趙思林

(內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 641112)

1 關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的認(rèn)識

從全球范圍看，目前對核心素養(yǎng)的內(nèi)涵、結(jié)構(gòu)和組成要素等并沒有達(dá)成共識，可能很難達(dá)成共識[1].《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱《課標(biāo)2017年版》)指出：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析(以下簡稱“六核素養(yǎng)”)[2].在這里，數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)應(yīng)包括思維的深刻性、敏捷性、靈活性、批判性和獨創(chuàng)性，在數(shù)學(xué)中應(yīng)特別重視批判性思維和創(chuàng)造性思維的培養(yǎng).《課標(biāo)2017年版》第8頁在課程目標(biāo)中把數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力概括為“四能”：發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.從“六核素養(yǎng)”的角度，也可把數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力概括為抽象概括能力、數(shù)學(xué)推理能力、數(shù)學(xué)建模能力、直觀想象能力、數(shù)學(xué)運算能力和數(shù)據(jù)分析能力.史寧中把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)概括為“三會”，即會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、會用數(shù)學(xué)的思維思考世界、會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界[3].在這里，把數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的思維、數(shù)學(xué)的語言看成是構(gòu)成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的三大支柱.鄭毓信認(rèn)為，“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”最為基本的一個含義是學(xué)會“數(shù)學(xué)地看待世界，發(fā)現(xiàn)問題，表述問題，分析問題，解決問題”[4].這個觀點與《課標(biāo)2017年版》提出的“四能”基本一致.筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是指個體在理解數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、思考數(shù)學(xué)、發(fā)現(xiàn)(創(chuàng)造)數(shù)學(xué)等活動中對數(shù)學(xué)感悟、反思和體驗的結(jié)果.

2 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)策略

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)已有不少研究.如，湯普森(D．R．Thompson)等認(rèn)為數(shù)學(xué)交流和表達(dá)是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基本成分，也是發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)的工具，因此提出教師應(yīng)鼓勵學(xué)生運用聽、說、讀、寫交流他們對數(shù)學(xué)符號、概念的理解，還應(yīng)鼓勵學(xué)生用口頭的、符號的、圖表的和數(shù)字的形式對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行表達(dá)[5].朱德全認(rèn)為，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是生成的，它是個體在已建立數(shù)學(xué)經(jīng)驗基礎(chǔ)之上對數(shù)學(xué)感悟、反思和體驗的結(jié)果[6].史寧中認(rèn)為，只要“重視夯實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本能力”的同時，兼顧“數(shù)學(xué)基本思想”和“數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗”的教學(xué)核心，那么就能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[7].史寧中還提出了培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的實施路徑，就是：把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)；創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境、提出合適的數(shù)學(xué)問題；啟發(fā)學(xué)生獨立思考、鼓勵學(xué)生與他人交流；使學(xué)生在掌握知識技能的同時，感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)；積累數(shù)學(xué)思維和實踐的經(jīng)驗、形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[8].章建躍認(rèn)為，“數(shù)學(xué)教學(xué)的基本任務(wù)是幫助學(xué)生把一個個數(shù)學(xué)知識理解到位并能用于解決問題”.培養(yǎng)學(xué)生的理性思維始終是數(shù)學(xué)課程的核心任務(wù)，這就是數(shù)學(xué)教學(xué)的“宗”.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，“為發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)而教”與“為培養(yǎng)學(xué)生的理性思維而教”是完全一致的[9].由此，學(xué)生“為核心素養(yǎng)而學(xué)”與“為理性思維而學(xué)”也是一致的.學(xué)生獲得數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必要條件是“把一個個數(shù)學(xué)知識理解到位并能用于解決問題”.章建躍還認(rèn)為，“四基”、“四能”是通向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主渠道[10].王尚志認(rèn)為，培養(yǎng)并提升核心素養(yǎng)，不能依賴模仿、記憶，更需要理解、感悟，需要主動、自覺[11].朱德江認(rèn)為，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)應(yīng)當(dāng)注意：聯(lián)系生活實際，利用豐富的數(shù)學(xué)課程資源引領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)數(shù)學(xué)世界；關(guān)注學(xué)習(xí)過程，引導(dǎo)學(xué)生在積極參與知識的“再創(chuàng)造”過程中理解數(shù)學(xué)；重視實踐應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生在“做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)”中感悟數(shù)學(xué)[12].這些意見或建議對培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是有指導(dǎo)性和啟發(fā)性的.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成是一個過程，既是個體在長期的數(shù)學(xué)理解、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)(創(chuàng)造)等活動中反復(fù)修煉、自主生成的過程，也是對數(shù)學(xué)經(jīng)驗不斷積累、反省、反證的自我體驗過程.培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的策略很多，如情意激活策略、思維訓(xùn)練策略、問題解決策略、思想感悟策略、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)策略、元認(rèn)知開發(fā)策略等.其中，數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練包括對數(shù)學(xué)語言、思維方式(方法)以及思維品質(zhì)的訓(xùn)練.

2.1 情意激活策略

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成是一個需要長期修煉的過程.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是在長期地認(rèn)知理解數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題、感悟數(shù)學(xué)思想、發(fā)現(xiàn)(創(chuàng)造)數(shù)學(xué)等活動中修煉而成的，這當(dāng)然離不開個人“情”“意”的參與.隨著快速的社會發(fā)展和知識迭代，晶體智力的相對作用會逐漸減弱，而認(rèn)知能力和情緒動機(jī)能力對個體發(fā)展會產(chǎn)生更重要的影響.因此，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的修煉與養(yǎng)成離不開個人情意(情感)的參與和投入.張華認(rèn)為，“素養(yǎng)是一種以創(chuàng)造與責(zé)任為核心的高級心智能力”，“將認(rèn)知性素養(yǎng)和非認(rèn)知性素養(yǎng)同時關(guān)注，體現(xiàn)了知識社會的新要求”[13].人的認(rèn)知與情感共居于本體知識系統(tǒng)之中，共用某些神經(jīng)回路，因此，情感活動能夠影響人的認(rèn)知過程[14].這說明，情感對學(xué)習(xí)既可能起積極作用，也可能起消極作用.學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)努力培養(yǎng)積極正面的情感，而應(yīng)盡力管控消極負(fù)面的情感.學(xué)習(xí)的本質(zhì)是個體在認(rèn)知和非認(rèn)知的協(xié)同配合下獲取新經(jīng)驗的過程.非認(rèn)知系統(tǒng)即情意系統(tǒng).情意系統(tǒng)包括情感、意志和態(tài)度，它是人們在進(jìn)行各種活動時除心智因素以外的但對心智的發(fā)揮或發(fā)展有影響的心理因素.情意系統(tǒng)是長期修煉核心素養(yǎng)的動力系統(tǒng).情意系統(tǒng)對核心素養(yǎng)的作用體現(xiàn)在學(xué)習(xí)目標(biāo)定位、創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突、產(chǎn)生心理需求、激發(fā)動機(jī)興趣、磨練意志品質(zhì)、管控情緒情感、感受成功體驗等方面.雖然中學(xué)階段(青春期)是情緒動機(jī)和決策能力發(fā)展的關(guān)鍵期，但當(dāng)下的教育并未得到充分地關(guān)注.對此，長江學(xué)者薛貴教授建議，開發(fā)專門課程和訓(xùn)練任務(wù)來培養(yǎng)積極情緒和動機(jī)，包括成長性思維、習(xí)慣養(yǎng)成、決策能力、情緒調(diào)節(jié)能力等的培養(yǎng)[15].

情意激活有以下策略：(1)由認(rèn)知沖突產(chǎn)生認(rèn)知需求，通過了解和認(rèn)識數(shù)學(xué)的價值產(chǎn)生學(xué)習(xí)需要，通過數(shù)學(xué)德育讓學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)需要，等.(2)運用“立志教育”、“成就動機(jī)理論”、“歸因理論”、“強(qiáng)化理論”、“自我效能感理論”、“創(chuàng)設(shè)問題情境激發(fā)好奇心”、“適當(dāng)開展學(xué)習(xí)競爭”等理論和方法激發(fā)動機(jī).(3)興趣對學(xué)習(xí)的意義是不言而喻的.通過做數(shù)學(xué)游戲、講數(shù)學(xué)家的故事、立目標(biāo)、激發(fā)好奇心、設(shè)置新穎情境、探究疑難問題、欣賞數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)小競賽等措施或辦法激發(fā)興趣.(4)以平和的心態(tài)抑制情緒，運用轉(zhuǎn)移注意力、閱讀、做題、深呼吸等方法調(diào)整(節(jié))自己的情緒，調(diào)動元認(rèn)知去監(jiān)控和管理情緒.(5)通過挑戰(zhàn)難題、克服各種困難、面對失敗不言放棄等方法錘煉意志、磨練性格.

2.2 思維訓(xùn)練策略

形成學(xué)科思維應(yīng)當(dāng)是學(xué)習(xí)者學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的最高表現(xiàn)[16].數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是個體在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)(其核心是理解數(shù)學(xué))、應(yīng)用數(shù)學(xué)(其核心是問題解決)、感悟數(shù)學(xué)思想、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)等認(rèn)知活動中實現(xiàn)的.而思維是認(rèn)知活動的內(nèi)核，對認(rèn)知活動具有統(tǒng)領(lǐng)的作用.數(shù)學(xué)作為鍛煉思維的體操，可以通過系統(tǒng)的、全面的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練實現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練的方法很多，數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練包括對數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)思維方法以及思維品質(zhì)的訓(xùn)練.

數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)語言有密切關(guān)系.“語言是有聲的思維，思維是無聲的語言.”數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)應(yīng)重視數(shù)學(xué)語言的教學(xué)，因為數(shù)學(xué)思維依賴于數(shù)學(xué)語言.數(shù)學(xué)語言是用來反映數(shù)量關(guān)系和空間形式的數(shù)學(xué)“行話”(專用語言)，由普通文字語言、數(shù)學(xué)概念語言、符號語言、圖表語言組成.發(fā)展數(shù)學(xué)語言對學(xué)生理解數(shù)學(xué)、思考數(shù)學(xué)、表達(dá)數(shù)學(xué)、交流數(shù)學(xué)等具有重要作用.應(yīng)特別重視直觀的“形”的語言與抽象的“數(shù)”的語言的互譯互化，這是因為它是數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)，也是達(dá)到“直覺上的顯然”的基礎(chǔ)，還有助于對問題的深度思考.通過熟悉、表征、互譯等方式發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)語言，對于學(xué)生的數(shù)學(xué)理解、數(shù)學(xué)表達(dá)、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)等有著重要作用.

數(shù)學(xué)思維方式的訓(xùn)練.數(shù)學(xué)思維方式包括全腦思維、發(fā)散思維、逆向思維、創(chuàng)造性思維等.腦科學(xué)研究表明，在大多數(shù)時間里大腦的兩個半腦和整體對于學(xué)習(xí)都是重要的.美國學(xué)者Eric Jensen認(rèn)為，不應(yīng)該強(qiáng)調(diào)半腦，否則會損害另一半腦，最好是促進(jìn)“全腦思維”[17].史寧中教授認(rèn)為：“理想的教育必須有意識地、有針對性地激活大腦的各個部位”[18].“激活大腦的各個部位”可理解為激活全腦思維，即激活左腦的線性思維和右腦的非線性思維.基于“猜想—證明”、“估算—精算”的教學(xué)設(shè)計，真正實現(xiàn)了激活全腦思維[19].發(fā)散思維可通過一題多解(證)、一題多變、一題多探等來訓(xùn)練.逆向思維可通過補(bǔ)集思想、反證法、“執(zhí)果索因”的分析法、正難則反的數(shù)學(xué)解題策略等訓(xùn)練.創(chuàng)造性思維可以通過“創(chuàng)新思維方法”[20]來訓(xùn)練.

數(shù)學(xué)思維方法的訓(xùn)練.數(shù)學(xué)思維方法是個體對數(shù)量關(guān)系和空間形式進(jìn)行思維加工而達(dá)到一定思維目的的途徑、手段和辦法.這里的“思維加工”的方法很多，包括抽象、概括、觀察、比較、劃分(分類)、分析、綜合、歸納、類比、演繹、運算、反駁、想象、建模等.

數(shù)學(xué)思維優(yōu)良品質(zhì)的形成是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生成的重要標(biāo)志.數(shù)學(xué)思維品質(zhì)包括思維的深刻性、敏捷性、靈活性、批判性和獨創(chuàng)性.數(shù)學(xué)思維品質(zhì)特別是批判性思維、創(chuàng)造性思維的訓(xùn)練應(yīng)貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終.

2.3 問題解決策略

問題是數(shù)學(xué)的心臟.數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容.數(shù)學(xué)問題解決體現(xiàn)了“做數(shù)學(xué)”和“用數(shù)學(xué)”的理念與方法，“做數(shù)學(xué)”和“用數(shù)學(xué)”是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的根本方法.“做數(shù)學(xué)”突出學(xué)生自己去建模、解模、驗?zāi)?、改模、評模，親自去計算(包括估算、精算、機(jī)算等)，自己去推理，自己去發(fā)現(xiàn).“做數(shù)學(xué)”要求學(xué)生獨立完成各種作業(yè)，包括課本中的習(xí)題和復(fù)習(xí)題、課前預(yù)習(xí)和課后復(fù)習(xí)、課內(nèi)到課外延伸的研究性學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)文化學(xué)習(xí)、課題研究作業(yè)等.“用數(shù)學(xué)”是指在理解數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)上用數(shù)學(xué)的眼光看問題，用數(shù)學(xué)的思維看待問題、分析問題和解決問題，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)自己的數(shù)學(xué)觀點、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)成果.在數(shù)學(xué)中面對的問題主要有三類：一是把含有實際背景和非數(shù)學(xué)學(xué)科背景的問題變成數(shù)學(xué)問題即建立數(shù)學(xué)模型，這類問題可歸結(jié)為“現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化”；二是數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)怎樣組織、怎樣嚴(yán)密的問題，即數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)的組織化和邏輯化，這類問題可歸結(jié)為“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)邏輯化”；三是怎樣把數(shù)學(xué)理論廣泛地應(yīng)用于各種具體情境(含數(shù)學(xué)學(xué)科)，這類問題可歸結(jié)為“數(shù)學(xué)理論應(yīng)用化”.這里的“現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)邏輯化、數(shù)學(xué)理論應(yīng)用化”，其實包含了弗賴登塔爾大力倡導(dǎo)的“數(shù)學(xué)化”.“現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化”可培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)，“數(shù)學(xué)內(nèi)部結(jié)構(gòu)邏輯化”可培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)，“數(shù)學(xué)理論應(yīng)用化”可培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、分析和解決問題等素養(yǎng).數(shù)學(xué)問題有好問題和不好的問題之分，好的數(shù)學(xué)問題應(yīng)有利于學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)核心知識、訓(xùn)練數(shù)學(xué)基本方法、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想，并且還要有利于激活數(shù)學(xué)直覺思維和邏輯思維，教師應(yīng)選擇“好”的數(shù)學(xué)問題作為教學(xué)的例題、學(xué)生的習(xí)題、測評的考題以及數(shù)學(xué)探究的課題.

在信息化、大數(shù)據(jù)時代，應(yīng)用數(shù)學(xué)理論并借助于智能計算機(jī)(計算器)強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理能力，去分析問題和解決問題應(yīng)作為學(xué)生基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng).也就是說，在“現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)邏輯化、數(shù)學(xué)理論應(yīng)用化”等過程中，應(yīng)重視培養(yǎng)智能計算思維.2011年美國國際教育技術(shù)協(xié)會與計算機(jī)科學(xué)教師協(xié)會對智能計算思維給出了一個定義：智能計算思維是一種問題解決過程，它強(qiáng)調(diào)用有助于求解的計算機(jī)或其他工具表述問題；邏輯組織并分析數(shù)據(jù)；用模型與模擬等抽象表征數(shù)據(jù)；通過算法思維將求解過程自動化；識別、分析并實施可能的求解過程，以便獲得步驟和資源最有效率和效益的組合；將問題解決過程概括并轉(zhuǎn)換為更為一般的問題解決過程[21].從這個定義可以看出智能計算思維與數(shù)學(xué)的密切關(guān)系.在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，智能計算思維包括數(shù)據(jù)實踐、數(shù)學(xué)模擬、基于計算機(jī)的問題解決、系統(tǒng)思維等四方面的能力[22].需要說明的是，中學(xué)生的智能計算思維的訓(xùn)練應(yīng)做到有規(guī)劃、有步驟、有辦法，并穩(wěn)步地開展.智能計算思維的培養(yǎng)應(yīng)與數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)結(jié)合起來，就可收到一舉多得之效.

2.4 思想感悟策略

史寧中認(rèn)為，“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”就是數(shù)學(xué)基本思想的具體表現(xiàn)[23].弗利德曼曾指出，“數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)邏輯結(jié)構(gòu)的一個特殊的和最重要的要素”.數(shù)學(xué)基本思想是“六核素養(yǎng)”的基礎(chǔ)和本質(zhì)體現(xiàn)，也是“六核素養(yǎng)”所要突顯、表達(dá)和傳遞的真諦.因此，胡典順等人把“數(shù)學(xué)基本思想”放置在數(shù)學(xué)“素養(yǎng)魔方”圖的中心塊[24].也就是說，他們把“數(shù)學(xué)基本思想”視為“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”的核心.從而，感悟數(shù)學(xué)思想就是在修煉數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)既可以靠教又可以靠學(xué)，還可以依靠教與學(xué)的互動；數(shù)學(xué)方法的掌握主要應(yīng)靠練(練習(xí))；數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)單憑靠教、靠學(xué)、靠練或這三者的組合都是不夠的，數(shù)學(xué)思想的獲得主要是靠(覺)悟，人們常說的“思想覺悟”其實可以說成“思想的覺悟”或“覺悟的思想”，也可以說，覺悟的既不是知識也不是方法，而是思想.數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法都只是形成(產(chǎn)生)數(shù)學(xué)思想的必要條件，但不是充分條件.“知識是外在于人的，是一種可以量化的‘知道’，只有在‘悟’的過程中，讓知識進(jìn)入人的認(rèn)知本體，悟有所得，才能稱為素養(yǎng).”[25]由此可知，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要對數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法的悟，悟到的東西就是數(shù)學(xué)思想也就是數(shù)學(xué)素養(yǎng).既然“悟”是產(chǎn)生(形成)數(shù)學(xué)思想的重要途徑，那么“悟”也是生成數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑.從而，“悟”對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)尤為重要，但遺憾的是，現(xiàn)在世界上還沒有系統(tǒng)的、有效的關(guān)于“悟”的教學(xué)方法或修煉方法.因此，研究對數(shù)學(xué)的“悟”的教學(xué)方法或修煉方法是非常有意義但又很困難的問題.

教學(xué)中應(yīng)把“六核素養(yǎng)”的培養(yǎng)與對數(shù)學(xué)的“悟”結(jié)合起來.如，從數(shù)學(xué)抽象中感悟數(shù)學(xué)化思想、公理化思想；從邏輯推理中感悟數(shù)學(xué)推理的思想、公理化思想；從數(shù)學(xué)建模中感悟數(shù)學(xué)化思想、模型思想；從直觀想象中感悟數(shù)形結(jié)合思想和數(shù)形轉(zhuǎn)化思想；從數(shù)學(xué)運算中感悟算法思想；從數(shù)據(jù)分析中感悟數(shù)據(jù)思想、預(yù)測思想.

2.5 數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)策略

數(shù)學(xué)是一門充滿了探索和發(fā)現(xiàn)(創(chuàng)造)的科學(xué).培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的最高要求是學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)(或創(chuàng)造)新的數(shù)學(xué)知識、新的數(shù)學(xué)方法和新的數(shù)學(xué)思想，但應(yīng)堅持量力而行的教學(xué)原則，不能隨意拔高教學(xué)要求.數(shù)學(xué)教學(xué)若能采用布魯納倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)教學(xué)(學(xué)習(xí))法，則對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是有益的.對中學(xué)生來說，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)包括數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)命題的發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)方法的發(fā)現(xiàn)，解題思路的發(fā)現(xiàn)等.鑒于中國的中學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力比較薄弱，《課標(biāo)2017年版》在課程目標(biāo)中有針對性的提出了“四能”，即發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力.在數(shù)學(xué)中，發(fā)現(xiàn)問題的途徑很多，如可以在數(shù)學(xué)建模過程中發(fā)現(xiàn)并提出新問題，在探究問題的過程中發(fā)現(xiàn)并提出新問題，在解決問題的過程中發(fā)現(xiàn)并提出新問題，也可以對現(xiàn)有問題的一般化或特殊化發(fā)現(xiàn)并提出新問題，還可以在質(zhì)疑或問題解決后的反思時發(fā)現(xiàn)并提出新問題，等.數(shù)學(xué)命題是實施數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的極好素材，命題發(fā)現(xiàn)的過程往往也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)(創(chuàng)造)的過程，學(xué)生需要經(jīng)歷“觀察與分析——聯(lián)想與探索——原型與頓悟——靈感與猜想”等過程.命題發(fā)現(xiàn)的途徑和方法有很多，如從定義中發(fā)現(xiàn)新命題，從合情推理(歸納、類比)中猜想新命題，從演繹推理中獲得新命題，利用四種命題關(guān)系發(fā)現(xiàn)，對某個命題加強(qiáng)發(fā)現(xiàn)新命題，對命題改進(jìn)而發(fā)現(xiàn)新命題，從數(shù)學(xué)推廣中得到新猜想(命題)等[26].數(shù)學(xué)教師必然會花大量時間進(jìn)行解題教學(xué)，數(shù)學(xué)解題教學(xué)可概括為三個層次：“展現(xiàn)解法”，“展現(xiàn)思路”，“展現(xiàn)思路的發(fā)現(xiàn)過程”.從數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的角度看，教師應(yīng)花足夠的時間去“展現(xiàn)思路的發(fā)現(xiàn)過程”，有的時候教師可以假裝不會發(fā)現(xiàn)并鼓勵學(xué)生親身經(jīng)歷思路尋找(發(fā)現(xiàn))的過程.此外，從培養(yǎng)“六核素養(yǎng)”的過程中也可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)(創(chuàng)造)意識，如從數(shù)學(xué)抽象中發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)概念，從邏輯推理中發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)命題，從數(shù)學(xué)建模中發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)模型，從直觀想象中發(fā)現(xiàn)新的解題思路和新的數(shù)學(xué)結(jié)論，從數(shù)學(xué)運算中發(fā)現(xiàn)新的計算工具和計算方法，從數(shù)據(jù)分析中發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的新規(guī)律和數(shù)據(jù)變化的新趨勢.

2.6 元認(rèn)知開發(fā)策略

“元認(rèn)知是對認(rèn)知的認(rèn)知.”元認(rèn)知對認(rèn)知具有管理、調(diào)節(jié)、評價、反思等作用.簡單地說，元認(rèn)知是認(rèn)知的“領(lǐng)導(dǎo)”.如果認(rèn)知的“領(lǐng)導(dǎo)”不好，那么認(rèn)知能夠好到哪里去呢.全腦思維、問題解決、思想感悟、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)(創(chuàng)造)等，歸根到底都是對數(shù)學(xué)的高級認(rèn)知活動.數(shù)學(xué)認(rèn)知活動是一個復(fù)雜、開放、有意識的自組織系統(tǒng)，這個自組織系統(tǒng)的良好運行必須要有一個強(qiáng)有力的“領(lǐng)導(dǎo)”即元認(rèn)知來管理.數(shù)學(xué)高級認(rèn)知能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的核心成分.因此，個體的數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力是決定數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵性因素.所以，開發(fā)元認(rèn)知就是在培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).素養(yǎng)的核心是反思性思考與行動.“反思性 (ref lectiveness) 正居于核心素養(yǎng)之中心”，“反思性思維需要相對復(fù)雜的心智過程，并要求思考過程的主體成為其客體.”[27]反思就是將自身作為思考對象，通過思考自身而不斷調(diào)整自己的思考和行動.培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為什么強(qiáng)調(diào)反思的重要性呢？這是因為，反思是開發(fā)元認(rèn)知最有效的方法.反思包括返回去思考，從反面去思考，反復(fù)地思考等方式.從開發(fā)數(shù)學(xué)元認(rèn)知的角度看，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、探究數(shù)學(xué)、感悟數(shù)學(xué)、發(fā)現(xiàn)(創(chuàng)造)數(shù)學(xué)等各種活動中，反思不僅不能缺席，而且應(yīng)有意識地、自覺地把反思用于各種數(shù)學(xué)活動之中.