王飛飛，侯云先，李士森

（中國農(nóng)業(yè)大學經(jīng)濟管理學院，北京100083）

一、引言

近年來，全球各類自然災害等非常規(guī)突發(fā)事件的發(fā)生頻率和影響范圍不斷增加，給受災地區(qū)的經(jīng)濟和人民群眾的生命財產(chǎn)安全造成了巨大損失。中國是世界上遭受自然災害最為嚴重的國家之一，每年因災造成的經(jīng)濟損失都在1 000億元以上，占國民經(jīng)濟生產(chǎn)總值的3%～5%，常年受災人口達2億人次。據(jù)民政部《2015年全國自然災害基本情況》顯示，2015年，各類自然災害共造成全國18 620.3萬人次受災，819人死亡，148人失蹤，644.4萬人次緊急轉移安置，181.7萬人次需緊急生活救助；24.8萬間房屋倒塌，250.5萬間房屋受到不同程度的損壞；農(nóng)作物受災面積21 769.8千公頃，其中絕收2 232.7千公頃；直接經(jīng)濟損失2 704.1億元。［1］城鎮(zhèn)作為中國行政組織結構中最重要的基礎組成部分，承載了中國絕大部分人口，是當前中國推動城鎮(zhèn)化建設和經(jīng)濟發(fā)展的主戰(zhàn)場。然而，隨著人口的不斷積聚，城鎮(zhèn)規(guī)模的不斷擴大，地震、泥石流及洪澇等自然災害對經(jīng)濟建設和人民生命財產(chǎn)損失造成的影響也日益增大，因此，如何構建與中國當前實際情況相符的應急物資儲備與救援體系已成為政府和學者們?nèi)找骊P注的焦點問題之一。

應急物資儲備庫作為一類重要的應急公共服務設施是政府提供應急物資和開展應急救援工作的重要載體，在災前進行物資儲備、災中進行應急物資分配和災后重建等過程中都發(fā)揮著無可取代的基礎性作用，是國家減少災害損失，保證災區(qū)經(jīng)濟、社會生產(chǎn)活動和災民日常生活盡快恢復正常的重要公共基礎設施。應急設施選址自1972年Berlin在其博士論文中首次系統(tǒng)提出后［2］，越來越多的學者開始該問題研究，如Larson構建了hypercube模型及其擴展模型［3］。Drezner對比分析了 p-中值模型、p-中位模型、最大覆蓋模型等5種選址模型在研究地震應急避難場所選址問題時的優(yōu)缺點。［4］當前，在應急設施選址模型研究中，覆蓋模型發(fā)展最為迅速，學者們從不同角度出發(fā)，結合各類應急設施選址特點，發(fā)展出了一系列擴展模型。

首先，針對需求點與設施點間距離小于某一距離時則認為被完全覆蓋，反之則不被覆蓋的假設：Berman等提出了基于逐漸覆蓋思想的最大覆蓋模型及其求解方法［5］；Drezner等通過構建逐漸覆蓋模型用于解決存在消費者滿意度差異的選址問題［6］；張宗祥等從客戶滿意和服務質量水平的角度出發(fā)，以逐漸覆蓋思想和最大覆蓋模型為基礎，構建了基于服務質量水平的隨機逐漸覆蓋模型，并設計了求解該模型的拉格朗日算法［7］；陳義友等基于逐漸覆蓋理論，并結合自提點選址的特點，構建了基于逐漸覆蓋的自提點選址模型［8］；馬云峰等從消費者的角度提出了基于時間滿意的最大覆蓋模型及擴展模型［9］；陸相林等針對覆蓋半徑內(nèi)需求滿意差異問題，提出了覆蓋半徑內(nèi)需求滿意度遞減的最大覆蓋設施選址模型［10］1000—1008；范建華構建了基于階梯型衰退效用函數(shù)的競爭選址問題［11］。

其次，針對一個需求點只能由一個設施點提供服務的假設：Hogan和ReVelle在研究應急服務網(wǎng)絡選址問題時，構建了考慮備用覆蓋的最大覆蓋模型［12］；Araz等以最大覆蓋和備用覆蓋思想為基礎，以覆蓋人口最大化和總旅行距離最小化為目標，研究了應急服務車輛定位問題［13］；萬波和萬敏以首次覆蓋人口最大化、備用覆蓋人口最大化和非覆蓋范圍內(nèi)總的旅行成本最小化為目標，構建了相應的3目標應急設施選址模型［14］；Daskin和 Stern在研究應急醫(yī)療服務車輛選址問題時，針對傳統(tǒng)集合覆蓋模型在計算和實踐中的局限性，提出了多重覆蓋的集覆蓋模型［15］；葛春景等針對重大突發(fā)事件發(fā)生后多個應急需求點同時需求和多次需求的特點，提出了應急設施多重覆蓋選址模型［16］；王文峰等以最大覆蓋選址模型和部分覆蓋思想為基礎，構建出應急設施多級覆蓋選址模型［17］144—148；肖俊華和侯云先考慮設施選址的公平性、效率性及成本等因素，結合多級覆蓋和覆蓋衰減思想，提出應急設施選址多級覆蓋選址模型，并采用遺傳算法進行求解［18—20］。

文獻梳理發(fā)現(xiàn)，目前對應急公共設施選址問題的研究已取得眾多成果，但仍存在一些不足：①主要通過設施點與需求點間距離（或通行時間）確定需求滿意度，忽視了兩者間的道路狀況，然而在實際應急救援中，道路狀況往往是保障應急救援效果的決定因素。②一般從覆蓋半徑或滿意度的角度出發(fā)確定設施點位置及服務范圍，從供需的角度出發(fā)考慮問題較少，因此，難以客觀反映應急救援活動的真實情況。因在許多情況下，由于受到道路、救災人員數(shù)量等客觀條件的制約，導致應急設施點對應急需求點的應急服務能力有限且小于應急需求點的需求，當災害發(fā)生后，只有持續(xù)保障足夠的應急服務，才能最大限度地降低災害造成的損失。③在應急設施選址問題研究中，靜態(tài)模型研究較多，動態(tài)模型研究較少。然而，應急救援活動本身是一個動態(tài)變化過程，隨著應急救援工作的開展，災區(qū)的道路狀況、應急物資儲備庫對應急需求點的物資供應能力及應急需求點的應急物資需求量等均處于動態(tài)變化過程中，因此，應急設施的布局優(yōu)化亦是一個動態(tài)規(guī)劃過程。

基于以上分析，文章研究了應急物資儲備庫動態(tài)多重覆蓋模型。該模型首先在構建滿意度函數(shù)過程中，通過引入道路風險系數(shù)反映應急物資儲備庫與應急需求點間的道路狀況，提高函數(shù)科學性和適用性；之后，從供需和時間維度兩個角度出發(fā)，結合最大覆蓋選址模型和“多重覆蓋”思想，建立應急物資儲備庫動態(tài)多重覆蓋模型，該模型的決策目標是使總需求滿意度最大和總配送距離最短。

二、模型的建立

（一）問題描述

文章所研究的問題是，如何科學地確定各階段城鎮(zhèn)應急物資儲備庫的開放位置及服務范圍，以期在災害發(fā)生后及時有效地為受災地區(qū)提供應急物資保障，達到最大限度降低災害損失。此類設施具有使用率較低，建設運營成本大等特點，但在應急救援中起著關鍵作用。因此，在滿足一定需求的情況下，建設一定數(shù)量的應急物資儲備庫具有重要的現(xiàn)實意義。

災害發(fā)生時，若應急物資儲備庫所在地受到破壞，則應急物資儲備庫直接向該地提供應急物資；若該應急物資儲備庫服務范圍內(nèi)其他地區(qū)遭到破壞，則從該應急物資儲備庫調(diào)配應急物資發(fā)往受災地區(qū)。因受交通狀況、救援人員數(shù)量等因素制約，導致單個應急物資儲備庫發(fā)往受災地區(qū)的應急物資數(shù)量有限，且往往低于應急需求點的需求量。此外，隨著應急救援工作的不斷深入，受災地區(qū)道路狀況將不斷改善，應急物資儲備庫的物資供應能力將逐漸增強，應急需求點對應急物資的需求量將在一定程度上有所降低，因此，文章從供需和時間維度2個角度出發(fā)研究此類問題。為建立數(shù)學模型描述以上問題，文章做如下假設：

假設1．應急物資儲備庫和應急需求點在選址區(qū)域內(nèi)離散分布，且任意應急物資儲備庫和應急需求點間的距離為歐式距離。

假設2．應急物資儲備庫布局優(yōu)化可劃分為多個階段，每個階段應急物資儲備庫開放數(shù)量已知。

假設3．任意應急物資儲備庫的容量無限，但應急物資儲備庫對應急需求點的物資供應能力有限，且各階段不同。

假設4．隨著災區(qū)狀況逐漸好轉，選址區(qū)域內(nèi)應急物資儲備庫的物資供應能力逐漸增強，應急需求點的物資需求量逐漸下降，因此，應急物資儲備庫開放數(shù)量隨之減少，且后階段選擇開放的應急物資儲備庫只能從前一階段中選取。

假設5．每個應急物資儲備庫可為多個應急需求點提供服務。

假設6．每個應急需求點需要一個或多個應急物資儲備庫為其提供服務。

（二）滿意度衰減函數(shù)

在傳統(tǒng)的覆蓋模型中，一般認為同一設施點的覆蓋半徑內(nèi)需求點的滿意程度是相同的，然而在實際的應急救援活動中，應急物資儲備庫和應急需求點間的距離和道路狀況對最終的救援效果往往具有決定性作用，因此，文章借鑒陸相林等提出的覆蓋半徑內(nèi)需求滿意度遞減思想［10］1000—1008和王文峰等提出的反映時效性評價函數(shù)構建方法［17］144—148，并引入道路風險系數(shù)概念，構建如下滿意度衰減函數(shù)：

（三）基于滿意度衰減函數(shù)的動態(tài)多重覆蓋模型

令 I＝｛I1，I2，…，Im｝和 J＝｛J1，J2，…，Jn｝分別為應急需求點和候選應急物資儲備庫的集合；s為應急救援活動開展階段 ( s＝1，2，…，q)；ps為 s階段需開放的應急物資儲備庫數(shù)量；為s階段應急需求點i的需求量；dij為應急需求點i與候選應急物資儲備庫j間距離；為s階段候選應急物資儲備庫j對應急需求點i的物資供應量；為 s階段候選急物資儲備庫j對應急需求點i的滿意度水平；為0，1變量，當為1時，表示s階段應急需求點i被應急物資儲備庫j覆蓋，否則為0；為0，1變量，當為1時，表示候選應急物資儲備庫在s階段被選中，否則為0。

目標函數(shù)（2）是使應急需求點被多個應急物資儲備庫覆蓋的總需求滿意度最大；目標函數(shù)（3）是使應急需求點被多個物資儲備庫覆蓋的總距離最短；約束條件（4）為在s階段只有當候選應急物資儲備處j被選定時，應急需求點i才能被覆蓋；約束條件（5）為在s階段必須保證具有足夠物資供應量的應急物資儲備庫覆蓋應急需求點；約束條件（6）為在s階段需建設的應急物資儲備庫數(shù)量；約束條件（7）保證和均為二元整數(shù)決策變量。

三、模型轉化與算法選擇

（一）模型轉化

多目標規(guī)劃指研究多于一個的目標函數(shù)在給定區(qū)域上的最優(yōu)化問題，且常常這些目標之間具有沖突關系。［21］目前，已發(fā)展出多種較為成熟的方法用于求解多目標規(guī)劃，如Pareto最優(yōu)性分析、目標規(guī)劃方法、模糊多目標規(guī)劃方法及參數(shù)規(guī)劃方法等。

加權法和約束法是參數(shù)規(guī)劃法中常用的兩種方法，其核心是通過將多目標模型轉化為單目標線性規(guī)劃模型后進行求解。其中，加權法通過對每個目標Zk賦予一個權系數(shù)λk的方式，將多目標準則函數(shù)轉化為單目標準則函數(shù)，當＝1時即為最常用的線性加權法。線性加權法在保證總權數(shù)等于1的前提下，通過根據(jù)各目標的重要性不同賦予不同的權數(shù)，具有較強的靈活性。因在實際決策過程中，決策者通過調(diào)整權數(shù)λk的取值，可獲得多組不同的可行解，供決策者根據(jù)不同的情況選用。［22］文章應用線性加權法對模型進行轉化。

令λ1和λ2分別為目標函數(shù)Z1和Z2的權系數(shù)，且λ1＋λ2＝1，則上節(jié)所建模型可轉換為如下形式：

（二）算法選擇［23］

最大覆蓋模型已被學者們證明為NP-Hard問題［24］，因此，文章所構建的應急物資儲備庫動態(tài)多重覆蓋模型作為最大覆蓋模型的擴展模型，亦是NP-Hard問題，針對此類問題，目前學者們普遍選用啟發(fā)式算法求得滿意解。文章選用免疫優(yōu)化算法對模型進行求解。

免疫優(yōu)化算法是一種以免疫學理論為基礎，模仿生物系統(tǒng)區(qū)分外部有害抗原，從而維持有機體穩(wěn)定的智能啟發(fā)式算法。針對遺傳算法在求解問題時交叉和變異算子相對穩(wěn)定，靈活度較低，且忽視問題的特征信息對求解問題時的輔助作用等方面不足，學者們通過將免疫概念及理論與遺傳算法結合，構建得到免疫優(yōu)化算法。該算法力圖在保留遺傳算法原有優(yōu)良特性的前提下，利用免疫系統(tǒng)的多樣性產(chǎn)生和維持機制來保持群體多樣性的特點，達到克服求解多峰函數(shù)過程中難處理的“早熟”問題，最終求得全局最優(yōu)解。

1.抗體編碼和抗體群的產(chǎn)生

文章選用簡單直觀的實數(shù)編碼方式，每個選址方案形成一個長度為p的抗體（p為區(qū)域物流中心的個數(shù)），每個抗體代表一組被選為應急物資儲備庫的序列。由于免疫優(yōu)化算法需要從一個初始抗體群開始計算，因此，文章通過隨機的方式產(chǎn)生一個群體規(guī)模為M的初始抗體群。為了提高算法的收斂速度，因而在每次迭代過程中選出N個最優(yōu)抗體存入記憶庫，并在下一代計算中取出與子代抗體組合成新的抗體群進行下一步迭代運算。

2.抗體親和度評價函數(shù)

抗體群中的抗體親和度評價函數(shù)由目標函數(shù)式（8）計算得到。具體計算過程如下：

第一步：選擇一個應急需求點，將各候選應急物資儲備庫對該應急需求點的物資供應能力進行降序排序（若出現(xiàn)供應能力相同，則滿意度大的在前）。

第二步：判斷前k（k＝1，2，…，ps）個基因位代表的應急物資儲備庫對該應急需求點的物資供應能力之和與該應急需求點的應急物資需求量間的大小關系，若大于等于，求出其對應位置的λ1Z1－λ2Z2值，否則，取 0。

第三步：重復步驟1～步驟2，遍歷所有應急物資需求點后求和，即為該抗體親和度評價函數(shù)值。

3.免疫操作

該部分內(nèi)容與遺傳算法的主要步驟一致，包括選擇、交叉和變異。

（1）選擇，文章選用常用的輪盤賭法進行選擇操作。

（2）交叉，采用單點交叉法進行交叉操作。

（3）變異，選擇常用的隨機選擇變異位進行變異操作。

4.終止條件

記錄下每次迭代過程中抗體親和度值最大的抗體，直到達到算法設定的最大迭代次數(shù)。當算法終止時，抗體親和度值最大的抗體所代表的選址方案，即為該問題的滿意解。

5.免疫優(yōu)化算法具體步驟

根據(jù)以上分析，具體步驟如下。

第一步：初始化參數(shù)，定義免疫優(yōu)化算法的抗體群規(guī)模、記憶庫規(guī)模、最大遺傳代數(shù)、交叉概率、變異概率等。

第二步：產(chǎn)生初始抗體群。如果記憶庫為非空，則初始抗體群從記憶庫中選取，否則，從可行解空間中隨機生成。

第三步：解的多樣性評價。首先，分別計算抗體和抗原間的親和力、抗體和抗體之間的相似程度及抗體濃度；然后在以目標函數(shù)作為適應度函數(shù)，計算抗體的親和力，并進一步得到各抗體的期望繁殖概率。

第四步：免疫操作。此部分與遺傳算法相似，主要包括選擇、交叉和變異操作。

第五步：判斷是否滿足結束條件，如果是轉到第三步，否則結束，輸出結果。

表1 各應急需求點的地理坐標及需求量

四、實例分析

某區(qū)域有15個應急需求點，隨著應急救援工作的不斷深入，當?shù)卣媱澐?個階段從中選擇開放若干數(shù)量的應急物資儲備庫以應對突發(fā)事件的發(fā)生，目標是以最小的總配送距離最大化滿足應急需求點的總需求滿意度。各應急需求點的位置為［0，100］區(qū)間隨機產(chǎn)生的15組隨機整數(shù)。第1階段，應急需求點的應急物資需求量在［20，50］間隨機產(chǎn)生，應急物資儲備庫對應急需求點的物資供應能力在［5，15］間隨機產(chǎn)生；根據(jù)假設4，第2階段應急需求點的應急物資需求量在前一階段的基礎上按比例減少，應急物資儲備庫對應急需求點的物資供應能力在前一階段的基礎上按比例增加，變動幅度均在［0.1，0.3］間隨機產(chǎn)生，具體情況如表1和表2所示。

為了分析說明應急物資儲備庫動態(tài)多重覆蓋模型的特點及有效性，文章設p1＝6，p2＝4；道路風險系數(shù)在［0，1］間隨機產(chǎn)生，敏感系數(shù)β＝2，且第1階段和第2階段相同；模型中，目標函數(shù)Z的權系數(shù)λ1、λ2分別為0.6和0.4。

基于算例的輸入?yún)?shù)，利用應急物資儲備庫動態(tài)多重覆蓋模型，來確定該例中應急物資儲備庫在第1階段和第2階段的布局及服務范圍。用matlabR2013b軟件按照上述改進的免疫優(yōu)化算法編程求解此模型，其中種群規(guī)模為50，記憶庫容量為10，迭代次數(shù)為200，交叉概率為0.5，變異概率為0.4，多樣性評價參數(shù)為0.95。求解結果如表3、表4和表5所示。

由表3和表4可知，當假定第1階段開放應急物資儲備庫數(shù)量為6個時，需求點1，3，5，6，8和10被選為應急物資儲備庫開放點，總需求滿意度為365.17，總距離為1 418.04。此時，應急物資儲備庫1為應急需求點1和11服務，提供的應急物資量分

別為33和14；應急物資儲備庫3為應急需求點3，4，7，9，13，14和15服務，提供的應急物資量分別為47，13，15，15，13，14和 13；應急物資儲備庫 5為應急需求點4，5，7，11，12，13，14和 15服務，提供的應急物資量分別為 14，28，11，10，11，15，9和 12；應急物資儲備庫6為應急需求點 2，4，6，7，11，12和 14服務，提供的應急物資量分別為 14，12，37，14，13，15和12；應急物資儲備庫8為應急需求點4，8，9和15服務，提供的應急物資量分別為11，50，15和13；應急物資儲備庫10為應急需求點2，10，13，14和15服務，提供的應急物資量分別為 12，47，13，11和10。

表2 候選應急物資儲備庫對應急需求點的應急物資供應能力

表3 不同階段求解結果比較

表4 s＝1階段應急物資儲備庫布局結果

由表3和表5可知，當假定第2階段開放應急物資儲備庫數(shù)量為4時，第1階段中的應急物資儲備庫3，6，8和10被選中，總需求滿意度為303.23，總距離為1 351.47。此時，應急物資儲備庫 3為應急需求點 3，4，7，9，11，13，14和 15，提供的應急物資量分別為 38，15，19，18，10，15，16和14；應急物資儲備庫6為應急需求點2，6，7，11，12和14服務，提供的應急物資量分別為16，33，16，16，18和 14；應急物資儲備庫 8為應急需求點 1，4，5，8，9，11和 15服務，提供的應急物資量分別為 15，14，16，45，19，9和 14；應急物資儲備庫 10為應急需求點 1，2，4，5，10，12，13，14和15服務，提供的應急物資量分別為17，13，13，12，36，12，16，13和 12。

表5 s＝2階段應急物資儲備庫布局結果

五、結論

由于道路交通狀況對應急救援效果具有重要影響，文章在構建滿意度衰減函數(shù)時，引入了道路風險系數(shù)這一概念，這將有利于更加準確的反映應急設施點和應急需求點間的需求滿意度。此外，根據(jù)城鎮(zhèn)突發(fā)事件應急的特點，文章從供需和時間維度兩個角度出發(fā)，構建了城鎮(zhèn)應急物資儲備庫動態(tài)多重覆蓋模型，本模型以總應急需求滿意度最大和總距離最小為目標。通過運用線性加權法將原雙目標模型轉變?yōu)閱文繕四Ｐ秃?，編寫免疫?yōu)化算法進行求解。通過對隨機生成的算例進行計算，說明了模型及算法的有效性。

城鎮(zhèn)應急物資儲備庫動態(tài)多重覆蓋模型能夠在一定程度上反映城鎮(zhèn)應急物資儲備庫布局特點，但是，在研究過程中仍有許多因素未考慮，如應急物資儲備庫的容量限制問題，增加應急物資儲備庫容量限制將會大大增加模型的求解難度，但卻可以更加準確的貼合實際，這是筆者下一步研究的重點。