郝潤霞 ， 楊作續(xù)， 李 鋼， 余丁浩， 賈 碩

(1. 內(nèi)蒙古科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 包頭 014010；2. 大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024)

增量動(dòng)力分析(Incremental Dynamic Analysis,IDA)方法[1-2]是基于性態(tài)地震工程(Performance-based Earthquake Engineering,PBEE)中確定結(jié)構(gòu)在不同水準(zhǔn)地震動(dòng)響應(yīng)的參數(shù)化分析方法，可以準(zhǔn)確的觀察結(jié)構(gòu)從彈性、彈塑性直至動(dòng)力失穩(wěn)倒塌的全過程中結(jié)構(gòu)性態(tài)的發(fā)展變化規(guī)律[3]，同時(shí)可以克服靜力推覆分析(Push-Over Analysis,POA)方法特別是在結(jié)構(gòu)接近倒塌時(shí)因近似靜力分析而存在的問題[4]。然而其分析計(jì)算時(shí)運(yùn)算量大、耗時(shí)長等計(jì)算效率問題，卻嚴(yán)重地影響了其在工程應(yīng)用中的發(fā)展。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者圍繞IDA的計(jì)算效率問題開展了一系列的研究。在簡化分析方法方面，如基于靜力推覆分析的簡化近似IDA(SPO2IDA)方法[5]，該方法主要適用于基本振型控制的結(jié)構(gòu)體系；基于模態(tài)推覆分析(Modal Pushover Analysis ,MPA)的簡化快速模態(tài)增量分析(Modal Incremental Dynamic Analysis, MIDA)方法[6-7]，該方法考慮了模態(tài)選取、結(jié)構(gòu)延性和滯回模型對其計(jì)算精度的影響，當(dāng)考慮的高階振型貢獻(xiàn)越多時(shí)[8]，其計(jì)算精度越高，且保證精度的前提下，能夠有效提高計(jì)算效率，但對于不規(guī)則結(jié)構(gòu)體系適用性較差[9]；基于等效二自由度模型(Equivalent Dual Degree of Freedom ,EDDOF)的簡化IDA方法[10]，該方法以單向偏心結(jié)構(gòu)的等效二自由度模型應(yīng)用于IDA，對單向偏心結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗震性能評估，在保證較高的精度前提下，計(jì)算效率得到了大幅提高。對比分析SPO2IDA方法與MIDA方法，SPO2IDA方法計(jì)算效率更為突出，但其計(jì)算精度較差[11]。在優(yōu)化非線性求解方面，以快速非線性時(shí)程分析(Fast Nonlinear Analysis,FNA)方法[12]作為計(jì)算工具提出的快速增量動(dòng)力分析(Fast Incremental Dynamic Analysis ,FIDA)方法[13]，與傳統(tǒng)IDA方法、MIDA方法相比，F(xiàn)IDA方法在計(jì)算效率與精度上優(yōu)勢明顯。此外，如基于Nataf變換點(diǎn)估計(jì)法與單地震動(dòng)記錄IDA相結(jié)合的單地震動(dòng)記錄隨機(jī)IDA方法[14]，該方法可以使IDA分析的計(jì)算精度和計(jì)算效率達(dá)到平衡。以IDA曲線混合統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，并直接以結(jié)構(gòu)離散IDA曲線進(jìn)行地震易損性曲線及地震失效概率計(jì)算，可有效避免多余的統(tǒng)計(jì)與擬合[15]。IDA方法在結(jié)構(gòu)非線性動(dòng)力時(shí)程分析時(shí)常采用傳統(tǒng)變剛度方法，該方法在任一時(shí)刻非線性迭代步求解時(shí)，結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣需要實(shí)時(shí)合成與分解，計(jì)算量大，效率低。

擬力法(Force Analogy Method,FAM)[16-17]作為一種高效的結(jié)構(gòu)非線性分析新方法，自提出以來，被廣泛應(yīng)用到結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制[18]、消能減震[19]、抗震性能評估[20]等領(lǐng)域。之后，李鋼等[21]將其形變分解思想擴(kuò)展到材料層面，與有限元相結(jié)合，提出了基于FAM的精細(xì)化有限元非線性分析方法。在求解過程中結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣始終保持不變，非線性信息通過局部塑性矩陣予以體現(xiàn)，迭代計(jì)算時(shí)避免了傳統(tǒng)變剛度方法中結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣的實(shí)時(shí)合成與分解，且局部塑性矩陣相比傳統(tǒng)變剛度法的結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣規(guī)模小的多，可有效改善傳統(tǒng)變剛度法的計(jì)算效率問題[22]。

本文提出了基于擬力法的IDA計(jì)算方法，建立了基于FAM的IDA運(yùn)動(dòng)方程，考慮運(yùn)用FAM非線性求解時(shí)整體剛度矩陣始終保持不變的特性以及迭代求解平衡方程時(shí)步步更新位移增量的特點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)特定剛度矩陣存儲與調(diào)用，并給出本文方法與傳統(tǒng)IDA方法的時(shí)間復(fù)雜度函數(shù)，通過數(shù)值算例驗(yàn)證本文方法的準(zhǔn)確性和高效性。

1 基本理論

1.1 增量動(dòng)力分析方法

IDA法是一種基于非線性動(dòng)力時(shí)程分析的參數(shù)化分析法，其實(shí)質(zhì)是將單一強(qiáng)度的動(dòng)力時(shí)程分析擴(kuò)展成為多重強(qiáng)度的動(dòng)力時(shí)程分析，以獲取結(jié)構(gòu)在不同強(qiáng)度地震動(dòng)作用下的動(dòng)力響應(yīng)。

圖1為IDA方法的基本流程圖，即按照一定的調(diào)幅法則對待施加的一條(或多條)地震動(dòng)記錄的地震動(dòng)強(qiáng)度(Intensity Measure,IM)進(jìn)行調(diào)幅，使之成為涵蓋結(jié)構(gòu)從彈性、彈塑性直至動(dòng)力失穩(wěn)倒塌所需的多重強(qiáng)度；然后對給定的結(jié)構(gòu)模型在多重強(qiáng)度地震動(dòng)作用下分別進(jìn)行非線性動(dòng)力時(shí)程分析，得到每一強(qiáng)度下的地震最大響應(yīng)結(jié)果即結(jié)構(gòu)的工程需求參數(shù)(Engineering Demand Parameters,EDP)；將每一條地震動(dòng)記錄下一系列的離散點(diǎn)(EDP,IM)點(diǎn)繪制于二維坐標(biāo)系中，并選用合適的插值方法擬合EDP-IM關(guān)系曲線，生成一條(或多條)IDA曲線；通過在IDA曲線定義結(jié)構(gòu)不同性態(tài)水準(zhǔn)的極限狀態(tài)如：正常使用(Normal Occupancy,NO)極限狀態(tài)，立即使用(Immediate Occupancy,IO)極限狀態(tài)，生命安全(Life Safe,LS)極限狀態(tài)，防止倒塌(Collapse Prevention,CP)極限狀態(tài)，并對其趨勢及離散狀況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，可以較為準(zhǔn)確的觀察結(jié)構(gòu)在彈塑性響應(yīng)歷程中強(qiáng)度、剛度及變形的發(fā)展變化規(guī)律，能夠反映出結(jié)構(gòu)在不同水準(zhǔn)地震動(dòng)作用下地震需求能力和整體抗倒塌能力。

圖1 IDA方法流程圖Fig.1 Flow chart of IDA method

1.2 擬力法

FAM作為結(jié)構(gòu)非線性分析新方法，其核心思想是在結(jié)構(gòu)非線性分析過程中引入局部塑形機(jī)制，將結(jié)構(gòu)的變形進(jìn)行彈塑性分解。通過在結(jié)構(gòu)中設(shè)置塑性插值點(diǎn)來獲取塑性應(yīng)變分布形式，使結(jié)構(gòu)的非線性狀態(tài)可由塑性插值點(diǎn)處塑性變形予以體現(xiàn)；結(jié)構(gòu)控制方程則由虛功原理及塑性插值點(diǎn)處的內(nèi)力平衡條件給出。同時(shí)在給出結(jié)構(gòu)控制方程時(shí)僅考慮塑性插值點(diǎn)處進(jìn)入非線性狀態(tài)時(shí)塑性插值點(diǎn)(對于處于彈性狀態(tài)的塑性插值點(diǎn)處的塑性自由度為零，可進(jìn)行消元處理)。對于含有n個(gè)結(jié)點(diǎn)位移自由度、d個(gè)塑性自由度(塑性插值點(diǎn)處產(chǎn)生的塑性自由度數(shù))的結(jié)構(gòu)體系，其非線性求解時(shí)每一迭代步中，F(xiàn)AM的結(jié)構(gòu)控制方程可表示為

(1)

結(jié)合Newton-Raphson迭代方法，對于式(1)進(jìn)一步整理，得到每一非線性迭代步的求解方程可表示為

(2)

其中，

(3)

式中：Kf為局部塑性剛度矩陣，反映結(jié)構(gòu)中進(jìn)入塑性狀態(tài)的局部非線性信息，其規(guī)模與結(jié)構(gòu)中參與計(jì)算的塑性自由度數(shù)量有關(guān)。

對于傳統(tǒng)變剛度法每一非線性迭代步的求解方程可表示為

(4)

對比式(2)和式(4)可知，式(2)中系數(shù)矩陣項(xiàng)實(shí)為式(4)中結(jié)構(gòu)切線剛度矩陣的逆矩陣的等效表達(dá)。由此可知，F(xiàn)AM通過引入Kf，不僅避免了傳統(tǒng)變剛度法對切線剛度矩陣實(shí)時(shí)合成與分解時(shí)計(jì)算效率低的問題，而且保留了Newton-Raphson迭代收斂速度快的特性。式(2)即為Woodbury求逆公式，求解過程中僅需對Kf進(jìn)行實(shí)時(shí)的合成與分解即可。

2 基于擬力法的增量動(dòng)力分析

2.1 運(yùn)動(dòng)方程

結(jié)構(gòu)在地震動(dòng)作用下的運(yùn)動(dòng)方程可表示為

(5)

對于式(1)進(jìn)一步展開可寫成

(6)

(7)

對于式(6)以全量形式可進(jìn)一步表示為

(8)

將式(8)代入式(5)，并考慮引入地震動(dòng)強(qiáng)度調(diào)幅系數(shù)λi(i=1,2,...,n)，用以表示不同的調(diào)幅強(qiáng)度，即可得到多重強(qiáng)度下的基于FAM的IDA運(yùn)動(dòng)方程為

(9)

2.2 方程求解

這里以Newmark-β方法[23]為例，以增量形式對式(9)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行逐步積分求解，得到λi調(diào)幅強(qiáng)度下時(shí)間步長為Δtj(j=1,2,...,n表示不同的時(shí)間步長)的位移增量向量的等效平衡方程可表示為

(10)

其中，

(11)

(12)

(13)

式(13)為Woodbury求逆公式，對于式(13)可進(jìn)一步表示為

ΔX=ΔX1+ΔX2

(14)

其中，

(15)

(16)

(17)

2.3 剛度矩陣存儲與調(diào)用

本文方法的特定剛度矩陣存儲與調(diào)用流程示意如圖2所示。

圖2 本文方法的特定剛度矩陣存儲與調(diào)用流程圖Fig.2 Flow chart of storage and call of a particular stiffness matrix of this method

3 計(jì)算效率評價(jià)

算法時(shí)間復(fù)雜度分析[24]作為一種行之有效的評價(jià)算法效率的分析方法，其將運(yùn)行的算法從計(jì)算機(jī)中抽象出來，使其量化結(jié)果不受計(jì)算條件的影響，依據(jù)算法時(shí)間復(fù)雜度與算法計(jì)算效率之間的關(guān)系(算法時(shí)間復(fù)雜度越高，算法計(jì)算效率越低)，可直接用于定量的評價(jià)算法的計(jì)算效率。文獻(xiàn)[25]中采用算法時(shí)間復(fù)雜度理論對比分析了FAM與傳統(tǒng)變剛度方法的計(jì)算效率。基于文獻(xiàn)[25]已有理論，本文將算法時(shí)間復(fù)雜度理論應(yīng)用于IDA分析的效率評價(jià)中，考慮特定矩陣的調(diào)用特性，忽略矩陣調(diào)用等次要運(yùn)算的時(shí)間復(fù)雜度，給出本文方法與傳統(tǒng)IDA方法的算法時(shí)間復(fù)雜度函數(shù)，從數(shù)學(xué)理論的角度用以揭示本文方法較傳統(tǒng)IDA方法在IDA分析時(shí)所具有的計(jì)算高效性。本節(jié)從IDA的實(shí)質(zhì)出發(fā)，考慮非線性動(dòng)力時(shí)程分析中，結(jié)點(diǎn)位移的求解最為耗時(shí)，且本文方法與傳統(tǒng)IDA方法主要區(qū)別也在于此，故本節(jié)僅對結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)位移求解部分進(jìn)行算法時(shí)間復(fù)雜度分析討論。

本節(jié)以單一地震動(dòng)記錄的IDA分析為例，分別對本文方法與傳統(tǒng)IDA方法的算法時(shí)間復(fù)雜度進(jìn)行分析比較。對于本文1.2節(jié)給出的結(jié)點(diǎn)位移自由度數(shù)為n，塑性自由度數(shù)為d的結(jié)構(gòu)體系，考慮因算法的迭代次數(shù)對復(fù)雜度分析的影響，假定兩種方法在計(jì)算結(jié)點(diǎn)位移時(shí)均采用Newton-Raphson迭代法，即保證相同的收斂速度，記IDA分析每一強(qiáng)度下的非線性動(dòng)力時(shí)程分析所需迭代次數(shù)為Ni(i對應(yīng)于IDA分析時(shí)調(diào)幅系數(shù)的下標(biāo)，用以表征不同調(diào)幅的強(qiáng)度)。

3.1 算法時(shí)間復(fù)雜度

(1)本文方法

考慮本文方法在求解結(jié)點(diǎn)位移時(shí)，各系數(shù)矩陣項(xiàng)的特殊性質(zhì)(如稀疏性、帶狀性、對稱性、可存儲性等)以及計(jì)算次序?qū)λ惴〞r(shí)間復(fù)雜度的影響，忽略矩陣調(diào)用等次要運(yùn)算的復(fù)雜度，以最合適的計(jì)算方式進(jìn)行算法時(shí)間復(fù)雜度分析。則本文方法的一次非線性動(dòng)力時(shí)程分析的時(shí)間復(fù)雜度，如表1所示。

表1 本文方法的時(shí)間復(fù)雜度

本文方法在單一地震動(dòng)記錄下總時(shí)間復(fù)雜度可表示為

(18)

(2)傳統(tǒng)IDA方法

傳統(tǒng)IDA方法在單一地震動(dòng)記錄下總時(shí)間復(fù)雜度可表示為

(19)

3.2 效率對比

(20)

從上述分析可知，di值的大小是影響兩種方法的時(shí)間復(fù)雜度差異的重要參數(shù)。取ηmax=dimax/n為塑性自由度數(shù)理論最大值dimax與結(jié)點(diǎn)位移自由度數(shù)比值，以結(jié)點(diǎn)位移自由度n=500，n=1 000，n=2 000為例，分別給出如圖3所示兩種方法的時(shí)間復(fù)雜度隨塑性自由度比值ηmax的變化的關(guān)系曲線。

從圖3中可以看出，本文方法的時(shí)間復(fù)雜度隨ηmax的增大而增大；時(shí)間復(fù)雜度增長速率隨著結(jié)點(diǎn)位移自由度數(shù)的增大而逐漸增強(qiáng)；達(dá)到dimax時(shí)的塑性自由度比例隨著結(jié)點(diǎn)位移自由度數(shù)的增大而減小。對于不同結(jié)點(diǎn)位移自由度的結(jié)構(gòu)來說，當(dāng)ηmax較小時(shí)，本文方法的效率優(yōu)勢明顯；隨著ηmax的逐漸增大，優(yōu)勢逐漸減弱；當(dāng)d≥dimax，本文方法的效率將劣于傳統(tǒng)方法。

圖3 塑性自由度比值與時(shí)間復(fù)雜度關(guān)系曲線Fig.3 The relationship between the ratio of plastic degree of freedom and time complexity

事實(shí)上，隨著λi不斷增大，結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)了從線彈性、彈塑性直至動(dòng)力失穩(wěn)倒塌的全過程，在這一過程中結(jié)構(gòu)往往只有少部分截面或區(qū)域(薄弱部位)產(chǎn)生了非線性變形即此部位塑性插值點(diǎn)處的塑性自由度被激活，而這部位相對于整個(gè)結(jié)構(gòu)所占比例較小，如框架結(jié)構(gòu)的非線性變形一般集中于梁或柱的端部，構(gòu)件的中間大部分區(qū)域并不會進(jìn)入非線性狀態(tài)。因此，通常情況下，結(jié)構(gòu)出現(xiàn)di≥dimax情況的概率較小，不會影響整個(gè)IDA分析過程的計(jì)算效率評價(jià)。

4 數(shù)值算例

4.1 工程概況

本文所選結(jié)構(gòu)模型為8層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)，抗震設(shè)防烈度Ⅷ度(0.30g),設(shè)計(jì)地震分組為第一組，場地類別為Ⅱ類，結(jié)構(gòu)阻尼比為5%。結(jié)構(gòu)平面布置如圖4所示，樓面恒荷載標(biāo)準(zhǔn)值為5.0 kN/m2， 活荷載標(biāo)準(zhǔn)值為2.0 kN/m2，屋面恒荷載為6.0 kN/m2，屋面活荷載為0.5 kN/m2。樓層層重按1.0×恒載+0.5×活載折算。首層層高3.9 m，其余各層層高3.3 m，結(jié)構(gòu)總高度27 m。結(jié)構(gòu)梁柱尺寸及配筋見表2?；炷翉?qiáng)度等級，柱、梁、樓板均為C30；梁柱縱向鋼筋為HRB400，箍筋為HPB300。由于結(jié)構(gòu)平面對稱，選取一榀橫向框架(3軸線)進(jìn)行建模與分析，結(jié)構(gòu)立面模型如圖5所示。

圖4 結(jié)構(gòu)平面布置簡圖(單位：mm)Fig.4 Sketch of structural plane layout(unit:mm)

圖5 結(jié)構(gòu)立面布置簡圖(單位：mm)Fig.5 Sketch of structural vertical layout(unit:mm)

樓層梁截面/mm配筋/mm2中柱截面/mm配筋/mm2邊柱截面/mm配筋/mm21300×6004 688(BL)6 541(ZL)700×7008 758700×70011 7842300×6004 688(BL)6 541(ZL)700×7005 024700×7005 0243300×6004 688(BL)6 541(ZL)700×7005 024700×7005 0244300×6004 688(BL)6 541(ZL)700×7005 024700×7005 0245300×6004 112600×6003 786600×6003 7866300×6004 112600×6003 786600×6003 7867300×6004 112600×6003 786600×6003 7868300×6002 518600×6003 786600×6003 786注:BL為邊梁;ZL為中梁

4.2 有限元模型

分別采用有限元分析軟件ABAQUS和FAM程序建立分析模型進(jìn)行結(jié)構(gòu)的動(dòng)力非線性分析，采用迭代法，不考慮P-delta效應(yīng)，兩種方法的梁柱均選用纖維梁單元予以模擬，單元類型為B32。其中每個(gè)構(gòu)件劃分3個(gè)單元，選取的一榀橫向框架結(jié)構(gòu)共計(jì)168個(gè)單元，864個(gè)結(jié)點(diǎn)位移自由度，1 008個(gè)塑性自由度，梁柱截面纖維劃分均為10×10，每根鋼筋相當(dāng)于1根纖維；鋼筋選用彈塑性隨動(dòng)硬化單軸本構(gòu)模型；混凝土本構(gòu)的骨架曲線選用Kent-Park[28]模型，采用Yassin[29]提出的滯回規(guī)則，其中ABAQUS中材料本構(gòu)模型調(diào)用清華大學(xué)開發(fā)的子程序PQ-Fiber進(jìn)行定義。結(jié)合兩種方法對此框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行單一地震下的IDA分析。

4.3 IDA分析及對比

為便于量化地震動(dòng)強(qiáng)度等級，本文選用PGA作為地震動(dòng)強(qiáng)度指標(biāo)，地震動(dòng)如圖5所示方向輸入，考慮場地類型、震級、峰值加速度等因素，以FEMA P695[30]推薦的22組遠(yuǎn)場地震動(dòng)記錄(共44條水平分量)中隨機(jī)選取一條地震動(dòng)記錄Northridge波(NORTHR-MUL279)并歸一化處理后作為IDA分析的地震動(dòng)輸入，持時(shí)取20 s。根據(jù)Vamvatsikos等的建議，依據(jù)hunt & fill調(diào)幅法則進(jìn)行PGA調(diào)幅，給定PGA初值為0.035g，調(diào)幅步長取0.2g，步長增量取0.05g?？紤]到層間位移角與樓層層間的變形能力以及節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)能力有關(guān)，能夠反映結(jié)構(gòu)的層間位移延性和整體位移延性，選取最大層間位移角θmax作為工程需求參數(shù)以及倒塌點(diǎn)的判定指標(biāo)。結(jié)合文獻(xiàn)[31]給出鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)的不同性態(tài)水準(zhǔn)下的最大層間位移角限值，如表3所示，當(dāng)給定最小Δtj下數(shù)值算法仍不收斂或結(jié)構(gòu)的最大層間位移角θmax>4%時(shí)，可認(rèn)為結(jié)構(gòu)倒塌并結(jié)束計(jì)算。

表3 RC框架結(jié)構(gòu)不同性態(tài)水準(zhǔn)下層間位移角限值

通過IDA分析，得到該結(jié)構(gòu)的工程需求參數(shù)最大層間位移角θmax與地震動(dòng)強(qiáng)度指標(biāo)PGA的關(guān)系曲線，即IDA曲線，如圖6所示。

由圖6可以看出，對于結(jié)構(gòu)的變形而言，本文方法與傳統(tǒng)方法的計(jì)算結(jié)果基本一致，誤差0.8%～5.5%，兩者的IDA曲線基本吻合；在PGA處于0～0.2g內(nèi)時(shí)，此時(shí)調(diào)幅強(qiáng)度較小，結(jié)構(gòu)處于線彈性狀態(tài)，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)與地震動(dòng)強(qiáng)度基本成線性關(guān)系，計(jì)算結(jié)果誤差在1%左右，兩種方法的IDA曲線基本一致；隨著調(diào)幅強(qiáng)度的逐漸增大，結(jié)構(gòu)達(dá)到屈服，非線性狀態(tài)逐步發(fā)展，在PGA處于0.2～0.6g內(nèi)時(shí)，計(jì)算結(jié)果誤差在3.5%左右；當(dāng)繼續(xù)調(diào)幅地震動(dòng)強(qiáng)度(PGA≈0.625g后)，曲線開始表現(xiàn)出了較小的差異，計(jì)算結(jié)果誤差在5.5%左右，究其原因是兩種方法在計(jì)算過程中引入的計(jì)算累積誤差的差異性以及結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)與地震動(dòng)強(qiáng)度之間顯著的非線性關(guān)系等造成的；在PGA處于0.8～0.9g內(nèi)時(shí)，結(jié)構(gòu)的性能變化特征表現(xiàn)出強(qiáng)化現(xiàn)象，使得曲線的斜率出現(xiàn)上升；當(dāng)PGA>0.9g后，結(jié)構(gòu)在微小的地震動(dòng)強(qiáng)度激勵(lì)下即可引起較大的地震動(dòng)力響應(yīng)，此時(shí)結(jié)構(gòu)的最大層間位移角θmax趨于無窮大，結(jié)構(gòu)體系已達(dá)到整體動(dòng)力失穩(wěn)狀態(tài)。結(jié)合IDA方法的最終目的是通過IDA曲線簇進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，從概率的意義上用以評估結(jié)構(gòu)的抗震性能。綜上所述，本文方法在計(jì)算精度方面是可予以保證的，對結(jié)構(gòu)的IDA分析是合理準(zhǔn)確的。

圖6 結(jié)構(gòu)的IDA曲線Fig.6 IDA curve of the structure

4.4 計(jì)算效率分析

通過4.3節(jié)IDA分析，可獲取該結(jié)構(gòu)在每一強(qiáng)度下每一非線性迭代步產(chǎn)生的塑性自由度數(shù)的曲線。由于篇幅有限，以調(diào)幅強(qiáng)度為0.635g為例，現(xiàn)給出該強(qiáng)度下每一時(shí)間增量步的塑性自由度數(shù)曲線，如圖7所示。

圖7 塑性自由度數(shù)曲線Fig.7 Number of plastic degrees of freedom curve

由圖8可以看出，在整個(gè)時(shí)程分析的過程中，傳統(tǒng)方法的時(shí)間復(fù)雜度均高于本文方法；本文方法產(chǎn)生的時(shí)間復(fù)雜度的最大值約為1.94×107，但僅僅發(fā)生在最大迭代次數(shù)所在的時(shí)間增量步內(nèi)，其每一時(shí)間增量步的時(shí)間復(fù)雜度的平均值約為2.16×106，將每一時(shí)間增量步下的時(shí)間復(fù)雜度匯總可得到本文方法的總時(shí)間復(fù)雜度約為4.32×109；對于傳統(tǒng)IDA方法產(chǎn)生的時(shí)間復(fù)雜度的最大值約為6.65×107，其每一時(shí)間增量步的時(shí)間復(fù)雜度的平均值約為9.29×106。兩種方法時(shí)間復(fù)雜度對比可知，本文方法的時(shí)間復(fù)雜度的平均值(約為2.16×106)僅為傳統(tǒng)IDA方法時(shí)間復(fù)雜度的平均值(約為9.29×106)的23.25%，即該強(qiáng)度下本文方法的總時(shí)間復(fù)雜度僅為傳統(tǒng)IDA方法的總時(shí)間復(fù)雜度的23.25%。

圖8 時(shí)間復(fù)雜度曲線Fig.8 Time complexity curve

現(xiàn)給出地震動(dòng)記錄Northridge波下的IDA的不同調(diào)幅強(qiáng)度的時(shí)間復(fù)雜度以及復(fù)雜度比，如表4所示。

表4 本文方法與傳統(tǒng)IDA方法的時(shí)間復(fù)雜度對比

由表4中可知，兩種方法的時(shí)間復(fù)雜度隨著調(diào)幅強(qiáng)度的不斷增大，呈現(xiàn)增大的趨勢。當(dāng)調(diào)幅強(qiáng)度較小時(shí)，如0.035g，0.135g，0.235g，0.36g，此時(shí)結(jié)構(gòu)處于線彈性狀態(tài)或僅有極少部分進(jìn)入塑性狀態(tài)，結(jié)構(gòu)中被激活的塑性自由度數(shù)遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移自由度數(shù)，此時(shí)本文方法的時(shí)間復(fù)雜度相對于傳統(tǒng)方法的優(yōu)勢較為明顯，僅為傳統(tǒng)方法時(shí)間復(fù)雜度的10%以下。隨著調(diào)幅強(qiáng)度的不斷增大，結(jié)構(gòu)進(jìn)入塑性狀態(tài)的程度加大，此時(shí)塑性自由度數(shù)不斷增加，使得本文方法的時(shí)間復(fù)雜度相對于傳統(tǒng)方法的優(yōu)勢逐漸縮減。當(dāng)調(diào)幅強(qiáng)度為0.035g時(shí)，本文方法的時(shí)間復(fù)雜度量級僅為108，復(fù)雜度比約為6%；而當(dāng)調(diào)幅系數(shù)為0.916 25g時(shí)，此時(shí)結(jié)構(gòu)處于倒塌極限狀態(tài)，時(shí)間復(fù)雜度量級為1011，復(fù)雜度比約為56%。兩強(qiáng)度之間的時(shí)間復(fù)雜度量級相差近103之多，復(fù)雜度比相差近50%。將各個(gè)調(diào)幅強(qiáng)度下的時(shí)間復(fù)雜度累積求和，本文方法的總的時(shí)間復(fù)雜度(1.597 8×1011)僅約為傳統(tǒng)IDA方法(3.854 8×1011)的41.45%。由上述分析可知，本文方法較傳統(tǒng)IDA方法具有較明顯的計(jì)算效率優(yōu)勢且隨著調(diào)幅強(qiáng)度的逐漸增大而減少。

5 結(jié) 論

本文針對傳統(tǒng)IDA方法在結(jié)構(gòu)非線性動(dòng)力時(shí)程分析時(shí)計(jì)算量大、耗時(shí)長的問題，從優(yōu)化非線性求解方面出發(fā)，以FAM作為結(jié)構(gòu)非線性分析工具，提出了一種基于FAM的IDA方法，并通過8層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)IDA分析，得到如下結(jié)論：

(1) 通過引入附加虛擬荷載項(xiàng)，使得結(jié)構(gòu)非線性求解過程中整體剛度矩陣始終保持等效彈性剛度矩陣不變(時(shí)間步長一定時(shí))，避免了傳統(tǒng)IDA方法等效切線剛度矩陣實(shí)時(shí)分解與更新，從而提高了計(jì)算效率。

(2) 通過建立特定剛度矩陣存儲與調(diào)用機(jī)制，實(shí)現(xiàn)了IDA分析全過程中特定矩陣的重復(fù)調(diào)用回代求解，以減少計(jì)算工作量，進(jìn)而提高了計(jì)算效率。

(3) 計(jì)算精度上，本文方法與傳統(tǒng)IDA方法的計(jì)算結(jié)果較為吻合，驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性。

(4) 計(jì)算效率上，對非線性動(dòng)力時(shí)程分析最為耗時(shí)的結(jié)點(diǎn)位移求解部分，采用時(shí)間復(fù)雜度評價(jià)方法進(jìn)行了定量地分析，針對本文中算例，基于擬力法的IDA方法的時(shí)間復(fù)雜度約為傳統(tǒng)IDA方法的41.45%，驗(yàn)證了本文方法較傳統(tǒng)IDA方法具有明顯的計(jì)算效率優(yōu)勢。