姜大要，薛亞奎

（中北大學(xué)理學(xué)院，太原 030051）

現(xiàn)代社會(huì)中，快速發(fā)展的大眾媒體對(duì)人們的生活方式產(chǎn)生了越來(lái)越深刻的影響，并且成為人們獲取健康信息的重要渠道。在傳染病的傳播和控制過(guò)程中，媒體會(huì)報(bào)道疾病的傳播情況，并告訴人們采取相應(yīng)的預(yù)防措施（如戴口罩、減少去公共場(chǎng)所的次數(shù)、經(jīng)常洗手等）來(lái)阻止和減少疾病的傳播和發(fā)生［1］。

利用數(shù)學(xué)模型可以分析疾病的傳播和控制，以及預(yù)測(cè)一段時(shí)間內(nèi)疾病是如何傳播的［2-5］。在疾病的傳播和控制過(guò)程中，媒體報(bào)道的作用不可忽視。因此，近年來(lái)部分學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了相關(guān)的研究。Yorke等［6］通過(guò)建立一個(gè)性傳播的 SIS模型研究媒體報(bào)道對(duì)疾病傳播的控制。文獻(xiàn)［7］在信息傳播與染病者的死亡人數(shù)成正比的假設(shè)下，建立了一類帶時(shí)滯的傳染病模型。文獻(xiàn)［8］則引入一個(gè)常數(shù)來(lái)說(shuō)明其他地域?qū)λ紤]地域的信息傳播的影響。Huo等［9］主要研究了帶有正面信息和負(fù)面信息影響的SEI模型。

本文在經(jīng)典的SIS傳染病模型的基礎(chǔ)上，考慮媒體報(bào)道對(duì)該模型所產(chǎn)生的正面影響和負(fù)面影響，并分析了其前向和后向分支以及Hopf分支出現(xiàn)的條件。

1 模型的建立

假設(shè)在人口規(guī)模不變的情況下，將人口分為易感者、染病者 2類，分別用 S（t）、I（t）表示 t時(shí)刻的易感者、染病者的數(shù)量。M1（t）和 M2（t）分別表示t時(shí)刻關(guān)于傳染病的正面和負(fù)面信息的數(shù)量。模型的傳播過(guò)程如圖1所示。

圖1 SIS模型的傳播動(dòng)力圖

由圖1可得如下系統(tǒng)：

則t時(shí)刻的人口總數(shù)可表示為：N（t）＝S（t）＋I(xiàn)（t），其中所有的參數(shù)均為正數(shù)。式（1）中：A表示人口的輸入率；d表示自然死亡率，本文假設(shè)所有個(gè)體的自然死亡率相等；γ表示因病死亡率；β表示個(gè)體從易感者變?yōu)槿静≌叩膫魅韭氏禂?shù)；α表示正面信息對(duì)傳染病傳播的減少率；δ表示負(fù)面信息對(duì)傳染病傳播的增加率；ρ表示染病者的恢復(fù)率；p表示傳染病期間提供關(guān)于疾病正面信息的個(gè)體所占的比率；q表示傳染病期間提供關(guān)于疾病負(fù)面信息的個(gè)體所占的比率；τ表示信息的失效率；μ1和μ2分別表示傳染病期間易感者和染病者發(fā)布信息的發(fā)送率。

顯然，系統(tǒng)（1）的可行域?yàn)?X＝｛（S，I，M1，M2）∈｝。則有下面的引理：

引理1 系統(tǒng)（1）在 X中是正向不變和有界的。

2 基本再生數(shù)的計(jì)算

由系統(tǒng)（1）容易得到其無(wú)病平衡點(diǎn)為：

用下一代生成矩陣［10］的方法可以求出基本再生數(shù)：

3 平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性

3.1 無(wú)病平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性

定理1 系統(tǒng)（1）的無(wú)病平衡點(diǎn)E0，當(dāng)R0＜1時(shí)，E0是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0＞1時(shí)，E0是不穩(wěn)定的。

證明 系統(tǒng)（1）在無(wú)病平衡點(diǎn)處的特征方程為：

方程（5）的2個(gè)特征根分別為：λ1＝λ2＝-τ，另外2個(gè)由以下方程確定：

因此，由以上的計(jì)算和分析可以得到：

當(dāng)R0＜1時(shí)，方程（6）有一對(duì)負(fù)實(shí)根，因此E0是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0＞1時(shí)，方程（6）由2個(gè)符號(hào)相反的實(shí)根，此時(shí)E0是不穩(wěn)定的。

3.2 地方病平衡點(diǎn)的存在性

定理2 對(duì)于系統(tǒng)（1）：

1）當(dāng) R0＞max｛1，R01｝時(shí)，它有唯一的正平衡點(diǎn)；

2）當(dāng) Rc＝R0＜min｛1，R01｝且 R01＞0時(shí)，它有唯一的正平衡點(diǎn)；

3）當(dāng) Rc＜R0＜min｛1，R01｝且 R01＞0時(shí)，它有2個(gè)不同的正平衡點(diǎn)和。

證明 不妨假設(shè)（S，I，M1，M2）＝（S*，I*，）滿足系統(tǒng)（1）的右邊均為0，計(jì)算可得

1）當(dāng)R0＞1時(shí)，有φ（0）＝R0-1＞0，φ（∞）＜0。若 Ψ≠0，φ″（I）＝-Ψ2e-ΨI＜0，有 φ′（I）＜φ′（0），即 Ψe-ΨI＜Ψ，則

當(dāng) R0＞R01時(shí)，φ（I）＝0有唯一的正解。

若 Ψ＝0，由方程（7）可得

當(dāng)R0＞1時(shí)I＞0。因此，可以求出正平衡點(diǎn)。

2）當(dāng)R0＜1時(shí)，可以得到 φ（0）＝R0-1＜0，φ（∞）＜0。若 φ′（I）＝0，則有在此情況下，為了確保I為正，必須滿足條件Ψ＞0和R0＜R01。更進(jìn)一步，當(dāng)且僅當(dāng)R0＝Rc時(shí)，仍可得I是一個(gè)正解。因此，可以求出正平衡點(diǎn)。

3）在證明2）的基礎(chǔ)上，當(dāng) φ（0）＞0時(shí)，R0＞Rc成立。此時(shí)滿足。因此，可以求出正平衡點(diǎn)。證明完畢。

3.3 地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

1）當(dāng) R0＞max｛1，R01｝，a1（）a2（）-）＞0，a1（）［a2（）a3（）-）］-（））2＞0，a4（）＞0時(shí)，地方病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的；

2）當(dāng) Rc＝R0＜min｛1，R01｝且 R01＞0時(shí)，地方病平衡點(diǎn)是一個(gè)鞍結(jié)點(diǎn)；

3）當(dāng) Rc＜R0＜min｛1，R01｝且 R01＞0時(shí)，地方病平衡點(diǎn)是一個(gè)鞍點(diǎn)；

4）當(dāng) Rc＜R0＜min｛1，R01｝且 R01＞0時(shí)，地方病平衡點(diǎn)是一個(gè)結(jié)點(diǎn)。

令 λj（）（j＝1，2，3，4）是方程（17）的根。

此時(shí)可知方程（17）有正特征根和負(fù)特征根。則系統(tǒng)（1）的地方病平衡點(diǎn)為鞍點(diǎn)。3）證明完畢。

和 λ1（）λ2（）λ3（）λ4（）＝a4（）＞0。易知 λj（）＜0（j＝1，2，3，4）。不失一般性，不妨假設(shè)：

4 分支分析

4.1 前向分支和后向分支

定理4 當(dāng)R01＜1且R0＝1時(shí)，系統(tǒng)（1）出現(xiàn)前向分支。當(dāng)R01＞1且 R0＝1時(shí)，系統(tǒng)（1）出現(xiàn)后向分支。

證明 系統(tǒng)（1）在 E0處的 Jacobian矩陣J為：

由文獻(xiàn)［12］中的定理4.1可得R0＝1時(shí)的分支參數(shù) β。因此，當(dāng)β＝βm時(shí)，系統(tǒng)（1）在E0處的特征方程為

顯然，0是一個(gè)特征根，對(duì)應(yīng)于0的一個(gè)右特征向量為 η＝（η1，η2，η3，η4）T，其中：

對(duì)應(yīng)于 0的一個(gè)左特征向量為 ξ＝（ξ1，ξ2，ξ3，ξ4），且滿足 ξJ＝0和 ξη＝1，于是有

顯然，M＞0恒成立，當(dāng)且僅當(dāng) R01＞1時(shí)，N＞0。即當(dāng)R01＜1且R0＝1時(shí)，系統(tǒng)（1）出現(xiàn)前向分支。當(dāng)R01＞1且R0＝1時(shí)，系統(tǒng)（1）出現(xiàn)后向分支。

4.2 Hopf分支

定理5 令R0＞1，當(dāng)β達(dá)到臨界值β＝βc時(shí)，系統(tǒng)（1）在附近出現(xiàn)Hopf分支。

證明 不妨假設(shè)χ（λ）有2個(gè)實(shí)根x、y和一對(duì)復(fù)根 a±bi，其中 x＜0，y＜0且 a，b∈R。則

與式（11）進(jìn)行比較，可得

其中 ai＞0（i＝1，2，3，4）由式（12）～（15）給出。當(dāng)χ（λ）＝0有一對(duì)純虛根即a＝0時(shí)，可得

且 a3（a1a2-a3）-（a1）2a4＝0，這說(shuō)明此時(shí) β＝βc，即β＝βc和一對(duì)純虛根的出現(xiàn)是一致的。把a(bǔ)＋bi代入式（11），可得χ（a＋bi）＝0。則 Re（χ（a＋bi））＝0，其中Re表示復(fù)數(shù)的實(shí)部。計(jì)算可得

由 a1、a2、a3和 a4的表達(dá)式可知，a1、a2、a3和 a4均含有β。故▽可以看作含有a和β的隱函數(shù)。則▽（a，β）＝0定義了一個(gè)自變量為 β的函數(shù)a（β）。對(duì)▽關(guān)于β求導(dǎo)，得＝0。故有。

接下來(lái)，沿著曲線β＝βm確定的符號(hào)。注意到a＝0和a2＝b2＋xy在曲線 β＝βm上，且a2、a3依賴于β，則可得

即當(dāng)β到達(dá)臨界值βc時(shí)，系統(tǒng)（1）在附近出現(xiàn)Hopf分支。證明完畢。

5 參數(shù)敏感性分析

通過(guò)分析可得

圖2說(shuō)明R0隨著γ的減小而增大，隨著β的增大而增大。圖2所取的參數(shù)為：A＝0.8，β＝0.8，ρ＝0.2，d＝0.6，γ＝0.2，p＝2／3，q＝1／3，μ1＝0.8，μ2＝0.06，τ＝0.6。圖3說(shuō)明 α、δ和 R0之間的關(guān)系。根據(jù)

可知，R0與α成反比關(guān)系，R0與δ成正比關(guān)系。即在傳染病傳播期間，適當(dāng)減少負(fù)面信息的影響和傳播，或者增加正面信息的影響和傳播，對(duì)于減少傳染病的傳播都是有重要作用的。圖3所取的參數(shù)為：A＝0.8，α＝0.4，δ＝0.2，ρ＝0.2，d＝0.6，p＝2／3，q＝1／3，μ1＝0.8，μ2＝0.06，τ＝0.6。

圖2 R0與γ、β的關(guān)系

圖3 α、δ和R0之間的關(guān)系

圖4 說(shuō)明當(dāng)R01（＜1）減小時(shí)，前向分支會(huì)出現(xiàn)，地方病平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定，而無(wú)病平衡點(diǎn)不穩(wěn)定。對(duì)于給出的一組參數(shù)值，R0的值是確定的，當(dāng)R0＜1時(shí)，染病者的數(shù)量會(huì)減小到0；當(dāng)R0＞1時(shí)，染病者的數(shù)量會(huì)增加或減小到圖中表示地方病平衡點(diǎn)的曲線。圖5說(shuō)明R01（＞1）增大時(shí)，出現(xiàn)后向分支，無(wú)病平衡點(diǎn)和較大的地方病平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定。從流行病學(xué)的意義講，后向分支的出現(xiàn)表明：僅僅使得基本再生數(shù)小于1是不足以消除某種疾病的。

圖4 前向分支

圖5 后向分支

圖6 把系統(tǒng)（1）與沒(méi)有媒體影響的經(jīng)典SIS傳染病模型（α＝0，δ＝0）進(jìn)行了比較，結(jié)果顯示，媒體報(bào)道會(huì)影響染病者的數(shù)量。圖7、8對(duì)參數(shù)進(jìn)行了敏感性分析。從圖中可以看出：當(dāng)α增加時(shí)，染病者的數(shù)量會(huì)減少；當(dāng)δ增加時(shí)，染病者的數(shù)量會(huì)增加。由此可見(jiàn)，媒體報(bào)道對(duì)傳染病的傳播有一定程度的影響。

圖6 系統(tǒng)（1）與沒(méi)有媒體影響的經(jīng)典SIS傳染病模型（α＝0，δ＝0）的比較

圖7 α敏感性分析

圖8 δ敏感性分析

6 結(jié)束語(yǔ)

本文建立并研究了一類受媒體影響的傳染病模型。分析了模型（1）的無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性。結(jié)果顯示：媒體報(bào)道在降低傳染病的傳播速度方面能起到一定的作用。另外如果考慮到信息的滯后性，系統(tǒng)或許會(huì)產(chǎn)生更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，這也是即將要開展的工作。