范志軒

摘 要：構(gòu)圖法在數(shù)學(xué)領(lǐng)域具有極為重要的作用和影響，通過(guò)構(gòu)圖法的應(yīng)用不僅能夠讓數(shù)學(xué)題目解答變得直觀形象，而且能夠讓我們?cè)陬}目理解基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的深化理解。本文將就構(gòu)圖法在證明不等式中的應(yīng)用進(jìn)行重點(diǎn)闡釋?zhuān)瑫?huì)重點(diǎn)體現(xiàn)構(gòu)圖法使題目解答更加高效、正確率更高的效果。

關(guān)鍵詞：構(gòu)圖法 不等式證明 應(yīng)用路徑

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-9082（2019）01-0-01

一、構(gòu)圖法發(fā)展歷史

構(gòu)圖法，也就是所謂的建立幾何圖形，是應(yīng)用幾何圖形來(lái)幫助解釋不等式的應(yīng)用原理。部分?jǐn)?shù)學(xué)家認(rèn)為構(gòu)圖法的應(yīng)用證明不嚴(yán)謹(jǐn)，不具備太大的應(yīng)用價(jià)值。但還有數(shù)學(xué)家認(rèn)為，數(shù)學(xué)雖然是邏輯的，但也是圖形的。數(shù)學(xué)教育家波利亞指出利用畫(huà)圖的方法可以促進(jìn)對(duì)問(wèn)題的理解，這種觀念已經(jīng)被廣大數(shù)學(xué)教育工作者引為經(jīng)典。愛(ài)因斯坦和龐加萊也都認(rèn)為，我們應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)利用我們的直覺(jué)。美國(guó)數(shù)學(xué)家加德納也提出，在很多情形下，一個(gè)看似平淡無(wú)奇的證明在幾何圖形的輔助下，會(huì)讓證明更加簡(jiǎn)單和完美，定理推理的正確性也會(huì)得到顯現(xiàn)。

二、構(gòu)圖法在不等式證明中的重要作用

用構(gòu)圖法來(lái)幫助證明在數(shù)學(xué)應(yīng)用中是較為廣泛的，很多概念、定理的證明中都有它的身影。構(gòu)圖法作為一種解題技巧，要想做到正確高效地使用也不是非常容易的，我們要堅(jiān)持的是雖然數(shù)學(xué)的試題類(lèi)型是千變?nèi)f化的，但是萬(wàn)變不離其宗，對(duì)數(shù)學(xué)基本原理的應(yīng)用是根本的，一成不變的。這就需要學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)過(guò)程中多總結(jié)聯(lián)系，不斷的活躍思維，準(zhǔn)確的理解題意，建立起幾何圖形，從而為準(zhǔn)確地解題提供幫助。這其中最關(guān)鍵要做到題意和圖形的合理結(jié)合。

三、例談構(gòu)圖法在證明不等式中的應(yīng)用

1.構(gòu)造兩點(diǎn)間的距離

例題1：假設(shè)我們知道a、b、c都是正數(shù)，那么求證不等式

對(duì)于不等式的證明可以通過(guò)構(gòu)圖法的應(yīng)用來(lái)進(jìn)行解答，通過(guò)兩點(diǎn)間的距離的構(gòu)造來(lái)實(shí)現(xiàn)不等式的證明。這時(shí)候可以聯(lián)想到兩點(diǎn)間距離公式，所需要證明的不等式則可以被看作兩線段之和不小于第三條線段。

證明：假設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（a+c，0）那么點(diǎn)B的坐標(biāo)則為（0，b+d），點(diǎn)C的坐標(biāo)則為（c，b）

通過(guò)，我們可以得出，不等式

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)在A、B、C三點(diǎn)共線時(shí)候，也就是時(shí)才會(huì)成立。

2.構(gòu)造平行線的距離

例題2：假設(shè)a、b、x、yR，并且a+2b+4=0，x+2y+1=0，求證：（a+x）2+（b+y）2≥5

對(duì)于此不等式的證明，我們可以通過(guò)直線斜率構(gòu)造的方式來(lái)達(dá)到更好的證明效果。

解答：對(duì)于所要證明的不等式，可以將其左邊視為兩點(diǎn)（a，b）與（-x，-y）間距離，已知條件說(shuō)明點(diǎn)（a，b）在直線：上，點(diǎn)在直線：上，并且

因?yàn)?/p>

所以

3.構(gòu)造三角形

例題3：已知x，y，z都是正數(shù)，求證：

題中表達(dá)的意思與“三角形兩邊之和大于第三邊”的意思相似，而被開(kāi)方數(shù)可以理解成余弦定理的結(jié)果，然后進(jìn)行構(gòu)圖（如圖1），

解答：做射線OA、OB、OC，使，通過(guò)線段，將AB、BC、AC連接起來(lái)，則可以得出△ABC，那么，，，因此，在△ABC中，可以得出相應(yīng)結(jié)論，即：AB+AC>BC

4.構(gòu)造正方形

例題4：已知，現(xiàn)求證：

通過(guò)該題目我們可以了解所需要證明的式子中、、、可以分別看成為a和b、b和c、a和c為兩直角邊的斜邊長(zhǎng)，這么我們就可以將進(jìn)行聯(lián)想，聯(lián)想成為a+b+c為邊長(zhǎng)的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)，這樣證明思路也就呼之欲出了。

解答：進(jìn)行圖形構(gòu)造（如圖2），依照?qǐng)D形知，，，，由AB+BC+CD>AD，得不等式成立。

5.構(gòu)造直線斜率

例題5：已知，并且求證：

在證明此題目時(shí)，需要注意到所證明的式子中有，可以用k來(lái)對(duì)其進(jìn)行表示，它表示過(guò)點(diǎn)P（-1，-4）的直線方程的斜率（如圖3）。

解答：令

那么

又，且表示右半圓，

當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)（0，2）時(shí)，則；

當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，原點(diǎn)到它的距離則為2，那么

所以

結(jié)語(yǔ)

通過(guò)這些例題的分析研究，我們可以了解到，構(gòu)圖法在證明不等式中具有重要作用和影響，是我們證明不等式過(guò)程中所可以應(yīng)用的重要證明方式。不得不提的是上文只展示了構(gòu)圖法應(yīng)用的一小部分，我們還需要探索更多的構(gòu)圖方法，讓其不僅在不等式證明，在其他知識(shí)點(diǎn)解答過(guò)程中也能發(fā)揮重要的作用。

參考文獻(xiàn)

[1]薛嬌.基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)命題教學(xué)設(shè)計(jì)研究[D].江蘇師范大學(xué)，2018.

[2]戴怡萱.高中生解決不等式證明問(wèn)題的調(diào)查研究[D].華東師范大學(xué)，2018.

[3]楚可悅.高中數(shù)學(xué)不等式應(yīng)用與學(xué)習(xí)策略分析[J].中國(guó)校外教育，2018（05）：108.