王永昭

(1.安陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 安陽(yáng) 455000;2.天津大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部,天津 300072)

0 引言

隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展,顧客自我意識(shí)的不斷提高,需求越來(lái)越趨于個(gè)性化。同時(shí),市場(chǎng)的激烈競(jìng)爭(zhēng)使得產(chǎn)品更新?lián)Q代越來(lái)越快,產(chǎn)品的生命周期越來(lái)越短。銷售市場(chǎng)中把這種容易腐爛變質(zhì)或者消費(fèi)者消費(fèi)偏好變化而引起銷售周期縮短的產(chǎn)品稱之為易逝品。易逝品具有較強(qiáng)時(shí)效性和需求波動(dòng)性,已成為供應(yīng)鏈管理研究的熱門話題。然而,在實(shí)際生活中,有很多易逝品在庫(kù)存初始時(shí)期(保鮮期)價(jià)值保持不變,之后才會(huì)發(fā)生衰減,稱之為非即時(shí)衰減品[1]。例如某些果蔬,會(huì)在初始的一段時(shí)間內(nèi)保持較高的新鮮度。如果忽略了產(chǎn)品非即時(shí)衰減的特性,會(huì)導(dǎo)致成本高估,使得零售商做出錯(cuò)誤決策,非即時(shí)衰減品吸引了越來(lái)越多學(xué)者的關(guān)注和研究[2-4]。

定價(jià)問題是非即時(shí)衰減品的一個(gè)重要研究領(lǐng)域。定價(jià)作為現(xiàn)代企業(yè)最重要的策略之一,是企業(yè)增加收益的主要手段[5]。因此,合理定價(jià)是現(xiàn)代公司追求高投資回報(bào)的普遍方式。動(dòng)態(tài)定價(jià)有別于傳統(tǒng)的靜態(tài)定價(jià),是指經(jīng)營(yíng)者敏感地感受市場(chǎng)需求的波動(dòng)及時(shí)調(diào)整銷售價(jià)格以達(dá)到收益最大化目的。科技的飛速發(fā)展為動(dòng)態(tài)定價(jià)提供了技術(shù)便利和成本優(yōu)勢(shì),推動(dòng)了動(dòng)態(tài)定價(jià)的實(shí)踐與應(yīng)用。 Kincaid和Darling[6]早在1963年就開始研究易逝品連續(xù)時(shí)間的動(dòng)態(tài)定價(jià)問題。Wang等[7]運(yùn)用極大值原理把動(dòng)態(tài)定價(jià)問題擴(kuò)展到了非即時(shí)衰減品中。近年來(lái),越來(lái)越多的研究展示了動(dòng)態(tài)定價(jià)的有效性和優(yōu)越性[8-9]。

企業(yè)在銷售過(guò)程中往往面臨著市場(chǎng)和消費(fèi)者需求的高度不確定性,以及消費(fèi)者的消費(fèi)行為的復(fù)雜性,因此把這些因素考慮到定價(jià)模型中非常有必要。以往的動(dòng)態(tài)定價(jià)研究中往往假設(shè)消費(fèi)者滿足理性人假設(shè),例如文獻(xiàn)[10-11],然而在實(shí)際的生活中,存在大量的非理性消費(fèi)者這些很大程度上影響了企業(yè)的定價(jià)策略制定。本文參考文獻(xiàn)[12]引入模糊函數(shù)來(lái)刻畫消費(fèi)者購(gòu)買產(chǎn)品的可能性,更符合實(shí)際情況。

考慮到產(chǎn)品非即時(shí)衰減的特性,本文構(gòu)造了基于消費(fèi)者購(gòu)買決策的模糊函數(shù),針對(duì)價(jià)值判斷異性的消費(fèi)者,建立銷售周期和初始庫(kù)存確定的非即時(shí)衰減品動(dòng)態(tài)定價(jià)模型。在零售商收益最大化的目標(biāo)下,運(yùn)用變分法求解模型,得到最優(yōu)動(dòng)態(tài)定價(jià)函數(shù)。最后進(jìn)行了數(shù)值模擬和主要參數(shù)的靈敏度分析,得到了一些重要的管理學(xué)啟示。

1 動(dòng)態(tài)定價(jià)模型

1.1 模型描述

在本文考慮一個(gè)壟斷的零售商在一定時(shí)間段[0,T]內(nèi)銷售單一非即時(shí)衰減品(如水果、農(nóng)蔬產(chǎn)品等)的動(dòng)態(tài)定價(jià)問題。此時(shí),非即時(shí)衰減品是指在保險(xiǎn)期內(nèi)價(jià)值不變,之后隨著時(shí)間價(jià)值發(fā)生衰減的產(chǎn)品,保鮮期td為確定常量。

為保證模型的合理性及正確性,做出如下假設(shè):

假設(shè)1:初始庫(kù)存I。在整個(gè)銷售期內(nèi),零售商不存在補(bǔ)貨行為,該批次的產(chǎn)品剩余量為0時(shí)即銷售期結(jié)束。不同于別的商品,非即時(shí)衰減品生命周期較短,銷售期末殘值很小,幾乎為零,所以零售商一般采取庫(kù)存清空策略。

假設(shè)2:產(chǎn)品的成本為固定常數(shù)。為簡(jiǎn)化模型不失一般性,整個(gè)銷售周期不考慮銷售價(jià)格的菜單成本。非即時(shí)衰減品采摘或生產(chǎn)流程固定,庫(kù)存運(yùn)營(yíng)管理體系成熟,產(chǎn)品成本短期內(nèi)受外界影響較小,故刻畫為固定常數(shù)。

假設(shè)3:參考文獻(xiàn)[12],在整個(gè)銷售期內(nèi)顧客以泊松過(guò)程到達(dá)商店,平均到達(dá)率為λ(t)。

假設(shè)4:銷售市場(chǎng)被充分細(xì)化,消費(fèi)者對(duì)產(chǎn)品價(jià)值判斷異性。假設(shè)消費(fèi)者對(duì)非即時(shí)衰減品價(jià)值判斷V(t)滿足

(1)

其中,V為消費(fèi)者保留價(jià)值,服從區(qū)間[a,b]上的既定連續(xù)分布F,密度函數(shù)為f。在[0,td]內(nèi)產(chǎn)品價(jià)值保持不變,消費(fèi)者對(duì)產(chǎn)品價(jià)值判斷異性。在[td,T]內(nèi)可以從兩方面解釋,一方面忽略時(shí)間因素,消費(fèi)者價(jià)值判斷和前一階段一致;另一方面非即時(shí)衰減品對(duì)時(shí)間的敏感性,消費(fèi)者的保留價(jià)值是隨時(shí)間遞減的,此處假設(shè)為指數(shù)遞減[7],α為價(jià)值衰減因子,用來(lái)描述價(jià)值衰減速度。

假設(shè)5:以往研究主要集中在理性消費(fèi)者做出購(gòu)買決策當(dāng)且僅當(dāng)其能獲得最大的剩余價(jià)值。然而,在實(shí)際生活中有很多非理性消費(fèi)者[13]:商品的最大剩余價(jià)值大于消費(fèi)者價(jià)值判斷時(shí)不一定購(gòu)買,只是購(gòu)買的可能性會(huì)增大。為了刻畫這種情況,本文參考文獻(xiàn)[12]引入模糊函數(shù)如下,

(2)

上式刻畫了消費(fèi)購(gòu)買產(chǎn)品的概率,描述了消費(fèi)者的決策過(guò)程,其中p(t)為產(chǎn)品t時(shí)刻的價(jià)格。

1.2 模型建立

考慮消費(fèi)者模糊決策過(guò)程和價(jià)值判斷異性特點(diǎn),在銷售初期[0,td]產(chǎn)品銷售量為

(3)

在銷售第二階段[td,T],產(chǎn)品銷售量為

(4)

為保證庫(kù)存和銷售價(jià)格的非負(fù)性,需滿足如下約束

Q1(t)+Q2(t)≤I，

p(t)≥0.

(5)

基于上述假設(shè)和分析,構(gòu)建初始庫(kù)存水平和銷售周期給定情況下零售商利潤(rùn)J最大的最優(yōu)控制模型:

(6)

1.3 模型求解

為了得到更多的管理學(xué)啟示,下面假設(shè)整個(gè)銷售期消費(fèi)者的平均到達(dá)率為常數(shù)λ。原問題的求解可看作泛函求極值問題,由于原問題可分為[0,td]和[td,T]時(shí)間段定價(jià)問題,且這兩個(gè)階段定價(jià)相互獨(dú)立,因此原問題轉(zhuǎn)換為這兩個(gè)階段的約束條件不變的最優(yōu)控制問題。

(7a)

(7b)

利用變分法,分別構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為

(8a)

(8b)

其中,μ1,μ2為拉格朗日乘子。因此,歐拉方程可表示為

(9)

(10)

分別計(jì)算得

(11)

(12)

為了求解最優(yōu)定價(jià),可將原始不等約束簡(jiǎn)化為

Q1(t)=w,Q2(t)=I0-w.

(13)

其中,w為待定的第一階段銷售量。I0滿足下式

(14)

將式(9)、(10)代入以上約束條件可得

(15)

(16)

其中,A=(eα(T-td)-1)/α.

將上式代入式(11)和(12),易得

(17)

(18)

以上可以看出,在第一階段由于產(chǎn)品處于保鮮期,零售商采取了靜態(tài)定價(jià)策略;然而,當(dāng)?shù)诙A段產(chǎn)品價(jià)值開始衰減,則采用動(dòng)態(tài)定價(jià)策略來(lái)保持利潤(rùn)。

同時(shí)注意到,第一階段的銷售量w取不同值,產(chǎn)品在兩個(gè)階段的價(jià)格是不一樣的。因此,為了求解最優(yōu)的w,將式(17),(18)代入式(6),并求導(dǎo)可得

(19)

結(jié)合上式和式(17)、(18)代入總利潤(rùn)函數(shù),并對(duì)其求導(dǎo),可得

(20)

將上式代入式(17)、(18),得到最優(yōu)定價(jià)策略:

當(dāng)I<λT/2時(shí)

(21)

當(dāng)I≥λT/2時(shí)

(22)

以上可以看出,在第一階段產(chǎn)品的非即時(shí)衰減的特性使得第一階段采取靜態(tài)定價(jià)策略,而第二階段采取動(dòng)態(tài)定價(jià)策略,結(jié)合(21)和(22)式可以發(fā)現(xiàn)產(chǎn)品定價(jià)遵循閾值策略,當(dāng)初始庫(kù)存較低時(shí),定價(jià)與顧客平均到達(dá)率、衰減因子、保鮮期長(zhǎng)度和銷售周期有關(guān);而當(dāng)初始庫(kù)存很高時(shí),定價(jià)僅與衰減因子、保鮮期長(zhǎng)度有關(guān)。

2 數(shù)值分析

通過(guò)數(shù)值算例對(duì)價(jià)值衰減因子α,產(chǎn)品保鮮期td,初始庫(kù)存量I,產(chǎn)品銷售周期T等主要參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析。

參考文獻(xiàn)[5]將該定價(jià)模型的基本參數(shù)設(shè)定為:I=100;λ=10;a=110;α=0.05;b=90;td=20;T=90;

考慮價(jià)值衰減因子的變化,得到如圖1所示的連續(xù)價(jià)格曲線?？梢钥闯?在保鮮期內(nèi)零售商采取靜態(tài)定價(jià)策略,這是由于在庫(kù)存容量相對(duì)充足的條件下,產(chǎn)品價(jià)值并未發(fā)生變化使得顧客對(duì)產(chǎn)品的價(jià)值期望不變,為了增加銷量,零售商不會(huì)輕易變動(dòng)價(jià)格。而保鮮期過(guò)后,產(chǎn)品價(jià)值成指數(shù)下降趨勢(shì),為了使價(jià)格合理地匹配不斷衰減的產(chǎn)品價(jià)值,滿足消費(fèi)者預(yù)期,零售商采取了動(dòng)態(tài)的降價(jià)銷售策略。隨著衰減因子的不斷變大,產(chǎn)品的衰減速度逐漸加快,產(chǎn)品在整個(gè)銷售期內(nèi)的價(jià)格越來(lái)越低,容易發(fā)現(xiàn)產(chǎn)品的銷售總利潤(rùn)也將會(huì)降低。因此,企業(yè)可以通過(guò)增加產(chǎn)品保鮮方面的投入,如建設(shè)冷庫(kù),改用冷鏈運(yùn)輸?shù)却胧?降低產(chǎn)品衰減速度來(lái)提高利潤(rùn)。

圖2描述了保鮮期的變化對(duì)產(chǎn)品定價(jià)的影響,從圖中容易發(fā)現(xiàn)隨著保鮮期的延長(zhǎng),兩階段的價(jià)格均有所上升,這是由于隨著產(chǎn)品保持初始價(jià)值的時(shí)間變長(zhǎng),零售商進(jìn)行高價(jià)銷售的時(shí)間延長(zhǎng),進(jìn)而銷售利潤(rùn)提高,這在計(jì)算結(jié)果里也得到了驗(yàn)證。因此,對(duì)于采購(gòu)非即時(shí)衰減品時(shí),如水果等,應(yīng)該選擇品相和新鮮度較好的產(chǎn)品,這與實(shí)際情況吻合。

Fig.1 Optimal pricing changes with different attenuation factor圖1 最優(yōu)定價(jià)隨衰減因子變化圖

Fig.2 Optimal pricing changes with different fresh time圖2 最優(yōu)定價(jià)隨保鮮期變化圖

圖3展示了不同的初始庫(kù)存情況下零售商的定價(jià)策略,隨著初始庫(kù)存的增大,企業(yè)面臨有限期內(nèi)銷售完產(chǎn)品的壓力,采取了撇脂定價(jià)策略以保證利潤(rùn)最大化。但是當(dāng)庫(kù)存滿足I≥λT/2時(shí),即大于等于450時(shí),零售商的定價(jià)策略不變,這時(shí)產(chǎn)品到銷售期末會(huì)有部分剩余,這是因?yàn)槿绻阉挟a(chǎn)品銷售完就必須進(jìn)一步降低價(jià)格,進(jìn)而總利潤(rùn)將會(huì)下降。

Fig.3 Optimal pricing changes with different inventory圖3 最優(yōu)定價(jià)隨庫(kù)存變化圖

Fig.4 Optimal pricing changes with different sales cycle圖4 最優(yōu)定價(jià)隨銷售周期變化圖

圖4是零售商定價(jià)策略隨銷售周期變化圖。從圖中可以看出,隨著銷售周期的延長(zhǎng),整個(gè)周期的價(jià)格呈現(xiàn)整體下降趨勢(shì),這是因?yàn)榱闶凵逃辛烁蟮亩▋r(jià)空間。當(dāng)銷售周期較短,且滿足I≥λT/2時(shí),即使銷售周期改變,第一階段的定價(jià)策略完全一致,第二階段定價(jià)也相同,只是銷售時(shí)間不同。

3 結(jié)論

針對(duì)產(chǎn)品價(jià)值判斷異性且購(gòu)買產(chǎn)品時(shí)采取模糊決策的消費(fèi)者,本文研究了非即時(shí)衰減品的最優(yōu)定價(jià)問題?？紤]到銷售量存在的約束,建立了以零售商總利潤(rùn)最大化為目標(biāo)的最優(yōu)控制模型,并運(yùn)用變分法求得產(chǎn)品的最優(yōu)動(dòng)態(tài)定價(jià)策略。結(jié)果表明:由于產(chǎn)品的非即時(shí)衰減特性,零售商會(huì)采取兩階段的定價(jià)模式,其中第一階段是靜態(tài)定價(jià),第二階段采取動(dòng)態(tài)定價(jià)策略;由于產(chǎn)品價(jià)值的衰減,價(jià)格函數(shù)為遞減函數(shù),與實(shí)際情況相符;隨著衰減因子的增大或保鮮期的縮短,最優(yōu)定價(jià)都會(huì)相應(yīng)下降,這就要求零售商要加大保鮮投入延緩產(chǎn)品價(jià)值衰減速度。

為了使模型更貼近實(shí)際情況,本文考慮了產(chǎn)品價(jià)值非即時(shí)衰減特性對(duì)定價(jià)的影響,在之后的研究中還可以引入更多的實(shí)際因素,如:企業(yè)的保鮮努力水平[14]、消費(fèi)者對(duì)產(chǎn)品的偏好[15-16]、品牌忠誠(chéng)度對(duì)產(chǎn)品定價(jià)的影響[17-18]等,以及考慮供應(yīng)商補(bǔ)貨的多周期銷售問題同樣值得深入探討。