潘洪亮 徐 曌,2 唐少強(qiáng)

(1. 同濟(jì)大學(xué)國家磁浮交通工程技術(shù)研究中心， 201804， 上海；2. 同濟(jì)大學(xué)道路與交通工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 201804， 上海//第一作者，副研究員)

系統(tǒng)的可靠性和維修直接影響系統(tǒng)的可用性和壽命周期費(fèi)用。因此，需以可用性為目標(biāo)進(jìn)行可靠性與維修性的綜合權(quán)衡，并獲取最優(yōu)壽命周期費(fèi)用效能，使系統(tǒng)在穩(wěn)定運(yùn)行前提下?lián)碛凶畹偷南到y(tǒng)壽命周期費(fèi)用。

1 可靠性與維修性的權(quán)衡分析

可靠性與維修性的權(quán)衡分析以可用性為目標(biāo)。假設(shè)系統(tǒng)具有穩(wěn)定可靠性R(t)，是單一總成或嚴(yán)格串聯(lián)的[1]。系統(tǒng)在t= 0時(shí)以可使用狀態(tài)開始工作，在t時(shí)刻仍處于可使用狀態(tài)(即刻可以工作)的有效度為A(t)，則由更新方程(renewal equation)，有:

(1)

式中:

R(t)——系統(tǒng)可靠度,以至t時(shí)刻為止無故障的概率表示；

n(t)——系統(tǒng)的更新率(renewal rate)，即當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)行一系列運(yùn)轉(zhuǎn)-故障-修理-再運(yùn)轉(zhuǎn)循環(huán)時(shí)，其進(jìn)入“運(yùn)轉(zhuǎn)”狀態(tài)的比率。

(2)

式中：

h(t)——失效前時(shí)間與修復(fù)時(shí)間之和的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

若用g(t)表示失效前時(shí)間(即“工作”時(shí)間)的概率密度函數(shù)，用f(t)表示修復(fù)時(shí)間(即“停機(jī)”時(shí)間)的概率密度函數(shù), 則通過g(t)與f(t)的卷積可得到h(t):

(3)

假設(shè)其系統(tǒng)有

g(t)=λexp(-λt)

(4)

f(t)=μexp(-μt)

(5)

式中:

λ——故障率；

μ——修復(fù)率。

對式(1)～(5)取拉普拉斯變換，得：

A(s)=R(s)+R(s)n(s)

(6)

n(s)=h(s)+h(s)n(s)

(7)

h(s)=g(s)f(s)

(8)

把式(8)代入式(7)，得：

n(s)=g(s)f(s)/[1-g(s)f(s)]

(9)

再將式(9)代入式(6)，并用概率密度函數(shù)g(s)來表達(dá)R(s)，有：

R(s)=[1-g(s)]/s

(10)

故式(6)可轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

A(s)=[1-g(s)]/{s[1-f(s)g(s)]}

(11)

因?yàn)槊芏群瘮?shù)g(t)與f(t)的拉普拉斯變換是：

(12)

把式(12)代入式(11)，并變換為時(shí)間定義域，得：

A(t)=μ/(λ+μ)+

[λ/(λ+μ)]exp[-(λ+μ)t]

(13)

也可用平均故障間隔時(shí)間(tMTBF)和平均維修時(shí)間(tMTTR)來表示：

(14)

由式(14)可見，當(dāng)t增加時(shí)，式(14)右邊的第二項(xiàng)逐漸減小，有效度趨近其極限成為常數(shù)，即

(15)

通過式(15)即可進(jìn)行磁浮列車懸浮系統(tǒng)的維修性與可靠性的綜合權(quán)衡分析。

依據(jù)長沙磁浮列車現(xiàn)場狀況，假設(shè)懸浮系統(tǒng)tMTBF最小值為400 h，tMTTR最大值為6 h。A依次取0.970,0.980,0.990,0.995,0.999，計(jì)算tMTBF與tMTTR的關(guān)系，并指出當(dāng)tMTBF>400 h，tMTTR<6 h時(shí)，符合要求的tMTBF與tMTTR的綜合權(quán)衡范圍(見圖1)。

圖1 可靠性與維修性權(quán)衡分析范圍

2 系統(tǒng)壽命周期費(fèi)用計(jì)算模型的建立

壽命周期費(fèi)用(CLC)是系統(tǒng)在預(yù)期的壽命周期內(nèi)，為其論證、研制、生產(chǎn)、使用與保障以及退役處理所支付的所有費(fèi)用之和[2]。CLC涉及經(jīng)濟(jì)，技術(shù)，管理多方面學(xué)科的理論研究，可覆蓋系統(tǒng)從決策論證、設(shè)計(jì)、生產(chǎn)試驗(yàn)、使用、后期維護(hù)直至報(bào)廢處理的整個(gè)壽命周期產(chǎn)生的費(fèi)用，也可針對系統(tǒng)壽命周期的某階段費(fèi)用進(jìn)行分析研究。通過CLC的分解、預(yù)測和評(píng)價(jià)，可實(shí)現(xiàn)對CLC的優(yōu)化和方案的取舍[3]?？梢姡珻LC是一個(gè)極其重要的經(jīng)濟(jì)性量化指標(biāo)，為系統(tǒng)的設(shè)計(jì)、選擇、使用及報(bào)廢提供了決策依據(jù)[4]。

系統(tǒng)都是以實(shí)現(xiàn)一定的功能為目的。影響到系統(tǒng)實(shí)際功能的各種因素，就是影響系統(tǒng)CLC的因素。系統(tǒng)的實(shí)際功能由其技術(shù)性能及可用性決定。因此，影響系統(tǒng)技術(shù)性能及可用性的因素也就是影響系統(tǒng)CLC的因素。圖2為CLC的影響因素。

在系統(tǒng)壽命周期分析的基礎(chǔ)上，可以建立費(fèi)用計(jì)算模型如下：

CLC=C0+Cos+Cdr+Cf

(16)

式中：

C0——原始投資費(fèi)用，包括調(diào)研、研制及生產(chǎn)制造等費(fèi)用；

Cos——運(yùn)行費(fèi)用，包括能耗、人工等費(fèi)用；

Cdr——退役處理費(fèi)；

Cf——維修保障費(fèi)用。

Cos與Cdr為常數(shù)，可由經(jīng)驗(yàn)得到。C0與Cf由可靠性和維修性決定。

圖2 CLC影響因素

2.1 原始投資費(fèi)用C0

系統(tǒng)的造價(jià)C0與R的關(guān)系可以歸結(jié)為系統(tǒng)中各單元的造價(jià)與可靠度之間的函數(shù)關(guān)系。系統(tǒng)中單元i的造價(jià)Ci與可靠度Ri關(guān)系難以建立，其原因?yàn)椋孩?缺乏足夠的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)；② 對任何單元都有效的函數(shù)關(guān)系式是不可能存在的，單元材料、型式有多種選擇和組合，而Ci與Ri都同材料、型式有關(guān)，故當(dāng)單元采用不同材料和型式時(shí)其Ci與Ri的關(guān)系也不會(huì)相同；③ 影響Ci與Ri關(guān)系的因素很多，除材料和型式外，還有加工質(zhì)量、環(huán)境、生產(chǎn)力發(fā)展水平和人力物力資源等。因此,嚴(yán)格說來,Ci與Ri的關(guān)系不是一一對應(yīng)的[5]。

為此，定義Ci與Ri的關(guān)系為：Ri達(dá)到某一值所需的最小造價(jià)，或在Ci一定時(shí)把該費(fèi)用充分用于提高其可靠度所達(dá)到的最大Ri。

有關(guān)Ci與Ri關(guān)系的公開發(fā)表文獻(xiàn)很少見到。文獻(xiàn)[6]指出，CiRi具有下列基本性質(zhì)：1個(gè)低可靠度單元的成本較低，1個(gè)高可靠度單元的成本很高；C1對Ri的導(dǎo)數(shù)是1個(gè)單調(diào)遞增函數(shù)。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)有：

(17)

式中：

ai——待定經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，無量綱量；

bi——R趨于0時(shí)的系統(tǒng)造價(jià)。

ai決定曲線的趨勢，ai值愈小，C(R) 曲線前段的坡度愈平，而后段愈陡。

對于磁浮交通系統(tǒng)，適用于指數(shù)分布。將Ri=1-λ=1-1/tMTBF代入式(17)得：

C0=Σ(ailn (tMTBF)+bi)

(18)

C0與tMTBF的函數(shù)關(guān)系如圖3所示。

圖3 C0與tMTBF關(guān)系圖

2.2 維修保障費(fèi)用Cf

Cf一般占CLC的60%以上，尤為重要。而保障費(fèi)用是Cf的主要費(fèi)用來源。由文獻(xiàn)[7]，有

Cf=CaLt/tMTBF

(19)

式中：

Lt——系統(tǒng)壽命周期；

Ca——每次故障平均費(fèi)用。而且

Ca=Cs(tMTTR+tr)+CrtMTTR+Crp

(20)

式中：

tMTTR——平均維修時(shí)間；

Cs——單位時(shí)間停機(jī)損失;

tr——維修等待時(shí)間;

Cr——單位時(shí)間維修費(fèi)用;

Crp——維修零件費(fèi)用。

將式(20)代入式(19)，有

(21)

結(jié)合式(16)可得:

CLC=Cos+Cdr+Σ(ailn (tMTBF)+bi)+

(22)

為權(quán)衡tMTBF和tMTTR的取值，考慮到Cos、Cdr、bi為常數(shù)，對取值沒有影響，因此對C0+Cf取最小即可得最小CLCo且

C0+Cf=Σailn (tMTBF)+

(23)

CLC與tMTBF的關(guān)系如圖4所示。

圖4 CLC與tMTBF的關(guān)系

3 算例分析

根據(jù)系統(tǒng)CLC計(jì)算模型，結(jié)合可用度進(jìn)行可靠性與維修性權(quán)衡分析，以中低速磁浮列車懸浮系統(tǒng)為例對其CLC進(jìn)行計(jì)算。

中低速磁浮列車依靠列車下部懸浮架上安裝的懸浮電磁鐵通電后與軌道F形磁極面之間產(chǎn)生的電磁吸力，從而實(shí)現(xiàn)懸浮。中低速磁浮列車的懸浮系統(tǒng)極為重要，關(guān)系到磁浮列車的正常運(yùn)行[8]。

根據(jù)現(xiàn)場情況，整理3組中低速磁浮列車懸浮系統(tǒng)相關(guān)數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 磁浮列車懸浮系統(tǒng)數(shù)據(jù)

中低速磁浮列車懸浮系統(tǒng)有效度目標(biāo)為A=0.999，tMTBF≥400 h，tMTTR≤6 h。根據(jù)式(1)～(15)得到約束條件：

(24)

取CLC最小值為：

CLC,min=Cos+Cdr+Σ(ailn (tMTBF)+bi)+

(25)

通過Matlab軟件得到tMTBF與CLC的仿真計(jì)算結(jié)果如圖5～6所示。

圖5 tMTBF與CLC關(guān)系仿真結(jié)果圖

圖6 仿真結(jié)果求導(dǎo)處理圖

通過圖5可以看出CLC與tMTBF的函數(shù)關(guān)系，并對tMTBF求導(dǎo)得到圖6，證明CLC存在最小值。3組數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果如下：

第一組：當(dāng)tMTBF=3 125 h，tMTTR=3.13 h時(shí),CLC,min=352.13萬元。

第二組：當(dāng)tMTBF=5 250 h，tMTTR=5.26 h時(shí),CLC,min=597.64萬元。

第三組：當(dāng)tMTBF=5 833 h，tMTTR=5.84 h時(shí),CLC,min=871.33萬元。

在懸浮系統(tǒng)設(shè)計(jì)階段，以0.999的有效度為目標(biāo)，每組懸浮系統(tǒng)的數(shù)據(jù)都可得到tMTBF及tMTTR，以在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的同時(shí)達(dá)到最小的CLC。

由計(jì)算結(jié)果可以看出，先通過有效度進(jìn)行維修性與可靠性的綜合權(quán)衡，再通過壽命周期費(fèi)用模型進(jìn)行計(jì)算，可得到最小CLC對應(yīng)的維修性與可靠度關(guān)系，為系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供數(shù)據(jù)支持。

4 結(jié)語

通過以可用性為目標(biāo)的可靠性與維修性權(quán)衡分析，可使得系統(tǒng)的CLC達(dá)到最低。首先，根據(jù)可用性對系統(tǒng)的可靠性和維修性之間進(jìn)行綜合平衡，以確保串聯(lián)系統(tǒng)在其整個(gè)運(yùn)行期間足夠穩(wěn)定；然后，對維修性及可靠性進(jìn)行量化處理，建立系統(tǒng)壽命周期費(fèi)用計(jì)算模型，計(jì)算出合理的可靠性與維修性，并使得系統(tǒng)的CLC最??；最后，以長沙中低速磁浮列車懸浮系統(tǒng)為例，利用Matlab軟件建立模型，進(jìn)行仿真計(jì)算，從而獲得最佳方案。