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        不等式選講試題的解題策略和教學(xué)啟示*

        2019-02-15 10:09:00
        關(guān)鍵詞:高考卷試題解題

        (蕭縣中學(xué),安徽 蕭縣 235200)

        全國數(shù)學(xué)高考卷選做試題的設(shè)置始于2011年,文理同題.到2017年,選考模塊刪去了“幾何證明選講”,考生從“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”“不等式選講”兩個模塊中任選一個作答,由原來的三選一,變?yōu)楝F(xiàn)在的二選一,進(jìn)一步增強(qiáng)了“不等式選講”的重要性.縱觀近幾年的全國數(shù)學(xué)高考卷不難發(fā)現(xiàn),“不等式選講”試題在命題特點和解題策略上都具有一定的規(guī)律性和經(jīng)驗性,看似難度不大,但也不乏靈活性和綜合性.在備考訓(xùn)練和平常的教學(xué)中,對此塊內(nèi)容也應(yīng)加強(qiáng)重視,特別是在當(dāng)前以核心素養(yǎng)為主旋律的教學(xué)改革中,“如何將培養(yǎng)學(xué)生的能力、提升學(xué)生的核心素養(yǎng)落到實處”是一個值得探究的問題[1].筆者從“不等式選講”本身出發(fā)來研究試題特點、解題策略和教學(xué)啟示.

        1 考點回顧

        1.1 解不等式多以含1~2個絕對值的不等式為主

        命題主要方向:一是直接解不等式;二是已知不等式的解集,反過來求參數(shù)的取值.此類題大多放在題目的第1)小題,重點考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

        例1已知f(x)=|ax+1|(其中a∈R),不等式f(x)≤3的解集為{x|-2≤x≤1}.

        1)求a的值;

        (2012年遼寧省數(shù)學(xué)高考試題第24題)

        1)分析1由f(x)≤3得

        |ax+1|≤3,

        -4≤ax≤2.

        作為一個解答題,不可直接寫出結(jié)果,要有嚴(yán)格的解題過程,因此,需要進(jìn)行分類討論.也可通過以下思路進(jìn)行解答:

        分析2由條件知,x=-2和x=1為相應(yīng)方程|ax+1|=3的兩個根,代入可得

        故a=2.

        2)略.

        本模塊內(nèi)容在高考中出現(xiàn)的解不等式問題,主要還是含兩個絕對值符號的不等式.

        例2已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.

        1)當(dāng)a=1時,求不等式f(x)≥g(x)的解集;

        2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范圍.

        (2017年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科試題第23題)

        分析11)不等式f(x)≥g(x)等價于

        2)略.

        此法采用的是零點分段討論法,段內(nèi)取交集,段間取并集,分界點處要做到“不重不漏”,格式上采取不等式組的結(jié)構(gòu)形式,顯得更為簡單清晰.

        1.2 不等式證明試題常采用綜合法和分析法解決,多以基本不等式為載體

        通過研究近幾年的全國數(shù)學(xué)高考試題發(fā)現(xiàn):不等式證明問題雖然難度不大,但是學(xué)生好像對不等式證明問題的把握并不大,主要原因是平時訓(xùn)練相對較少,教師和學(xué)生的重視度不高.命題方式多以基本不等式為載體,常常利用分析法和綜合法進(jìn)行解決,重點考查學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

        例3設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1,證明:

        (2013年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅱ理科試題第24題)

        分析1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,得

        a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

        由題設(shè)得

        1=(a+b+c)2,

        a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,

        從而

        3(ab+bc+ca)≤1,

        于是

        1.3 含參類恒成立、存在性問題

        含參絕對值不等式的恒成立、存在性問題是近年來高考的熱點內(nèi)容之一,此類問題常與不等式、函數(shù)圖像與性質(zhì)、方程的根等知識交匯命題,具有一定的綜合性和靈活性,主要考查六大核心素養(yǎng)中的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等基本素養(yǎng).

        例4已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-2|.

        1)當(dāng)a=-3時,求不等式f(x)≥3的解集;

        2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范圍.

        (2012年全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷第24題)

        分析1)略.

        2)不等式f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],即f(x)≤|x-4|在x∈[1,2]上恒成立,亦即對任意x∈[1,2],都有

        |x+a|≤|x-4|-|x-2|.

        由于|x-4|-|x-2|≤2,從而

        |x+a|≤2,

        于是-2-x≤a≤2-x在x∈[1,2]上恒成立,故

        -3≤a≤0.

        無論是恒成立問題還是存在性問題,首先要弄清不等式中“哪個變量”在“什么范圍”內(nèi)恒成立或存在性成立,然后再求出相應(yīng)的最值即可.在求解含絕對值的不等式的最值時,不得不提出一個極其重要的不等式——||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,這個不等關(guān)系被稱為絕對值三角不等式.對于這個不等式,不僅要在結(jié)構(gòu)上非常熟悉,其等號成立的條件也應(yīng)作深入探究.本例中,在求|x-4|-|x-2|的最大值時,可用此性質(zhì)進(jìn)行解決,即

        |x-4|-|x-2|≤|(x-4)-(x-2)|=2,

        1.4 不等式選講試題的傳統(tǒng)與創(chuàng)新

        不等式選做試題的命制多以含絕對值的不等式和基本不等式為主流,但也??汲P?,在內(nèi)容的選取、命題方式和語言描述上出現(xiàn)了“多元化”的發(fā)展趨勢,彰顯靈活之氣.如作圖題、探索性問題、充要條件的證明題等等,甚至出現(xiàn)了對柯西不等式的考查與應(yīng)用.

        例5已知a,b,c,d為實數(shù),且a2+b2=4,c2+d2=16,證明:ac+bd≤8.

        (2017年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第21題)

        分析由柯西不等式可得

        (ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),

        因為a2+b2=4,c2+d2=16,所以

        (ac+bd)2≤64,

        ac+bd≤8.

        近年來,在陜西、福建等省的數(shù)學(xué)高考試卷中,時常出現(xiàn)對柯西不等式的考查及運用,盡管全國卷中暫時還沒有出現(xiàn),但在實際教學(xué)中仍要引起足夠的重視.教育部頒發(fā)的《2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱》中明確要求:“要了解柯西不等式的幾種不同形式,理解它們的幾何意義,并會證明.”其重要性由此可見一斑.

        2 教學(xué)啟示

        2.1 解題教學(xué)仍要注重通性通法

        通性通法是指具有某種規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模式和常用的解題方法.在解題教學(xué)中,“淡化特殊技巧,注重通性通法”的觀點已經(jīng)在大多數(shù)教師中達(dá)成共識.在這種觀點的指導(dǎo)下,學(xué)生可以脫離題海戰(zhàn)術(shù),避免解題“乏力”“低效”“無方向性”等現(xiàn)象.例如,在數(shù)學(xué)解題中,有一個永恒不變的轉(zhuǎn)化思想:

        一個含有絕對值的函數(shù)解析式,往往需要轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式.同樣的道理,去絕對值也是解決含有絕對值不等式的通用轉(zhuǎn)化策略.對于很多問題,若忽略了這種通性,則問題的解決將陷入困境.

        例6已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(a)=x+3.

        1)當(dāng)a=-2時,求不等式f(x)

        (2013年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科試題第24題)

        分析1)略.

        f(x)=1+a,

        從而不等式f(x)≤g(x)化為

        1+a≤x+3,

        例7已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.

        1)當(dāng)a=1時,求不等式f(x)>1的解集;

        2)若當(dāng)x∈(0,1)時不等式f(x)>x成立,求a的取值范圍.

        (2018年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科試題第23題)

        對于第2)小題,在x∈(0,1)的情況下,可以直接將|x+1|中的絕對值符號去掉,繼而轉(zhuǎn)化為|ax-1|<1在x∈(0,1)內(nèi)恒成立的簡單問題.

        2.2 細(xì)致、全面地講解知識的產(chǎn)生和發(fā)展過程

        知識的講解應(yīng)細(xì)致全面,不能急功近利,更不能只注重形式上的記憶和模仿訓(xùn)練,而忽略對知識本質(zhì)的提煉.“學(xué)生的學(xué)習(xí)過程應(yīng)是一個獲得經(jīng)驗、思維投入的過程,是一個積極建構(gòu)的過程”[2],只有讓學(xué)生充分經(jīng)歷知識的發(fā)生和發(fā)展過程,才能真正掌握知識的本質(zhì)內(nèi)涵,以不變應(yīng)萬變.

        例如,絕對值三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|是如何產(chǎn)生出來的,其產(chǎn)生的背景是什么,為什么要建立、推導(dǎo)這樣一個不等關(guān)系,其工具性作用體現(xiàn)在什么地方,等號成立的條件又是什么……若單純記憶,則無法解決上述問題,有時即使知道這個式子的存在,也想不到去運用.

        2.3 注重提煉數(shù)學(xué)知識中所蘊(yùn)涵的思想方法

        數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括,是解決數(shù)學(xué)問題最本真的方法,其蘊(yùn)含在知識的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的全過程中.教師應(yīng)在具體的教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生主動地探索、發(fā)現(xiàn)、領(lǐng)悟、總結(jié)知識背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法,這對于提高學(xué)生的思維、學(xué)習(xí)等能力是非常有利的.如在上述例2中,采取了分類討論的思想方法,教師可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探索能否利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來進(jìn)行解決,由此可得出新的方法如下:

        分析21)將函數(shù)g(x)=|x+1|+|x-1|化簡可得

        當(dāng)a=1時,作出函數(shù)圖像可得f(x)≥g(x)的范圍在點F和點G之間(如圖1).聯(lián)立

        圖1 圖2

        2)由f(x)≥g(x),知

        -x2+ax+4≥2,

        從而x2-2≤ax恒成立,根據(jù)圖2可知函數(shù)y=ax必須在l1,l2之間,故-1≤a≤1.

        以上解法不僅僅是單純數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,里面還含有函數(shù)與方程思想,即函數(shù)、方程和不等式問題間的互化,這是高考中著重考查的數(shù)學(xué)思想方法之一.本模塊內(nèi)容所蘊(yùn)含的思想方法豐富,在教學(xué)中,不能認(rèn)為數(shù)學(xué)思想屬于高大上的內(nèi)容就高高掛起,而應(yīng)將其滲透到每一節(jié)課之中,融化進(jìn)每一道題之中,使之成為解決問題的有力工具,并通過對數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用,提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模等學(xué)科素養(yǎng).

        3 結(jié)束語

        核心素養(yǎng)不是純粹的數(shù)學(xué)知識積累,從通俗的角度來看,是通過知識基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)后所形成的精華,是一種必備品格和關(guān)鍵能力.素養(yǎng)的培養(yǎng)與提升體現(xiàn)在教學(xué)活動的各個環(huán)節(jié),包括課前的教學(xué)設(shè)計、課堂上的探究活動以及課后的解題訓(xùn)練和評價.通過以上對不等式選考內(nèi)容的分析可知,過程性教學(xué)的展示以及教學(xué)中對思想方法的提煉是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的必備要素.核心素養(yǎng)不是泛泛而談的大話,也不是不著邊際的空話,而應(yīng)在每個環(huán)節(jié)中實實在在地去做.本模塊內(nèi)容在培養(yǎng)學(xué)生素養(yǎng)和能力方面還有許多需要探究的地方,希望我們一線教師能與時俱進(jìn),結(jié)合課程改革,改進(jìn)教學(xué)方式,讓數(shù)學(xué)的課堂變得更有價值.

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