郝宇星，申 麟，李 揚

（中國運載火箭技術(shù)研究院研究發(fā)展中心，北京，100076）

0 引 言

空間失效航天器與太空碎片對正常運行的航天器而言是極大的威脅，發(fā)生碰撞會產(chǎn)生嚴重的后果。與傳統(tǒng)的航天器的交會對接與編隊飛行不同的是，這一類目標航天器不能提供自身的姿軌信息，其行為難以預(yù)測，可能會有翻滾等復(fù)雜運動狀態(tài)，使得空間操作的安全性受到威脅。

翻滾是空間目標姿態(tài)運動的一種形式。在軌目標處于翻滾狀態(tài)時，可以看做一個繞質(zhì)心作定點運動的剛體。這種運動與翻滾目標的自身性質(zhì)（如質(zhì)量、慣量分布）以及初始狀態(tài)有關(guān)。為了掌握目標器的運動狀態(tài)，便于任務(wù)設(shè)計，需要對不同條件下的翻滾目標的運動規(guī)律進行研究。

在傳統(tǒng)建模方法解決位姿耦合問題遇到瓶頸后，學(xué)者們嘗試用新的數(shù)學(xué)工具進行姿態(tài)和軌道的統(tǒng)一建模。Brodsky等[1]基于 Pennock等[2]和 Adams[3]對旋量理論的研究，首先討論了對偶慣性算子的本質(zhì)和物理特性，然后使用對偶慣性算子和矢量變換規(guī)則得到對偶動量、對偶角動量、對偶力的一般表示形式，并基于這些定義推導(dǎo)以三維對偶形式表示的剛體動力學(xué)的牛頓-歐拉方程，為航天器一般性空間運動的研究和分析提供了理論基礎(chǔ)。

在進一步的理論研究上，Wang等[4，5]推導(dǎo)了用單位對偶四元數(shù)表示的剛體轉(zhuǎn)動和平動的動力學(xué)模型，指出單位對偶四元數(shù)是單位四元數(shù)的自然擴展，能同時表示旋轉(zhuǎn)和平移，相對于齊次變換矩陣要用 16 個數(shù)來表示空間的一般運動，而對偶四元數(shù)僅僅需8 個數(shù)，另外，在計算效率上對偶四元數(shù)也高于齊次變換矩陣。在應(yīng)用研究上，Wu等[6]使用對偶四元數(shù)來設(shè)計捷聯(lián)慣性導(dǎo)航算法，并指出對偶四元數(shù)是同時表示剛體轉(zhuǎn)動和平動最簡潔和最有效的數(shù)學(xué)工具；Wang等[7]基于對偶四元數(shù)分別推導(dǎo)了交會對接最終段和兩個航天器編隊飛行的六自由度相對運動模型；Zhang等[8]推導(dǎo)了基于對偶四元數(shù)的剛體航天器平動和轉(zhuǎn)動組合的跟蹤誤差模型。

使用對偶數(shù)和旋量可將剛體運動的平動部分與轉(zhuǎn)動部分結(jié)合于一個框架之下，本文使用簡明的模型，使用經(jīng)典力學(xué)公式推導(dǎo)，得到由對偶數(shù)表示的牛頓-歐拉方程，該方程形式上與歐拉方程具有相似性，并且可以直觀地看到姿軌耦合項的影響。

在對空間翻滾目標進行在軌任務(wù)前，需要對其運動狀態(tài)進行分析。對于非合作目標而言，在無法獲得其準確本體參數(shù)的條件下，需要根據(jù)其運動數(shù)據(jù)對其參數(shù)進行識別與估計，因此對翻滾目標的典型運動形式及其條件的分類格外重要。首先，本文將對翻滾目標進行分類，對不同類別目標的基本性質(zhì)進行劃分；在此基礎(chǔ)上，應(yīng)用位姿耦合動力學(xué)方程建立模型，分析在軌翻滾剛體的運動特點；最后給出 3種典型的姿態(tài)運動方式，并使用仿真舉例說明其條件。

1 空間翻滾目標的分類及特征

根據(jù)任務(wù)對象的不同，可將空間翻滾目標分為：正常工作的航天器、功能受損（需要維修）的航天器、空間碎片或廢棄部件與小行星等空間自然物體。由于針對這4類目標的任務(wù)各不相同，而且要考慮到各類目標的特性差異，翻滾帶來的姿軌耦合程度也有所不同，在面對空間翻滾目標問題時，要對其特點進行分類，內(nèi)容可以分為翻滾原因、翻滾速率、慣量陣特征、質(zhì)量、耦合性以及主要任務(wù)目的。表 1為空間翻滾目標特征分類。

表1 空間翻滾目標特征分類Tab.1 Space Roll Target Feature Classification

2 空間目標位姿耦合動力學(xué)模型

本文采用對偶數(shù)與旋量的概念進行剛體的動力學(xué)方程推導(dǎo)，基于傳統(tǒng)的理論力學(xué)原理，與新概念相結(jié)合，得到的結(jié)果表達形式簡潔，物理意義明確，易于進行姿軌耦合分析以及一體化的任務(wù)設(shè)計。

剛體在三維空間的運動均可以表示為繞一軸線的旋轉(zhuǎn)與沿該軸的平移，因此可將六維空間的向量稱為一個旋量，映射一個三維剛體運動。幾何上用六維列向量表示，代數(shù)上可用對偶數(shù)表示，形式如下：

式中 α，α′分別為主部和副部，或稱為實部和對偶部，在表示物理量時，主部表示平移相關(guān)的量，副部表示旋轉(zhuǎn)相關(guān)的量；ε為對偶單位，其性質(zhì)為

設(shè)質(zhì)量為m，質(zhì)心為C的衛(wèi)星在軌道上運行，并帶有翻滾，如圖1所示。建立衛(wèi)星的本體坐標系bS，原點位于C點，X，Y，Z軸分別為衛(wèi)星的3個慣量主軸。慣性系oS的原點為O。

圖1 航天器動力學(xué)模型示意Fig.1 Spacecraft Dynamics Model

將衛(wèi)星視作剛體，則在時刻t，bS的運動狀態(tài)由剛體的角速度矢量ω、C點t時刻的線速度矢量CV表示。

由于速度V與參考點有關(guān)，角速度ω與參考點無關(guān)， V與ω可構(gòu)成以C為參考點的速度旋量，記為

由純力F以及與該力作用線平行的力偶T組成的力，稱為作用在旋量軸線上的力的旋量，簡稱力旋量。用對偶數(shù)表示，則為對偶力，記為

對于航天器而言，作用在其上的力分為控制力uF、地球引力 Fg、擾動力 Fd，力矩可分為控制力矩 Tu、重力梯度力矩 Tg和擾動力矩 Td。將這些力和力矩用對偶力概念統(tǒng)一起來，則作用在追蹤器上的合外對偶力為

定義對偶慣性算子，由對偶質(zhì)量算子與對偶慣量算子組成，記為

式（10）即為對偶力與對偶動量的關(guān)系式。根據(jù)矢量積運算規(guī)則改寫為矩陣方程式，得到：

3 空間翻滾目標運動特性分析

將式（11）展開為實數(shù)部分與對偶部分：

得到：

上述兩組方程是相互耦合的，當(dāng)以傳統(tǒng)的方法研究航天器姿態(tài)運動時，通常把姿態(tài)運動對軌道運動的影響略去不計，且在分析姿態(tài)運動參數(shù)時，把軌道運動參數(shù)當(dāng)作已知量，做這樣的簡化假設(shè)后，姿態(tài)運動方程便可單獨進行積分計算。進行解耦后的姿態(tài)運動方程即歐拉方程，由式（15）可以看出它是對偶動力學(xué)方程的一部分，并在以下情況的翻滾目標其運動位姿耦合最為顯著：

a）目標飛行器與追蹤器的距離較近（幾十米到幾百米）時，此時平移量與旋轉(zhuǎn)量處于相近的數(shù)量級，耦合項與非耦合項幅值接近；

b）目標飛行器的質(zhì)量與慣量較大時，姿態(tài)運動導(dǎo)致的動量與角動量較大，對應(yīng)的耦合量也較大；

c）目標飛行器存在復(fù)雜的姿態(tài)變化時，角速度項多變使得耦合項多變，影響其幅值以及方向。

對于無外力矩剛體的姿態(tài)運動問題，其解析解與幾何解在理論力學(xué)中已有結(jié)論，其中的一般情形稱為歐拉-潘索情形，其角速度軌跡在兩個橢球的交線上。對于在軌自由運動的剛體而言，其受力主要為各天體的引力、引力梯度矩，其中以地球的引力與引力梯度矩為主，其余項可當(dāng)作環(huán)境干擾力與力矩處理。由于引力梯度矩的值很小，并且工程上的航天器其質(zhì)心與重心可近似重合，因此在短時間內(nèi)可忽略；但在長期的軌道運行條件下，其對姿態(tài)積累的影響會十分顯著。

針對在軌翻滾剛體的運動特點，以在軌翻滾航天器為例，通過設(shè)定不同的慣量矩陣、初始姿態(tài)、角速度的狀態(tài)，根據(jù)剛體定點運動規(guī)律，進行舉例分析：

假設(shè)某航天器軌道高度430 km，質(zhì)量74 783 kg，處于圓軌道上做姿態(tài)運動，現(xiàn)使用對偶動力學(xué)模型，以航天器本體系作為計算坐標系，對各類轉(zhuǎn)動情形進行數(shù)值仿真。

a）在軌定軸轉(zhuǎn)動。

Jx= Jy= Jz時，過原點的任意軸都具有定向性；

Jx= Jy≠ Jz時，Z軸與Oxy平面的過原點的任意軸都具有定向性；

圖2 在軌定軸轉(zhuǎn)動時航天器角速度變化Fig.2 Spacecraft Palstance in Fixed-axis Rotation

圖3 在軌定軸轉(zhuǎn)動時重力梯度矩變化Fig.3 Gravity Gradient Torque in Fixed-axis Rotation

當(dāng)滿足定軸轉(zhuǎn)動條件時，航天器轉(zhuǎn)軸方向在慣性空間保持不變，且當(dāng)轉(zhuǎn)軸為Z軸時，旋轉(zhuǎn)剛體受擾動后仍能保持在原來的方向近旁運動，或漸趨于原來的方向。正常工作的航天器往往處于定軸轉(zhuǎn)動狀態(tài)。由于慣量矩陣的3個分量相同，航天器受到的重力梯度力矩為零，因此航天器角速度基本不變，作定軸轉(zhuǎn)動。

圖4 在軌規(guī)則進動時航天器角速度變化Fig.4 Spacecraft Palstance in Regular Precession

圖5 在軌規(guī)則進動時重力梯度矩變化Fig.5 Gravity Gradient Torque in Regular Precession

可以看出：當(dāng)航天器角速度發(fā)生異常，但結(jié)構(gòu)完好的情況下，航天器可能會規(guī)則進動。而這種角速度異常會由姿控系統(tǒng)故障引起。本例中航天器進動周期為 20 s，角速度矢量軌跡在本體系上為一個圓形，重力梯度矩在 ,XY軸上在零附近波動，而Z軸上進行周期變化。

圖6 歐拉-潘索運動時航天器角速度變化Fig.6 Spacecraft Palstance in Euler-poinsot Motion

圖7 歐拉-潘索運動時重力梯度矩變化Fig.7 Gravity Gradient Torque in Euler-poinsot Motion

圖8 歐拉-潘索運動時角速度矢徑變化Fig.8 Palstance Vector in Euler-poinsot Motion

對于不規(guī)則物體與隨即狀態(tài)而言，歐拉-潘索狀態(tài)為最為普遍的運動狀態(tài)。空間翻滾目標有大量的空間碎片以及小行星體，其質(zhì)量與形狀很不規(guī)則，姿態(tài)運動由碰撞產(chǎn)生，有很強的隨機性，因此這類目標通常作歐拉-潘索運動。由結(jié)果可以看出，受到重力梯度矩的影響后航天器的Z方向角速度成周期變化，結(jié)合進動效果后角速度的軌跡在本體系中表現(xiàn)為馬鞍面邊際線（兩橢球的交線）。

4 結(jié) 論

空間翻滾目標在軌道上雖然受到引力與環(huán)境干擾力的影響，但其姿態(tài)運動方式依然可以按照無外力矩剛體定點運動規(guī)律劃分，并且根據(jù)其運動特征可以反推其質(zhì)量特性，這對空間目標運動的識別與參數(shù)估計擁有重要參考意義。本文使用對偶數(shù)作為運動參數(shù)的表達形式，其輸入輸出均為6維，對于空間目標運動的初步識別與耦合估計非常實用，但為了得到更加精確的結(jié)果，仿真需要較高的運算精度，否則誤差項的耦合放大會對結(jié)果產(chǎn)生很大影響，因此在解決高精度位姿估計問題時，需要對該仿真系統(tǒng)進行更深入的理論研究。