福建省泉州第五中學 (郵編：362000) 福建省泉州實驗中學 (郵編：362000)

研讀2017年高考浙江卷的壓軸試題，追根溯源，發(fā)現(xiàn)本題源自數(shù)列不動點的解題思想，將數(shù)列、函數(shù)、不等式等知識進行交匯，并從中提煉、設置問題．下面展示探究本題命題方法的思考過程，并根據(jù)此命題方法進行試題命制.

1 試題展示

題目(2017年高考浙江卷理科)已知數(shù)列{xn}滿足x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*).

證明：當n∈N*時,

(Ⅰ)0

2 命題手法探究

數(shù)列是特殊的函數(shù)，命題者考慮以函數(shù)為背景構造遞推數(shù)列，并利用函數(shù)與導數(shù)來研究數(shù)列的性質，強調數(shù)列的本質.

第一步：確定函數(shù)解析式.

命題者先確定題干的函數(shù)背景.

指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)是高中階段學習的兩個重要的基本初等函數(shù)，是函數(shù)與導數(shù)題目中的熱點函數(shù)模型；不等式x-1≥lnx、ex≥x+1更是教材的習題中證明過的一組不等式，命題者擬增加考查不等式x-1≥lnx的放縮應用(可以變形為x≥ln(x+1))，故確定函數(shù)模型f(x)=ln(x+1)+x.

第二步：確定遞推數(shù)列，尋找不等關系.

接著，命題者構造數(shù)列{xn}滿足遞推關系xn=xn+1+ln(1+xn+1).

圖1

由x≥ln(x+1)，知當x>0時，x

圖2

第三步：模擬學生解答.

下面證明問題(Ⅰ)“不等式00.

圖3

此題干的一個亮點就是數(shù)列遞推關系是xn=f(xn+1)形式，且無法寫成xn+1=g(xn)，則導致無法從數(shù)列的前項推后項，只能由后向前推，故本問的證明宜采用反證法．

假設?n0∈N*，使得xn0+1≤0，則xn0=xn0+1+ln(1+xn0+1)

第六步：不等式變形設置問題(Ⅱ).

經(jīng)過上述步驟，便完成了2017年高考浙江理科卷壓軸題的命制.

3 命制新題

經(jīng)歷了上述試題的探究過程，我們掌握了試題的一種命題手法．應用同樣的手法，我們可以進行試題的命制，下面筆者命制兩個試題，供讀者賞析.

新題1已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=sinan，n∈N*.(附：sin1≈0.84.)

證明：(Ⅰ)0

(Ⅱ)an+1an>an-2an+1；

證明(Ⅰ)數(shù)學歸納法證明.

當n=1時，a2=sin1，顯然0

假設當n=k時，原不等式成立，即00，ak+2>0.

f(x)=sinx-x，f′(x)=cosx-1≤0，所以f(x)遞減，由ak+1>0，得f(ak+1)=sinak+1-ak+1

綜上可得?n∈N*，0

即an+1an>an-2an+1.

新題2已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=2ean+1-2.

證明：(Ⅰ)0

證明(Ⅰ)數(shù)學歸納法證明.

假設當n=k時，原不等式成立，即0

當n=k+1時，由假設ak+1>0可知2eak+2-2>0，則eak+2>1，所以ak+2>0；函數(shù)y=2ex-2單調遞增，若ak+2≥ak+1，則2eak+2-2≥2eak+1-2，即ak+1≥ak，與假設矛盾，故0

(Ⅲ)g(x)=ex-1-x,g′(x)=ex-1,當x∈(0,1)時，g′(x)≥0，g(x)遞增，g(x)≥g(0)=0，