王秀振， 錢永久， 宋 帥

(1. 西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，成都 610031; 2. 太原理工大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院，太原 030024)

在工程抗震計(jì)算中，結(jié)構(gòu)地震需求分析是地震易損性分析的重要基礎(chǔ)，近些年結(jié)構(gòu)地震需求分析的研究成果較多。陳亮等[1]進(jìn)行了非線性動(dòng)力分析，發(fā)現(xiàn)在高頻區(qū)段的大跨徑橋梁中，反應(yīng)譜對其結(jié)構(gòu)地震需求的影響很大。劉驍驍?shù)萚2]計(jì)算了框架結(jié)構(gòu)基于概率地震需求分析的多維的地震易損性，描述了對多個(gè)輸入隨機(jī)參數(shù)敏感的結(jié)構(gòu)的破壞現(xiàn)象。周世軍等[3]以概率地震需求模型，基于已有數(shù)據(jù)，分析了預(yù)應(yīng)力簡支箱梁橋的地震需求，研究發(fā)現(xiàn)兩次非線性回歸方法的概率需求模型比線性回歸分析方法的概率需求模型更可靠。

局部敏感性分析是不確定性分析領(lǐng)域傳統(tǒng)的研究方法，通過研究輸入隨機(jī)變量在指定的名義值變化時(shí)，輸出反應(yīng)量的變化來研究輸入隨機(jī)變量對輸出反應(yīng)量的影響程度[4]。除此之外，還有一種不確定分析領(lǐng)域的研究方法：重要性度量分析，這是一種全局敏感性分析方法，可以研究輸入隨機(jī)變量在所有可能的取值處變化時(shí)，輸出反應(yīng)量的變化情況[5]。重要性分析常用方法有點(diǎn)估計(jì)法[6]、態(tài)相關(guān)參數(shù)法[7]和Monte-Carlo數(shù)值模擬法[8]等。

宋帥等[9]為了分析橋梁中的輸入隨機(jī)變量對地震需求的影響，提出用全局敏感性分析方法對輸入隨機(jī)變量進(jìn)行了重要性排序。尹犟等[10]對鋼筋混凝土框架進(jìn)行了局部敏感性分析，采用3種方法研究了地震動(dòng)強(qiáng)度和結(jié)構(gòu)中的輸入隨機(jī)變量對4種結(jié)構(gòu)地震需求的影響程度。發(fā)現(xiàn)地震動(dòng)強(qiáng)度對結(jié)構(gòu)地震需求的影響最為顯著，結(jié)構(gòu)質(zhì)量、混凝土的抗壓強(qiáng)度以及結(jié)構(gòu)阻尼的影響也較大，其他輸入隨機(jī)變量的影響比較小。董現(xiàn)等[11]針對蒙特卡羅方法出現(xiàn)的計(jì)算速度慢和未考慮輸入隨機(jī)變量之間的相關(guān)性問題，采用混沌粒子群算法，考慮了輸入隨機(jī)變量的相關(guān)性，通過等效變換的隨機(jī)序列進(jìn)行了隨機(jī)性分析，提出了靈敏性測度方法，發(fā)現(xiàn)所提出的方法是很好地反映靈敏性的方法。

本文提出將隨機(jī)森林算法和最小角回歸算法應(yīng)用到輸入隨機(jī)變量對輸出反應(yīng)量的重要性度量分析中，以帶黏滯阻尼器的鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)為例，對影響框架結(jié)構(gòu)地震需求的結(jié)構(gòu)中的輸入隨機(jī)變量進(jìn)行了重要性度量分析，并同時(shí)用Monte-Carlo數(shù)值模擬法進(jìn)行對比，驗(yàn)證兩種方法的有效性以及高效性。

1 重要性度量方法

1.1 基于隨機(jī)森林的重要性度量方法

1.1.1 隨機(jī)森林基本原理

2001年，Bremain結(jié)合劃分隨機(jī)子空間策略的方法和Bagging學(xué)習(xí)理論，提出隨機(jī)森林算法(Random Forest, RF)，以分類回歸樹作為它的元分類器。

隨機(jī)森林有回歸和分類兩種技術(shù)，隨機(jī)森林回歸算法是在隨機(jī)子空間策略方法和Bagging學(xué)習(xí)理論基礎(chǔ)上，提出來的一種集成的算法。

每棵分類回歸樹在生成時(shí)，隨機(jī)森林回歸算法都是獨(dú)立的抽取特征和樣本，隨機(jī)森林回歸的就是生成多棵分類回歸樹的過程，因此天生的可并行性是隨機(jī)森林回歸的一大特點(diǎn)，所以運(yùn)行時(shí)間可以大大減少。

如圖1所示，每一棵CART樹的構(gòu)建，都要用Bootstrap重抽樣方法從大小為n的訓(xùn)練子樣本集中抽樣，使構(gòu)建CART樹的具體數(shù)據(jù)有差別，然后將多棵CART樹的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行組合，利用投票的方法得出最終結(jié)果。

圖1 隨機(jī)森林回歸示意圖Fig.1 Random forest regression sketch map

1.1.2 結(jié)構(gòu)地震需求獲得方法

(1) 首先抽取N個(gè)低偏差的sobol序列樣本，根據(jù)各個(gè)輸入隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的樣本值，N個(gè)輸入隨機(jī)變量的樣本值排為一列，假設(shè)有n個(gè)輸入隨機(jī)變量，則可得到所有樣本值的N×n維的樣本矩陣

(1)

(2) 將矩陣A中的各個(gè)樣本值輸入到OpenSEES軟件的模型中，計(jì)算輸出反應(yīng)量(結(jié)構(gòu)地震需求)，產(chǎn)生N個(gè)結(jié)構(gòu)地震需求Y的樣本值

(2)

1.1.3 重要性度量方法

總體訓(xùn)練樣本集采用重抽樣方法抽樣后，每個(gè)樣本不被抽中的概率是(1-1/N)N，其中N代表總體訓(xùn)練樣本集的樣本數(shù)。當(dāng)N較大時(shí)，(1-1/N)N收斂于1/e≈0.368，這表明總體訓(xùn)練樣本集中大概有36.8%的“袋外數(shù)據(jù)”(Out of Bag, OOB)會不在訓(xùn)練子樣本集中，所以可用它們作為測試數(shù)據(jù)集來評價(jià)隨機(jī)森林預(yù)測性能，這種方法方法稱為OOB估計(jì)(Out of Bag Estimation )，相應(yīng)的指標(biāo)成為%IncMSE。若隨機(jī)森林中決策樹的數(shù)量足夠多，OOB估計(jì)具有無偏性的特點(diǎn)[12-13]。

隨機(jī)改變隨機(jī)森林模型中某個(gè)輸入隨機(jī)變量時(shí)(噪聲擾動(dòng))，可以將擾動(dòng)對隨機(jī)森林模型的影響程度作為該輸入隨機(jī)變量相對重要性的度量，在隨機(jī)森林回歸分析時(shí)，可以采用“袋外數(shù)據(jù)”估計(jì)的均方誤差的平均遞減值來評價(jià)輸入隨機(jī)變量對回歸模型的重要性，均方誤差的定義是

(3)

1.2 基于最小角回歸的重要性度量方法

1.2.1 最小角回歸基本原理

2004年，Efron等[14]提出了最小角回歸(Least Angle Regression, LARS)算法，最小角回歸算法的步驟如圖2所示，具體如下[15]：

步驟1判斷輸入自變量x與輸出反應(yīng)量y的相關(guān)度，然后用有最大相關(guān)度的輸入自變量xi對y逼近；

步驟2找到另一個(gè)與y具有相同相關(guān)度的輸入自變量xj，即rxiy=rxjy， 然后從xi與xj的角平分線方向xu逼近y；

步驟3同理，若出現(xiàn)第3個(gè)輸入自變量xk與輸出反應(yīng)量y的相關(guān)度與xi相同， 則將xk也納入到逼近列隊(duì)，選擇3個(gè)向量共同的角平分線方向xv施行新一輪的逼近，此時(shí)角平分線方向表示多維空間中多個(gè)向量的平分線方向；

步驟4逐步逼近直到所有輸入自變量都參與到逼近中，或者殘差小于某個(gè)設(shè)定的閾值時(shí)，結(jié)束算法。

圖2 LARS計(jì)算步驟Fig.2 LARS calculation procedure

1.2.2 重要性度量方法

假設(shè)輸出反應(yīng)量(結(jié)構(gòu)地震需求)的N個(gè)樣本值為yk(k=1,2,…,N), 結(jié)構(gòu)地震需求Y的總方差為

(4)

(5)

則基于最小角回歸模型的重要性度量指標(biāo)Si

(6)

對于輸入隨機(jī)變量為n維時(shí)，用n個(gè)輸入隨機(jī)變量分別代入隨機(jī)森林回歸模型中，得到預(yù)測值，然后得到所有輸入隨機(jī)變量的重要性度量指標(biāo)Si(i=1,2,…,n)。

1.3 Monte-Carlo數(shù)值模擬法

1.3.1 基于方差的重要性度量指標(biāo)

(7)

式中：Xi為輸入隨機(jī)變量組[Xi1，Xi2，…，Xir](1≤i1≤…≤ir≤n)或輸入隨機(jī)變量Xi，E(Var(Y|Xi))是Xi作用下，Y的條件方差的均值。

1.3.2 求解方法

準(zhǔn)蒙特卡洛法是抽樣方法中需要樣本量較少的一種方法，為了在樣本量較少的情況下仍然得到較好的結(jié)果，本文采用低偏差的Sobol序列(當(dāng)樣本量達(dá)到500左右時(shí)，方差和數(shù)學(xué)期望的偏差在千分之一以內(nèi))，根據(jù)各個(gè)輸入隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的樣本，樣本量為幾百即可得到合理的結(jié)果，具體如下：

結(jié)構(gòu)地震需求Y的無偏無條件方差Var(Y)如式(4)所示， 無偏條件方差Var(Y|Xi)為

(8)

1.4 計(jì)算流程

圖3 計(jì)算流程Fig.3 Calculation process

2 工程實(shí)例

某7層3跨的鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)，黏滯阻尼器的阻尼指數(shù)為1，底層層高4 200 mm，標(biāo)準(zhǔn)層層高3 600 mm，如圖 4所示。柱距均為6 000 mm，樓板的厚度為120 mm，混凝土強(qiáng)度等級為C40，鋼筋強(qiáng)度等級為HRB335，輸入隨機(jī)變量的信息，如表1所示。

圖4 結(jié)構(gòu)簡圖Fig.4 Structure diagram

輸入隨機(jī)變量變異系數(shù)均值分布類型黏滯阻尼器的阻尼系數(shù)c/(kN·s·mm-1)0.13正態(tài)黏滯阻尼器的剛度k/(kN·mm-1)0.1100正態(tài)阻尼比DA0.2[16]0.055正態(tài)結(jié)構(gòu)質(zhì)量Ms/(kN·m-2)0.1[17]6正態(tài)鋼筋屈服強(qiáng)度fy/MPa0.078[18]384對數(shù)正態(tài)鋼筋彈性模量Es/MPa0.033[19]228 559正態(tài)混凝土強(qiáng)度fc/MPa0.1434.82正態(tài)混凝土彈性模量Ec/MPa0.08[20]33904正態(tài)注:表中結(jié)構(gòu)質(zhì)量取為重力荷載代表值

本文地面運(yùn)動(dòng)加速度采用El Centro地震波，用OpenSees有限元軟件進(jìn)行非線性動(dòng)力時(shí)程分析，運(yùn)用Maxwell單元模擬黏滯阻尼器，柱和梁都采用宏觀的非線性纖維梁柱單元，鋼筋采用Steel02單元材料模型，混凝土采用Concrete02單元材料模型，選擇基底剪力、頂點(diǎn)位移和最大層間位移角這3種地震需求進(jìn)行重要性度量分析。

3 重要性度量分析結(jié)果

3.1 基于隨機(jī)森林的重要性度量指標(biāo)

圖5給出了基于隨機(jī)森林的重要性度量指標(biāo)，從圖5可知，同一輸入隨機(jī)變量對3種不同的地震需求的影響水平不盡相同，但黏滯阻尼器的剛度和混凝土的彈性模量對3種地震需求的影響都較小。

圖5 隨機(jī)森林重要性度量指標(biāo)Fig.5 Random forest importance measure index

3.2 基于最小角回歸的重要性度量指標(biāo)

圖6給出了基于最小角回歸的各個(gè)輸入隨機(jī)變量對應(yīng)的最大層間位移角需求的預(yù)測值趨勢線，從圖中可以看出，阻尼比、鋼筋的屈服強(qiáng)度和黏滯阻尼器的阻尼系數(shù)所對應(yīng)直線的斜率較大，而混凝土的抗壓強(qiáng)度和彈性模量以及黏滯阻尼器的剛度所對應(yīng)直線的斜率較小。由于篇幅所限，其他兩種地震需求的預(yù)測值趨勢線不再一一列出。

圖6 LARS最大層間位移角需求預(yù)測值Fig.6 The predicted value of LARS’ most story drift angle demand

圖7給出了基于最小角回歸和Monte-Carlo數(shù)值模擬法的重要性度量指標(biāo)結(jié)果，從圖7可知，Ms和DA對結(jié)構(gòu)地震需求的影響最大，而Ec和k的影響都很小。

圖7 不同方法重要性度量指標(biāo)Fig.7 Importance measure index under different methods

4 結(jié)果對比

本文采用3種方法進(jìn)行重要性度量分析，都是是全局敏感性分析方法。為便于對用3種方法的重要性度量結(jié)果進(jìn)行對比，將3種方法得到的輸入隨機(jī)變量的重要性度量分析排序結(jié)果列于表2中。

表2 輸入隨機(jī)變量的重要性排序

由表3可知，采用3種方法得到的輸入隨機(jī)變量的重要性度量分析排序，除極個(gè)別稍有差別外，基本完全一致，3種分析方法的結(jié)果均表明：鋼筋的屈服強(qiáng)度和阻尼比對3種結(jié)構(gòu)地震需求的影響都很顯著，黏滯阻尼器的剛度和混凝土的彈性模量的影響都較小。

5 結(jié) 論

本文通過隨機(jī)森林和最小角回歸方法，對一帶黏滯阻尼器的鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行了非線性動(dòng)力時(shí)程分析，得到了3種結(jié)構(gòu)地震需求，對8個(gè)輸入隨機(jī)變量進(jìn)行了重要性度量分析，并通過Monte-Carlo數(shù)值模擬法進(jìn)行對比，得到如下結(jié)論：

(1) 對于同一種結(jié)構(gòu)地震需求，采用3種不同分析方法時(shí)，輸入隨機(jī)變量的重要性排序基本相同。

(2) 基于隨機(jī)森林和最小角回歸的重要性度量分析方法與Monte-Carlo數(shù)值模擬法相比，在總樣本量少很多的情況下，得到的重要性排序結(jié)果與Monte-Carlo數(shù)值模擬法基本相同。

(3) 同一輸入隨機(jī)變量對結(jié)構(gòu)的3種不同結(jié)構(gòu)地震需求的重要性排序差別較大，即同一輸入隨機(jī)變量對不同地震需求的影響水平基本不同。

(4) 對于本文的3種不同結(jié)構(gòu)地震需求，采用上述3種不同的重要性度量分析方法時(shí)，阻尼比、結(jié)構(gòu)質(zhì)量和鋼筋的屈服強(qiáng)度的重要性排序均靠前；而黏滯阻尼器的剛度和混凝土的彈性模量的重要性排序均靠后。

通過不同分析方法的對比可見，本文提出的基于隨機(jī)森林和最小角回歸的重要性度量分析方法是高效準(zhǔn)確的方法，在復(fù)雜結(jié)構(gòu)的重要性度量分析中可以使樣本量大大減少，這對結(jié)構(gòu)抗震具有重要的參考意義。