●

(云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,云南 昆明 650500)

1 考點回顧

1.1 考點分布

近幾年的數(shù)學(xué)高考試題主要考查三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式與三角恒等變換，三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解三角形，三角函數(shù)與向量、幾何、不等式的綜合應(yīng)用這4個方面.

1.2 分值比重

分值穩(wěn)定在17～22分，所占比重較大，如果涉及向量、立體幾何、解析幾何、坐標(biāo)系與參數(shù)方程等部分的內(nèi)容，那么比重將會更大.

1.3 整體難度分析

不論是全國數(shù)學(xué)高考卷還是北京、江蘇、浙江等課改試驗區(qū)的單獨命題試卷，對三角函數(shù)的命題近幾年都大致呈現(xiàn)著起點低、坡度緩、知識立意與能力立意并重的特點，既考查基礎(chǔ)知識與基本技能，又著重考查基本思想；亦不乏設(shè)置探究性相對較強的題目，重在考查學(xué)生的探究能力和運用基礎(chǔ)知識和基本技能解決實際問題的能力；突出對核心素養(yǎng)的考查，既體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象又注重邏輯推理，落腳點在數(shù)學(xué)運算，往往以考查數(shù)學(xué)建模為目的，滲透直觀想象.綜上分析，數(shù)學(xué)的命題始終基于核心素養(yǎng)，嚴(yán)格執(zhí)行課程標(biāo)準(zhǔn)和考試說明相關(guān)要求，突出高考選拔性功能的同時又體現(xiàn)大穩(wěn)定小調(diào)整的總體命題基調(diào).

1.4 考點預(yù)測與展望

結(jié)合歷年數(shù)學(xué)高考試題的題型設(shè)置、知識點分布、呈現(xiàn)方式、與其他知識點的交匯情況可以預(yù)測新一年的高考命題重點.其中，三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式與三角恒等變換考查更多的是基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)運算；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)考查更多的是數(shù)學(xué)抽象和直觀想象；解三角形多以數(shù)學(xué)建模的形式考查學(xué)生利用基礎(chǔ)知識和基本技能解決實際問題的能力；三角函數(shù)與向量、幾何、不等式的綜合應(yīng)用重在體現(xiàn)三角函數(shù)在解決實際問題中的重要價值，往往滲透數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、類比、分類討論等數(shù)學(xué)思想.

2 典題剖析

2.1 考查三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式與三角恒等變換

(2018年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ文科試題第11題)

(2018年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅱ文科試題第15題)

例3已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，則sin(α+β)=______．

(2018年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅱ理科試題第15題)

例2重點考查誘導(dǎo)公式與兩角和與差的正切公式，易錯點在于對誘導(dǎo)公式的理解不到位，導(dǎo)致學(xué)生誘導(dǎo)時符號出錯.同時本題還考查了兩角差的正切公式，雖然運算難度不大，但是容易出錯，這就要求學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中注意細(xì)節(jié)的把握.

2.2 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

例4若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]上是減函數(shù)，則a的最大值是

( )

(2018年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅱ理科試題第10題)

該題從輔助角公式入手，重在考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，同時以三角函數(shù)的單調(diào)性為背景考查不等式的計算與處理能力，滲透了數(shù)形結(jié)合的思想.當(dāng)然本題也可以利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性從而得出正解.易錯點在于學(xué)生不能靈活把握函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而在解不等式時達(dá)不到簡化計算的目的,另外普遍的錯解在于學(xué)生簡單地認(rèn)為2a是f(x)的半個周期.

( )

A．f(x)的一個周期為-2π

(2017年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅲ理科試題第6題)

本題難度不大，但是對三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)考查得比較全面，將零點的概念考查進(jìn)來，充分體現(xiàn)了在知識交匯處命題的意圖.學(xué)生不注意細(xì)節(jié)往往導(dǎo)致求解錯誤，尤其是對周期的理解和單調(diào)區(qū)間的理解.

2.3 解三角形

對該知識點的考查往往基于學(xué)生對平面幾何知識的理解和掌握，以三角形的面積問題、周長問題、外接圓半徑等問題為載體，以正弦定理和余弦定理為主要工具計算求解三角形的邊角關(guān)系，再利用三角恒等變換進(jìn)行運算推理，意在考查數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).該類題的易錯點在于學(xué)生不具有較強的運算求解能力和邏輯推理能力，往往因為運算錯誤丟分.此類題型既出現(xiàn)于解答題又出現(xiàn)于客觀題.

(2018年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅱ文科試題第7題)

例7在平面四邊形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．

1)求cos∠ADB；

(2018年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科試題第17題)

對于以上兩個典型例題，我們透過現(xiàn)象看本質(zhì)可以發(fā)現(xiàn)這兩道題均是借助正余弦定理和平面幾何的基礎(chǔ)知識解決三角形的邊角關(guān)系以及三角形的面積問題，運算主要集中于三角恒等變換，難度中等偏下.

2.4 三角函數(shù)與向量、幾何、不等式的綜合

(2014年陜西省數(shù)學(xué)高考理科試題第13題)

例9在極坐標(biāo)系中，直線ρcosθ+ρsinθ=a(其中a>0)與圓ρ=2cosθ相切，則a=______．

(2018年北京市數(shù)學(xué)高考理科試題第10題)

例10在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點P(cosθ,sinθ)到直線x-my-2=0的距離，當(dāng)θ,m變化時，d的最大值為______.

(2018年北京市數(shù)學(xué)高考理科試題第7題)

以上3個例題分別是三角函數(shù)與向量、解析幾何、不等式的綜合應(yīng)用考題，難度不大.在知識點交匯處命題，這就要求學(xué)生的基本功必須扎實，知識儲備要達(dá)到一定的水平，同時還需要具備一定的運用基礎(chǔ)知識解決實際問題的能力.學(xué)生往往在一些易混知識點上出錯.

3 復(fù)習(xí)備考建議

3.1 落實雙基

通過對課標(biāo)及考綱的解讀，以及對三角函數(shù)?？贾R點及常見題型的分析可以看出，本部分知識點在高考中所占比重較大，出題視角較寬，但是總體難度不大，方法相對單一，變化不大，學(xué)生容易上手；常在知識交匯點處命題，重在考查學(xué)生綜合運用所學(xué)知識解決一些實際問題的能力，需要在復(fù)習(xí)備考中緊抓基礎(chǔ)知識與基本技能，注重常規(guī)常法，重在培育學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，不僅要學(xué)到知識更要形成適應(yīng)社會發(fā)展的必備品格和關(guān)鍵能力，最終學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界[1].

3.2 回歸教材，注重變式

高考對本部分知識點的考查以及試題的呈現(xiàn)方式不乏有課本例題或是習(xí)題的影子，因此緊扣課本、回歸課本，注重對課本例題與習(xí)題的挖掘是新一輪復(fù)習(xí)備考必須要落實的事情，只有這樣才可能逃離枯燥乏味的題海，真正提高復(fù)習(xí)備考效率[2].

3.3 滲透思想，培育核心素養(yǎng)

思想是靈魂，核心素養(yǎng)是關(guān)鍵能力和必備品質(zhì).考查的知識點雖然相對穩(wěn)定，但是考題卻富有思想，學(xué)生只有充分把握整體，具有較強的整體意識，才能在具有靈魂的考卷上答出滿意的分?jǐn)?shù)，這就需要我們在復(fù)習(xí)備考過程中注重思想方法的滲透與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育.

3.4 注重過程，緊扣本質(zhì)

復(fù)習(xí)備考過程中總需要適量的練習(xí)題來鞏固所學(xué)知識點以及提升學(xué)生的運算能力和邏輯思維能力，在練習(xí)的過程中不能就題論題，要學(xué)會挖掘問題的本質(zhì)，緊扣本質(zhì)，體會知識的形成過程和題目的命制意圖，找準(zhǔn)解題突破口，總結(jié)一般規(guī)律，以不變應(yīng)萬變，將數(shù)學(xué)的備考輕量化、高效化[3].

4 精題集萃

筆者就課本上一些典型的例題與練習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪剑瑥亩鵀閺V大師生提供參考.

(人教A版《數(shù)學(xué)(必修4)》第22頁B組第3題)

(人教A版《數(shù)學(xué)(必修4)》第147頁B組第1題)