田國(guó)富，鄭博濤，孫書會(huì)，姜春旭

(沈陽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110870)

0 前言

隨著機(jī)器人技術(shù)的不斷發(fā)展，越來越多的行業(yè)開始使用機(jī)器人代替人們進(jìn)行作業(yè)，將人們從繁重的生產(chǎn)任務(wù)中解放出來。為了使工業(yè)機(jī)器人能夠較為理想的完成人們預(yù)定的任務(wù)，需要機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)中避開障礙物，此時(shí)就要對(duì)工業(yè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行規(guī)劃研究。機(jī)器人軌跡規(guī)劃指根據(jù)機(jī)器人所要求的作業(yè)任務(wù)，事先對(duì)機(jī)器人操作臂在作業(yè)過程中的位移、速度和加速度進(jìn)行人為設(shè)定。在關(guān)節(jié)空間中進(jìn)行規(guī)劃是將關(guān)節(jié)角度表示為時(shí)間的函數(shù)，并且對(duì)關(guān)節(jié)角度時(shí)間函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行規(guī)劃[1,2]。當(dāng)機(jī)器人末端需要通過多個(gè)中間點(diǎn)組成的連續(xù)路徑時(shí)，則需要使用高階多項(xiàng)式的方法生成一條光滑的軌跡，但隨著中間點(diǎn)的增多，對(duì)應(yīng)的線性系統(tǒng)的維度也會(huì)增加，這樣就大大的增加了計(jì)算難度[3]，故本文提出了使用內(nèi)插法來解決規(guī)劃運(yùn)動(dòng)軌跡所存在的問題。

1 通過中間點(diǎn)的高階多項(xiàng)式軌跡規(guī)劃

高階多項(xiàng)式適用于對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡要求比較嚴(yán)格的場(chǎng)合，通過插值函數(shù)將所有的中間路徑點(diǎn)光滑的連接起來[4-7]。本文以某運(yùn)動(dòng)軌跡通過q0、q1、q2三個(gè)點(diǎn)，要求在t0、t1、t2時(shí)刻分別到達(dá)q0、q1、q2點(diǎn)，通過給出在初始點(diǎn)q0處時(shí)機(jī)器人關(guān)節(jié)的速度及加速度和終止點(diǎn)q2處機(jī)器人關(guān)節(jié)的速度及加速度，得到七個(gè)約束：

q(t1)=q1

七個(gè)約束使用六階多項(xiàng)式生成機(jī)器人關(guān)節(jié)軌跡，為

q(t)=ao+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5+a6t6

通過分析，q(t)是連續(xù)可微的，其速度與加速度曲線也是光滑連續(xù)的，但為了確定多項(xiàng)式的各個(gè)系數(shù)就要求解出一個(gè)七維的線性方程，當(dāng)隨著中間點(diǎn)數(shù)的增加，其多項(xiàng)式系數(shù)也會(huì)逐漸增多，這樣會(huì)使求解過程更加繁瑣。針對(duì)高階多項(xiàng)式軌跡規(guī)劃的缺點(diǎn)，提出了使用內(nèi)插法來規(guī)劃軌跡。

2 內(nèi)插法軌跡規(guī)劃

對(duì)于第一段軌跡，設(shè)起始點(diǎn)與終止的時(shí)間分別為t0、tf，其位置、速度、加速度的約束條件為

由六個(gè)約束條件可以確定該關(guān)節(jié)變量的五次多項(xiàng)式函數(shù)[8-10]為

q(t)=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5

對(duì)該五次多項(xiàng)式函數(shù)求一階、二階導(dǎo)數(shù)，即可得到在路徑上的關(guān)節(jié)角速度和角加速度為

3 仿真

3.1 高階多項(xiàng)式軌跡規(guī)劃

本文對(duì)通過q0、q1、q2、q3四個(gè)點(diǎn)的軌跡進(jìn)行七階多項(xiàng)式軌跡規(guī)劃。設(shè)軌跡從關(guān)節(jié)角為20°的位置開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過3 s運(yùn)動(dòng)到50°的位置，5 s的時(shí)候運(yùn)動(dòng)到90°，在終止時(shí)間8 s時(shí)到達(dá)70°的位置，并且軌跡在q0、q3點(diǎn)的速度及加速度為零。使用matlab軟件可分別得到工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)角度、關(guān)節(jié)角速度、關(guān)節(jié)角加速度分別如圖1、圖2、圖3所示，表明高階多項(xiàng)式軌跡規(guī)劃可以滿足設(shè)定的初始條件。

圖1 關(guān)節(jié)角度變化曲軸

圖2 關(guān)節(jié)角速度變化曲線

圖3 關(guān)節(jié)角加速度變化曲線

3.2 內(nèi)插法軌跡規(guī)劃

同樣使用內(nèi)插法以與高階多項(xiàng)式軌跡規(guī)劃相同的條件，對(duì)通過q0、q1、q2、q3四個(gè)點(diǎn)的軌跡進(jìn)行軌跡規(guī)劃。設(shè)軌跡從關(guān)節(jié)角為20°的位置開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過3 s運(yùn)動(dòng)到50°的位置，5 s的時(shí)候運(yùn)動(dòng)到90°，在終止時(shí)間8 s時(shí)到達(dá)70°的位置，并且軌跡在q0、q3點(diǎn)的速度及加速度為零，對(duì)各個(gè)中間點(diǎn)的速度及加速度進(jìn)行人為設(shè)置，為了計(jì)算簡(jiǎn)便，將混合時(shí)間點(diǎn)處的速度與加速度都設(shè)置為零，通過使用Matlab軟件編程可分別得到三段五次曲線組成的關(guān)節(jié)角度、角速度、角加速度隨著時(shí)間變化的曲線，如圖4～圖6所示。

圖4 三個(gè)五次曲線段組成的關(guān)節(jié)角度變化曲線

圖5 三個(gè)五次曲線段組成的關(guān)節(jié)角速度變化曲線

圖6 三個(gè)五次曲線段組成的關(guān)節(jié)角加速度變化曲線

4 結(jié)論

通過觀察圖4可以發(fā)現(xiàn)，內(nèi)插法軌跡規(guī)劃的關(guān)節(jié)角度變化完全滿足初始約束，即軌跡從關(guān)節(jié)角為20°的位置開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過3 s運(yùn)動(dòng)到50°的位置，5 s的時(shí)候運(yùn)動(dòng)到90°，在終止時(shí)間8 s時(shí)到達(dá)70°的位置，速度變化與加速度變化也滿足設(shè)定的初始約束，且關(guān)節(jié)角度與速度變化曲線都較為光滑連續(xù)，因此使用內(nèi)插法來進(jìn)行軌跡規(guī)劃可以很好的替代高階多項(xiàng)式的方法，大大降低了計(jì)算難度。