亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        帶有卷積非線性項(xiàng)的Kirchhoff方程解的多重性

        2019-02-22 07:46:28李宇華
        關(guān)鍵詞:定義

        耿 茜,李宇華

        (山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,太原 030006)

        本文主要考慮的是下列帶有卷積非線性項(xiàng)的Kirchhoff方程:

        這里a,b>0。N是給定歐氏空間RN的空間維數(shù)。對于任給的 x∈RN\{0},α∈(0,N),Riesz勢函數(shù)Iα∶RN\{0}→R定義如下:

        在 a=1,b=0,N=3,α=2,p=2以及 f=0的情形下,方程(1)轉(zhuǎn)化為下列著名的 Choquard-Pekar方程:

        這類方程有著豐富的物理背景。例如,在文獻(xiàn)[1]中,Pekar用此方程的駐波解來描述量子力學(xué)中極化子的靜態(tài)現(xiàn)象。Choquard用它來模擬電子俘獲現(xiàn)象以及在經(jīng)典引力勢中耦合的 Schr?dinger方程。更多具體成果可以參考文獻(xiàn)[2-4]。近幾十年來,關(guān)于方程(2)解的存在性及其定量性質(zhì)有著豐富的研究成果。當(dāng)V=1時(shí),E.H.Lieb首次在文獻(xiàn)[5]中考慮了方程(2)正解的存在性以及唯一性。P-L.Lions在文獻(xiàn)[6-7]中得到了正規(guī)化解的存在性與多重性。當(dāng)V是正常數(shù)時(shí),V.Moroz和J.Van Schaftingen在文獻(xiàn)[8-10]中建立了問題(2)基態(tài)解的存在性。然而,之前關(guān)于Kirchhoff方程非線性項(xiàng)的研究通常都是多項(xiàng)式的形式,針對帶有卷積非線性項(xiàng)的Kirchhoff問題的探索較少。由于 (∫RN|▽u|2)Δu的存在,方程(1)不再是逐點(diǎn)成立的等式,這無疑增加了問題的難度。本文的主要目的:首先,克服非局部項(xiàng)與卷積非線性項(xiàng)之間的相互干擾;其次,解決由于兩項(xiàng)非線性項(xiàng)次數(shù)的不同在利用Fountain定理時(shí)產(chǎn)生的困難;最后,探究方程(1)的解是否具有多重性。由于卷積非線性項(xiàng)與通常的多項(xiàng)式非線性項(xiàng)不同,本文在研究方法上有了一定的創(chuàng)新。

        (f1)f∈C(RN×R,R)且對于任意的 u∈R,x∈RN,均存在常數(shù) C1>0,q∈(2,2*)使得

        (f2)當(dāng)|u|→0時(shí),f(x,u)=o(|u|)關(guān)于 x∈RN一致成立。

        (f3)存在 θ>4使得對任給的 x∈RN,u∈R\{0}均有 0<θF(x,u)≤uf(x,u)。

        (f4)對于任意的 x∈RN,u∈R\{0}滿足f(x,-u)=-f(x,u)。

        主要結(jié)果如下:

        定理1 假設(shè)條件(f1)-(f4)成立,V∈C(RN,[0,+∞)),如 果 p∈而 且(x)>0,|xl|i→m∞V(x)=+∞。則方程(1)具有一個(gè)無界的高能量解序列。

        1 預(yù)備工作

        首先給出Hilbert空間:

        由定理1中關(guān)于勢函數(shù)V的假設(shè),文獻(xiàn)[11]證明了 E緊嵌入到 Lr(RN),r∈[2,6)。設(shè){en}是特征問題-aΔu+V(x)u=λu的特征函數(shù),那么 λ1=‖u‖2>0。容易證明對應(yīng)于不同特征值的特征函數(shù)在L2(RN)中是正交的。又因?yàn)閷θ魏蔚?ei,ej,i≠j,都有(ei,ej)=λi(ei,ej)2=0。所以{ei}在 E中是正交的。不妨假設(shè)||en||=1,n∈N。設(shè) u∈E,而且(en,u)=0,n∈N,則從(en,u)=λn(en,u)2推出(en,u)2=0,n∈N,而且 u=0,因此{en}是 E中的一組基。設(shè) En=Ren,n∈N,則令

        在E中定義方程(1)的能量泛函J∶E→R

        本文不同行之間 C、C1、C2、C3、Cε定義可能為不相同的正常數(shù)。|·|p表示通常的 Lp(RN)中的范數(shù),(·,·)2表示 L2(RN)中對應(yīng)的內(nèi)積。為了建立變分結(jié)構(gòu),具體給出下列 Hardy-Littlewood-Sobolev不等式,而且根據(jù)Hardy-Littlewood-Sobolev不等式以及Nemystkii算子可知能量泛函J定義是合理的,一階連續(xù)可微的。

        2 主要引理

        引理 1[12]假設(shè) t,r>1,f∈Lt(RN),h∈Lr(RN)滿足1/t+1/r+(N-α)/N=2。則存在正常數(shù)C與f、h無關(guān),使得

        引理2 如果 p∈[2,2*),k→ +∞,則 βksupu∈Zk,‖u‖=1|u。

        證明 因?yàn)?0<βk+1≤βk,所以 βk→β≥0。又對每一個(gè) k∈N,存在 uk∈Zk,||uk||=1使得|uk|p>βk/2。根據(jù) Zk的定義,在 E中 uk?0。于是,根據(jù) Sobolev嵌入定理,在 Lp(RN)中 uk→0。因此,β=0。

        引理3[13]設(shè) J∈C1(E,R)滿足 J(-u)=J(u),并且對于任意的 k∈N,存在 ρk>γk>0使得:

        (A1)ak(u)≤0;(A2)當(dāng) k→時(shí),bk(u)→ +∞;(A3)對任意的c>0,J均滿足(PS)c條件,則 J具有一列無界的臨界值。

        引理4 假設(shè)定理1的條件成立,對任意的c>0,J均滿足(PS)c條件。

        證明 任給c>0,假設(shè){un}是能量泛函J的一個(gè)(PS)c序列,即當(dāng)n→∞時(shí)

        則{un}在E上有界。事實(shí)上,由條件(f3)可知

        因此得到{un}的子列仍記作{un},在 E上滿足un?u。文獻(xiàn)[14]借助于Stein-Weiss不等式和半群等式得到 Riesz勢函數(shù) Iα=Iα/2*Iα/2。則

        通過文獻(xiàn)[15]Proposition 2.2可知 K′:E→E*是弱連續(xù)的。從而

        而且根據(jù)條件(f1)、(f2)以及 H?lder不等式有

        因此當(dāng)n→∞時(shí),‖un-u‖→0。

        3 定理1的證明

        證明 當(dāng) u∈Yk,根據(jù)條件(f2)~(f4),任給x∈RN,u∈R,存在常數(shù) C2>0,C3>0,使得

        根據(jù)式(5)可得

        由于Yk是有限維空間,進(jìn)而Yk上的范數(shù)是等價(jià)的。因此,存在 ρk>γk>0。使得當(dāng)‖u‖ =ρk,ρk充分大時(shí)條件(A1)成立。

        當(dāng) u∈Zk,根據(jù)條件(f1)、(f2)可知對于任意的 ε>0,存在 Cε>0,使得

        再根據(jù)引理2可知當(dāng)k→+∞時(shí),βk→0。而且

        同理由引理2可知,如果 p∈[2,2*),k→ +∞,則αk→0。且

        于是條件(A2)成立,所以根據(jù)引理3可知結(jié)論成立。

        猜你喜歡
        定義
        以愛之名,定義成長
        活用定義巧解統(tǒng)計(jì)概率解答題
        例談橢圓的定義及其應(yīng)用
        題在書外 根在書中——圓錐曲線第三定義在教材和高考中的滲透
        永遠(yuǎn)不要用“起點(diǎn)”定義自己
        海峽姐妹(2020年9期)2021-01-04 01:35:44
        嚴(yán)昊:不定義終點(diǎn) 一直在路上
        定義“風(fēng)格”
        成功的定義
        山東青年(2016年1期)2016-02-28 14:25:25
        有壹手——重新定義快修連鎖
        修辭學(xué)的重大定義
        少妇激情av一区二区| 亚洲男人天堂黄色av| 女人被狂躁c到高潮视频| 中文字幕精品久久久久人妻红杏1 丰满人妻妇伦又伦精品国产 | 国产精品久久无码免费看| 免费观看一区二区三区视频| 亚洲av中文无码字幕色本草| 成av免费大片黄在线观看| 婷婷第四色| 中文字幕色一区二区三区页不卡| 亚洲成av人片在www鸭子| 色欲人妻综合网| 国产在线精品福利大全| 免费观看在线视频播放| 国产高清在线精品一区app| 好大好深好猛好爽视频免费 | 女女女女bbbbbb毛片在线| 亚洲AⅤ樱花无码| 91久久精品一区二区| 国产两女互慰高潮视频在线观看| 18禁美女裸体网站无遮挡| 国产不卡一区二区三区视频| 国产日产一区二区三区四区五区| 国产男女猛烈无遮挡免费网站| 国产精品理人伦国色天香一区二区 | 亚洲gay片在线gv网站| 久久综合久久鬼色| 亚洲国产成人资源在线桃色| 日本一级片一区二区三区| 亚洲av日韩aⅴ无码色老头| 成人在线激情网| 免费一区二区三区av| 久久亚洲av成人无码国产最大| 国产精品欧美成人| 久久国产精品免费一区六九堂| 日韩中文字幕不卡在线| 亚洲精品无码久久久| 国产激情久久99久久| 少妇久久一区二区三区| 国产果冻豆传媒麻婆精东| 风流少妇又紧又爽又丰满|