王凱楓 時(shí)彥朋 劉建強(qiáng)

( 1 山東大學(xué)微電子學(xué)院，山東 濟(jì)南 250100； 2 物理國家級實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心(山東大學(xué))，山東 濟(jì)南 250100)

無限深勢阱是量子力學(xué)中最基本的模型之一，對了解量子力學(xué)理論具有重要的意義，在教學(xué)和科研中都具有非常重要的作用。一維無限深勢阱目前幾乎是所有初等量子力學(xué)教材[1-6]中詳細(xì)講解的經(jīng)典內(nèi)容，半壁無限深勢阱作為無限深勢阱的變形，也是量子體系中較為常見和重要的模型[5]。

1 問題的提出

在量子力學(xué)教科書中，一維半壁無限深勢阱問題描述如下：

如圖1所示，設(shè)粒子處于如下勢場中，

(1)

其中，a為阱寬；V0為勢阱高度(V0>0)；分段函數(shù)的3個(gè)部分分別對應(yīng)圖中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區(qū)域，求解V0與a滿足什么條件時(shí)，體系存在束縛態(tài)。

圖1 一維半壁無限深勢阱示意圖

2 問題的傳統(tǒng)解

體系存在束縛態(tài)時(shí)，有

此時(shí)波函數(shù)滿足定態(tài)薛定諤方程

(4)

在Ⅰ區(qū)域內(nèi)，V(x)=∞，ψ1(x)=0。

(5)

(6)

在Ⅲ區(qū)域內(nèi),令

(7)

有

(8)

求解方程(6)和(8),并結(jié)合連續(xù)性條件和束縛態(tài)式(3)得

由連續(xù)性條件可得

即需要求解方程(11)、(12)在束縛態(tài)條件下存在非平庸解的條件：

(13)

令

η=αa(η>0),ζ=ka(ζ>0)

(14)

得到

(17)

圖2 超越方程組(15)和式(16)的圖像解

據(jù)我們所知，目前幾乎所有主流教科書[1-3]給出答案：式(17)為體系存在束縛態(tài)的條件。

3 分析與討論

下面討論關(guān)系式(17)作為解的合理性。

(18)

不符合式(14)中η>0的條件。反推η>0這一條件，可知其來源于式(7)α>0，即式(2)0

此時(shí)連續(xù)性條件仍然成立，即

ψ2(a)=ψ3(a),ψ′2(a)=ψ′3(a)

由此可得

易得式(23)恒成立。對于式(22)，若A=B=0，則有ψ(x)=0，滿足束縛態(tài)條件ψ(x)|x→∞→0。但同時(shí)波函數(shù)在全空間恒等于零，即粒子在全空間內(nèi)出現(xiàn)的概率為零，顯然與題目條件不符，沒有實(shí)際物理意義。

若A=B≠0，由式(21)得，當(dāng)x→+∞時(shí)，ψ3(x)=B≠0，不滿足束縛態(tài)條件(3)ψ(x)|x→∞→0，得此時(shí)波函數(shù)不是束縛態(tài)。

因此，最終結(jié)論為：半壁無限深勢阱存在束縛態(tài)的條件嚴(yán)格應(yīng)為

由一維半壁無限深勢阱存在束縛態(tài)的臨界情況推廣到有限深勢阱的情形(圖3)，

圖3 一維有限深勢阱示意圖

4 結(jié)論

半壁無限深勢阱或者有限深勢阱是量子力學(xué)的初學(xué)者必然遇到的問題，在初等量子力學(xué)中的地位不容小視，本文給出該物理模型的嚴(yán)格解，討論了其臨界狀態(tài)的情況，指出了傳統(tǒng)教材中就該問題的處理不足之處。本文能使人們正確認(rèn)識這類問題，對于從事量子力學(xué)的教學(xué)和科研工作者有重要意義。