影法來在線辨識壓電執(zhí)行器的PI遲滯模型,進(jìn)而設(shè)計(jì)出了壓電執(zhí)行器的自適應(yīng)PI逆控制器,使執(zhí)行器的定位精度提高了49.8%[9]。Lin等將雙前饋補(bǔ)償與反饋控制相結(jié)合,設(shè)計(jì)出了壓電微動平臺的復(fù)合控制器,在復(fù)合控制作用下,平臺沿x、y向的定位誤差分別達(dá)到21.5 nm、20 nm[11]。
在上述這些控制方法中,前饋控制屬于開環(huán)控制,無需傳感器,系統(tǒng)構(gòu)成簡單,成本低,但因無反饋環(huán)節(jié),很難實(shí)現(xiàn)平臺的高精度定位。PID控制、魯棒控制、自適應(yīng)控制屬于反饋控制,在對平臺進(jìn)行控制時(shí),往往需要精密位移傳感器,故成本較高,但能夠?qū)崿F(xiàn)平臺的高精度、高分辨率定位。其中,PID控制技術(shù)最成熟,簡單易用,且不需要被控對象的精確模型,故應(yīng)用更廣泛。復(fù)合控制可使平臺獲得良好的靜、動態(tài)特性,但整個控制系統(tǒng)構(gòu)成較復(fù)雜。
本文為提高壓電微動平臺的定位精度,并消除其工作過程中所受到的擾動或沖擊(包括控制過程中的超調(diào)),引入低通濾波器來降低PID控制器中微分環(huán)節(jié)對擾動或沖擊的敏感性,進(jìn)而來設(shè)計(jì)平臺的PID反饋控制器,并實(shí)現(xiàn)平臺的精密定位控制。
PID控制通過對被控對象的偏差(即被控對象參考輸入與實(shí)際輸出的差值)進(jìn)行比例(P)、積分(I)、微分(D)的線性運(yùn)算,來實(shí)現(xiàn)對被控對象的控制,如圖1所示。圖中,s為復(fù)數(shù)變量,1/s、s分別為積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)。PID控制器的控制規(guī)律為
(1)
式中k=0, 1, 2,…為采樣序號,即0,T, 2T,…采樣時(shí)刻;u(k)為在kT采樣時(shí)刻的控制量;e(k)、e(k-1)分別為在kT、(k-1)T采樣時(shí)刻的偏差;KP、TI、TD分別為比例系數(shù)、積分時(shí)間常數(shù)、微分時(shí)間常數(shù);T為采樣周期。
圖1 PID控制框圖
式(1)給出的PID控制器的輸出,包含了當(dāng)前和以往所有時(shí)刻偏差的積分,這樣會占用較大的計(jì)算機(jī)內(nèi)存,使計(jì)算時(shí)間變長,被控對象的響應(yīng)時(shí)間變慢。為此,本文采用具有遞推關(guān)系的PID控制。由式(1)可得,PID控制器在(k-1)T時(shí)刻的輸出為
(2)
將式(1)減去式(2)可得具有遞推關(guān)系的PID表達(dá)式為
u(k)=u(k-1)+KP{e(k)-e(k-1)+
g1e(k-1)+g2e(k-2)
(3)
其中
(4)
(5)
(6)
由式(3)可知,具有遞推關(guān)系的PID的控制量u(k)僅與u(k-1)、e(k)、e(k-1)、e(k-2)有關(guān),不僅減小了計(jì)算機(jī)內(nèi)存的占用量,且還可顯著縮短計(jì)算時(shí)間,易于實(shí)現(xiàn)快速控制。
對式(3)兩端同時(shí)進(jìn)行z變換,可得具有遞推關(guān)系的PID控制器的離散脈沖傳遞函數(shù)為
(7)
在PID控制中,微分項(xiàng)能夠提高系統(tǒng)的動態(tài)特性,縮短瞬態(tài)響應(yīng)的過度過程,但其對干擾或沖擊信號非常敏感,它會使干擾所引起的控制量變化幅度增大。對壓電微動平臺而言,控制量的這種大幅度變化不僅會造成平臺定位精度的下降,有時(shí)還會使壓電執(zhí)行器及平臺受到破壞。
干擾或沖擊信號為高頻信號,而低通濾波是去除高頻干擾信號的有效方法。為此,本文在PID控制器中引入低通濾波器,以降低PID控制中微分環(huán)節(jié)對擾動或沖擊信號的敏感性,即使微分環(huán)節(jié)對擾動或沖擊產(chǎn)生鈍化(見圖2)。圖中,E(s)為偏差e(t)的拉氏變換,U′(s)為PID控制器輸出的拉氏變換,U(s)為低通濾波器輸出的拉氏變換,τ′為低通濾波器的時(shí)間常數(shù)。
圖2 鈍化微分PID控制框圖
(8)
式中α為常數(shù),且α<1,則有
(9)
于是,鈍化微分PID控制器的離散脈沖傳遞函數(shù)為
(10)
基于所設(shè)計(jì)的平臺改進(jìn)PID控制器以及所建立的壓電執(zhí)行器與平臺的動力學(xué)模型,設(shè)計(jì)出了平臺的控制系統(tǒng),其MATLAB/simulink仿真框圖如圖3所示。
圖3 平臺控制仿真框圖
圖4 濾波器對平臺控制結(jié)果的影響
圖4為平臺在干擾(其幅值為0.5 μm,頻率為10~100 Hz)作用下,對階躍目標(biāo)位移(其值為5 μm)的響應(yīng)。其中,圖4(a)為無濾波器時(shí)平臺的響應(yīng),這時(shí)平臺輸出已不穩(wěn)定;圖4(b)為有濾波器時(shí)平臺的響應(yīng),此時(shí)平臺輸出仍穩(wěn)定,且無超調(diào),也無穩(wěn)態(tài)誤差??梢姡O(shè)計(jì)的鈍化PID控制器可有效消除干擾對平臺輸出位移的影響。
圖5為平臺在5 μm的階躍目標(biāo)位移且不受干擾的情況下,不同的KP、KI、KD對平臺輸出位移的影響。由圖5(a)可知,隨著KP(此時(shí)KI、KD均為0)的增大,平臺響應(yīng)加快,穩(wěn)態(tài)誤差減小,但KP太大時(shí),平臺輸出位移會出現(xiàn)超調(diào)。由圖5(b)可知,KI(此時(shí)KP=4.5、KD=0)可顯著減小平臺輸出位移的穩(wěn)態(tài)誤差,KI增大到一定程度時(shí)可完全消除穩(wěn)態(tài)誤差,但KI會使平臺輸出位移出現(xiàn)超調(diào)。由圖5(c)可知,隨著KD(此時(shí)KP=4.5、KI=0.45)的增大,平臺響應(yīng)變慢,但平臺輸出位移的超調(diào)減小。
圖5 KP、KI、KD對平臺控制結(jié)果的影響
圖6為測量壓電微動平臺位移特性的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng),它由驅(qū)動電源、多功能卡、壓電微動平臺及電渦流位移傳感器組成。其工作過程如下:由計(jì)算機(jī)發(fā)出相應(yīng)的控制信號,該控制信號經(jīng)多功能卡上的D/A轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換為連續(xù)的模擬電壓,施加于驅(qū)動電源上,在電源所輸出的驅(qū)動電壓作用下,壓電執(zhí)行器伸長,推動微動平臺使其產(chǎn)生微位移,該位移由電渦流位移傳感器所測得,經(jīng)多功能數(shù)據(jù)卡上的A/D轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號,被輸入計(jì)算機(jī)內(nèi)。
圖6 壓電微動平臺位移測量系統(tǒng)
由圖6可知,電源輸出電壓的紋波為10 mV,線性度為0.1%,頻帶為0~2 kHz;電渦流位移傳感器的測量范圍為0.36~1.36 mm,非線性誤差為0.4%,分辨率為0.1 μm。多功能數(shù)據(jù)卡上的A/D及D/A轉(zhuǎn)換器的位數(shù)為16位,采樣速度為100 kS/s。
圖7為采用鈍化微分PID控制時(shí)壓電微動平臺的階躍響應(yīng)。由圖可知,此時(shí)平臺的響應(yīng)時(shí)間較短(為0.3 s),穩(wěn)態(tài)誤差為0,且無超調(diào),可見所設(shè)計(jì)的鈍化微分PID控制器可使平臺具有良好的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)特性。
圖7 鈍化微分PID作用下微動平臺的實(shí)際階躍響應(yīng)
給壓電微動平臺施加最大值為15.25 μm的變幅值三角波信號,由圖8的測量結(jié)果可知,平臺在未受控制的情況下,實(shí)際輸出位移相對于目標(biāo)位移的誤差中線的變化范圍為-0.7~1.2 μm;在鈍化微分PID反饋控制的作用下,平臺的實(shí)際輸出位移相對于目標(biāo)位移的誤差中線的變化范圍為-0.1~0.1 μm。因此,鈍化微分PID反饋控制能較好地跟蹤參考輸入位移,使壓電微動平臺具有較小的定位誤差。
圖8 鈍化微分PID作用下微動平臺的實(shí)際三角波輸入
本文為避免壓電微動平臺在工作過程中受到干擾或沖擊的影響,將低通濾波器引入常規(guī)PID控制中,設(shè)計(jì)出了平臺的鈍化微分PID控制器。采用MATLAB/simulink對設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)進(jìn)行了仿真,結(jié)果表明,鈍化PID控制器可有效消除干擾對平臺輸出位移的影響;KP增大時(shí),平臺響應(yīng)加快且穩(wěn)態(tài)誤差減小,但太大時(shí)會出現(xiàn)超調(diào);KI可消除平臺輸出位移的穩(wěn)態(tài)誤差,但太大時(shí)也會出現(xiàn)超調(diào);KD增大時(shí),平臺響應(yīng)變慢,但超調(diào)減小。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的鈍化微分PID控制的有效性,結(jié)果表明,平臺達(dá)到5 μm階躍目標(biāo)的響應(yīng)時(shí)間為0.3 s,無超調(diào),且穩(wěn)態(tài)誤差為0;平臺在跟蹤最大值為15.25 μm的變幅值三角波時(shí),定位誤差中線由無控制時(shí)-0.7~1.2 μm減小為-0.1~0.1 μm。