黃景帥，張洪波，湯國建，包為民, 2

(1. 國防科技大學(xué)空天科學(xué)學(xué)院，長沙 410073；2. 中國航天科技集團有限公司，北京 100048)

0 引 言

攔截末制導(dǎo)律的研究起始于20世紀(jì)30-40年代，早期的制導(dǎo)律以比例導(dǎo)引(Proportional navigation, PN)為主[1-2]。由于其結(jié)構(gòu)簡單、易于實現(xiàn)，因而成為工程應(yīng)用最廣泛的制導(dǎo)律。針對非機動或弱機動目標(biāo)，PN能夠取得優(yōu)異的制導(dǎo)性能。但隨著目標(biāo)機動能力的提升，為了規(guī)避攔截系統(tǒng)通常會在攔截末段實施大幅度機動，PN由于未對目標(biāo)機動進行專門處理導(dǎo)致其難以抑制由目標(biāo)機動引起的彈目視線旋轉(zhuǎn)，進而制導(dǎo)性能下降。由此，直接補償目標(biāo)加速度的增廣PN應(yīng)運而生，但其需要目標(biāo)的加速度信息，通常難以精確獲得[2]。為了有效攔截大機動目標(biāo)，學(xué)者們基于先進控制理論設(shè)計了諸多制導(dǎo)律，期望產(chǎn)生優(yōu)于PN的制導(dǎo)性能。

滑模變結(jié)構(gòu)控制對模型不確定性和外部干擾具有較強的魯棒性，因此廣泛應(yīng)用于末制導(dǎo)律的研究。Zhou等[3]采用基于趨近律的滑?？刂圃O(shè)計了一種魯棒的自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律，有效抑制了視線的旋轉(zhuǎn)，終端脫靶量顯著低于PN。文獻[4]提出了一種含有廣義的函數(shù)項的滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律，獲得了對目標(biāo)機動的魯棒性，具有更小的過載峰值和攔截時間。由于末制導(dǎo)時間短，視線旋轉(zhuǎn)角速率的收斂特性是影響制導(dǎo)性能的主要因素，但上述制導(dǎo)律僅保證了制導(dǎo)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并沒有涉及其收斂特性?；谟邢迺r間穩(wěn)定理論，文獻[5-7]實現(xiàn)了視線旋轉(zhuǎn)角速率在有限時間范圍內(nèi)收斂至零或其鄰域。在上述魯棒制導(dǎo)律的設(shè)計過程中，為了獲得絕對的魯棒性，需要引入以目標(biāo)機動的上界為增益的切換項來消除未知的目標(biāo)機動干擾[3-7]。但是，切換項中的符號函數(shù)是非連續(xù)的，易引起制導(dǎo)指令的抖振，降低抖振最簡單的方法是用連續(xù)函數(shù)近似替代符號函數(shù)，例如飽和型函數(shù)、Sigmoid型函數(shù)[3-8]。除抖振外，目標(biāo)機動的上界通常也難以確定，偏大會惡化抖振，偏小會缺乏魯棒性。

為了較好地對付目標(biāo)機動，控制視線轉(zhuǎn)率有限時間收斂，同時降低抖振，文獻[9]利用非線性干擾觀測器對目標(biāo)加速度進行估計，并補償?shù)接邢迺r間收斂制導(dǎo)律中，精確攔截機動目標(biāo)的同時又有效降低了抖振。與文獻[9]類似，文獻[10]設(shè)計了一種有限時間收斂的制導(dǎo)律，并聯(lián)合擴張狀態(tài)觀測器對目標(biāo)加速度進行估計。雖然實際仿真中上述觀測器的收斂速度較快，但由于無法避免估計誤差，且誤差受系統(tǒng)初始狀態(tài)的影響，因此難以定量給出誤差的上界，進而系統(tǒng)的穩(wěn)定性和視線轉(zhuǎn)率的有限時間收斂性難以嚴(yán)格證明。文獻[11]基于有限時間干擾觀測器和新型的自適應(yīng)趨近律設(shè)計了一種有限時間制導(dǎo)律，不需要觀測誤差的上界。與利用觀測器補償目標(biāo)機動不同，在魯棒的滑?？刂频幕A(chǔ)上，文獻[12-14]將加速度視作上界未知的外界干擾，采用自適應(yīng)估計算法對其上界進行逼近，并證明了飽和函數(shù)替代符號函數(shù)后制導(dǎo)系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定性，消除了抖振。文獻[15]利用自適應(yīng)控制方法估計干擾上界平方的同時，設(shè)計了一種固有光滑的有限時間制導(dǎo)律，證明了制導(dǎo)系統(tǒng)的各狀態(tài)在有限時間內(nèi)收斂至零的鄰域。抑制制導(dǎo)指令的抖振與控制視線轉(zhuǎn)率的有限時間收斂是魯棒制導(dǎo)律的兩個重要的制導(dǎo)品質(zhì)，從以上分析可知，抖振問題已能夠得到很好地解決甚至消除。但是，視線轉(zhuǎn)率有限收斂的時間尚難以靈活精確地控制，收斂時間過長會超出末制導(dǎo)的飛行時間，快速地收斂通常意味著更多的控制消耗，而且有時是不必要的。

鑒于機動目標(biāo)多數(shù)在大氣層內(nèi)飛行或?qū)嵤C動，例如高超聲速飛行器、機動彈頭和戰(zhàn)斗機等，于是本文針對大氣層內(nèi)機動目標(biāo)的攔截問題，在上述研究成果的基礎(chǔ)上，為了更靈活精確地控制視線轉(zhuǎn)率有限收斂的時間，同時兼顧控制消耗，設(shè)計了視線轉(zhuǎn)率收斂速率可調(diào)整的標(biāo)準(zhǔn)剖面，采用積分滑?？刂品椒ǜ櫂?biāo)準(zhǔn)剖面，同時結(jié)合自適應(yīng)控制方法估計目標(biāo)機動干擾上界的平方，最終推導(dǎo)得到了自適應(yīng)的積分滑模制導(dǎo)律，并證明了積分滑模變量、跟蹤誤差與其積分均可在有限時間內(nèi)收斂至零的鄰域。為了適用于大氣層內(nèi)攔截，對所設(shè)計的制導(dǎo)律進行了微分幾何形式的轉(zhuǎn)換，使其作用方向垂直于導(dǎo)彈速度。通過仿真，驗證了制導(dǎo)律的有效性。

1 導(dǎo)彈-目標(biāo)空間攔截模型

為了研究導(dǎo)彈與目標(biāo)間的相對運動，將兩者均看作質(zhì)點，則導(dǎo)彈末段攔截目標(biāo)的空間交戰(zhàn)場景可由圖1表示。圖中，oIxIyIzI為慣性坐標(biāo)系，M和T分別代表導(dǎo)彈和目標(biāo)，由M指向T的矢量r為彈目視線(Line of sight, LOS)方向，vm和vt分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度。

圖1 彈目攔截交戰(zhàn)Fig.1 Intercept engagement between missile and target

由圖1可知，彈目相對運動的位置關(guān)系為

r=rt-rm=rer

(1)

式中：r為彈目之間的相對距離，er為視線方向上的單位矢量。因為目標(biāo)相對于導(dǎo)彈的位置變化，視線在慣性空間中會產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)，設(shè)其旋轉(zhuǎn)角速度為ω。由于視線的旋轉(zhuǎn)完全決定于導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度在垂直視線方向上的分量，因此視線的旋轉(zhuǎn)角速度垂直于視線，且

(2)

式中：v=vt-vm，eω為ω方向上的單位矢量，ω為視線旋轉(zhuǎn)的角速度大小，簡稱視線轉(zhuǎn)率。求取式(1)的時間導(dǎo)數(shù)并聯(lián)立式(2)得

(3)

為了定量描述彈目的相對運動，本文采用文獻[16]提出的視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系。相比于文獻[6,9]所示的視線坐標(biāo)系，由此建立的方程形式簡潔，不存在耦合。定義單位矢量eθ=eω×er，(er,eθ,eω)構(gòu)成的直角坐標(biāo)系即為視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，原點位于導(dǎo)彈的質(zhì)心處，er和eθ張成的平面稱為交會平面，eω為該平面的法向。基于上述定義，可得如下關(guān)系[16]：

(4)

式中：Ω為交會平面旋轉(zhuǎn)角速度大小。對式(3)繼續(xù)求導(dǎo)并聯(lián)立式(4)可得彈目相對運動的標(biāo)量方程組為

(5)

式中：atr、atθ與atω為目標(biāo)加速度在視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的三個分量，amr、amθ與amω為導(dǎo)彈加速度在視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的三個分量。式(5)表明，交會平面內(nèi)的相對運動與其轉(zhuǎn)動是解耦的。

在進行制導(dǎo)律設(shè)計之前，作如下假設(shè)。

假設(shè)1. 忽略導(dǎo)彈導(dǎo)引頭和控制系統(tǒng)的動態(tài)特性，認(rèn)為其可以實現(xiàn)理想的制導(dǎo)過程。

假設(shè)2. 目標(biāo)的機動幅值是有限的。

2 自適應(yīng)積分滑模制導(dǎo)律

2.1 制導(dǎo)律設(shè)計

攔截制導(dǎo)律設(shè)計的基本原則是抑制視線的旋轉(zhuǎn)，將導(dǎo)彈控制在與目標(biāo)組成碰撞或準(zhǔn)碰撞三角形的位置上[4]。由式(5)可知，通過設(shè)計合理的amθ即可控制ω的變化。

令vθ=rω，則式(5)的第二式可表示為

(6)

定義如下誤差變量

e=vθ-vθc

(7)

式中：vθc為vθ的期望值。vθc的剖面表達式設(shè)計為

(8)

式中：r0和ω0分別為攔截初始時刻r和ω的相應(yīng)值，Δ≥0，η≥1。由式(8)可知，當(dāng)r→0時，vθc→Δ，通過改變η可調(diào)整vθc的收斂速率，且初始時刻的e值取為零，為了防止攔截起始階段的導(dǎo)彈過載過大。

(9)

式中：atθ和amθ分別為系統(tǒng)的干擾和控制輸入。本文的目標(biāo)是設(shè)計合適的amθ，在未知有界干擾atθ存在的條件下，使系統(tǒng)狀態(tài)有限時間內(nèi)收斂至零或其鄰域內(nèi)。取如下形式的積分滑模面[17]：

(10)

式中：t≥t0,l1>0,l2>0, 0<α<1, sgn(·)為符號函數(shù)?；Ｗ兞縮(t0)=0意味著在攔截起始時刻系統(tǒng)狀態(tài)即位于滑模面上。對式(10)求導(dǎo)并聯(lián)立式(9)，可得

(11)

設(shè)定如下的快速趨近律：

(12)

式中：k1>0,k2>0, 0<μ<1。聯(lián)立式(11)-(12)，可得積分滑模制導(dǎo)律(Integral sliding-mode guidance law, ISMGL)的表達式為

(13)

式(13)包含未知的目標(biāo)加速度項atθ，致使其無法應(yīng)用，為此采用自適應(yīng)控制方法對|atθ|上界的平方進行估計。根據(jù)假設(shè)2，可設(shè)|atθ|≤d,d為正常數(shù)，引入如下形式的自適應(yīng)律對κ=d2進行估計[15]：

(14)

(15)

(16)

式中：satδ1(x1)為飽和函數(shù)，表達式為

(17)

satδ2(x2)與satδs(s)以此類推。

2.2 穩(wěn)定性分析

在對AISMGL進行穩(wěn)定性分析之前，先給出需用的引理。

引理1[18]. 定義在包含原點的鄰域U?Rn上的光滑正定函數(shù)V(x,t)，若存在實數(shù)a、b>0, 0<γ<1，使得下式成立：

(18)

則該函數(shù)值將在有限時間內(nèi)收斂至零，且收斂時間滿足

(19)

式中：x(t0)=x0,t0為初始時刻。

引理2[19]. 對于雙重積分系統(tǒng)：

(20)

若采用如下形式的反饋律：

(21)

式中：g1>0,g2>0, 0

定理1. 針對式(9)所示的非線性制導(dǎo)系統(tǒng)，若采用設(shè)計的AISMGL進行制導(dǎo)，有如下結(jié)論成立：

1) 滑模變量有限時間收斂至|s|≤Θ。

2) 系統(tǒng)狀態(tài)分別有限收斂至|x1|≤Θ2和|x2|≤Θ3。

各收斂域的具體表達式為

(22)

式中：Θ1為與d、ζ和Θ有關(guān)的正常數(shù)，ζ定義見證明過程。

證. 取如下形式的Lyapunov函數(shù)：

(23)

(24)

(25)

聯(lián)立式(25)和(14)，代入式(24)可得

(26)

由基本不等式可得

(27)

將式(27)代入式(26)有

-χV1+ψ

(28)

(29)

對其求導(dǎo)得

(30)

(31)

(32)

將式(32)改寫成如下兩種形式[20]：

(33)

(34)

同理，可得x2的收斂域為

(35)

證畢。

3 制導(dǎo)指令轉(zhuǎn)換

根據(jù)制導(dǎo)指令作用方向的不同，攔截制導(dǎo)律可主要劃分為垂直導(dǎo)彈速度和彈目視線兩類。由于大氣層內(nèi)攔截彈利用氣動力提供機動過載，大氣層外的攔截彈利用安裝在彈體質(zhì)心處的軌控發(fā)動機提供機動過載，因此垂直導(dǎo)彈速度和彈目視線的制導(dǎo)律分別適用于大氣層內(nèi)和外的攔截。鑒于式(16)表示的AISMGL的作用方向垂直于視線，為了應(yīng)對大氣層內(nèi)的機動目標(biāo)，采用如下形式的制導(dǎo)指令轉(zhuǎn)換[21]：

(36)

式中：am為導(dǎo)彈的制導(dǎo)加速度，nm為垂直于導(dǎo)彈速度的單位矢量。

為了保證式(36)中的分母不為零，令

nm·eθ=λ

(37)

式中：0<λ≤1。同時，nm還須滿足以下兩約束[22]：

(38)

式中：tm為導(dǎo)彈速度方向上的單位矢量。聯(lián)立式(37)-(38)可解得nm存在的條件為

1-(tm·eθ)2≥λ2

(39)

由式(39)，將λ設(shè)置為

(40)

式中：σ>0足夠小。由此，可獲得兩個滿足條件的解，記作nm1與nm2?？紤]到制導(dǎo)指令的連續(xù)性，應(yīng)取滿足如下條件的解：

(41)

4 仿真校驗

為了校驗AISMGL的有效性，對不同類型的機動目標(biāo)實施了攔截仿真。同時，考慮現(xiàn)有的兩種制導(dǎo)律與AISMGL作比較，分別為經(jīng)典的PPN制導(dǎo)律和文獻[10]中基于有限時間穩(wěn)定理論與擴張狀態(tài)觀測器設(shè)計的微分幾何制導(dǎo)律，簡記為DGGL-FE。PPN的表達式為

am=N1ω×vm

(42)

式中：N1為有效導(dǎo)航比。DGGL-FE的表達式為

(43)

導(dǎo)彈和目標(biāo)在慣性坐標(biāo)系oIxIyIzI下的初始狀態(tài)如表1所示。

表1 導(dǎo)彈和目標(biāo)初始狀態(tài)Table 1 Initial states of missile and target

(44)

基于上述攔截條件，仿真結(jié)果如圖2-6和表3

表2 制導(dǎo)律參數(shù)Table 2 Parameter settings for guidance laws

所示。由圖3可知，制導(dǎo)系統(tǒng)的狀態(tài)變量快速地收斂至零附近，vθ較好地跟蹤了設(shè)計的期望值vθc，表明了自適應(yīng)算法抑制目標(biāo)機動干擾的有效性。由于PPN未對目標(biāo)機動做專門處理，在圖4中相比于AISMGL與DGGL-FE，其視線轉(zhuǎn)率無法得到有效抑制。DGGL-FE的視線轉(zhuǎn)率在有限時間內(nèi)收斂至零附近；由于η=2，AISMGL的視線轉(zhuǎn)率呈準(zhǔn)線性減小的趨勢，與式(8)相吻合。圖5給出了過載分布曲線，AISMGL的過載分布均勻。由于系統(tǒng)狀態(tài)在攔截初始時刻即位于滑模面上，因此AISMGL的起始段過載較小，而DGGL-FE由于嵌入的觀測器存在估計誤差的初始尖峰現(xiàn)象，致使初始過載較大。在能量消耗方面，AISMGL明顯優(yōu)于PPN，且低于補償目標(biāo)加速度的DGGL-FE，表明控制視線轉(zhuǎn)率提前收斂會消耗更多能量。

圖2 攔截軌跡(情景一)Fig.2 Intercept trajectories (scenario 1)

圖3 系統(tǒng)變量隨時間變化(情景一)Fig.3 System variables versus time (scenario 1)

圖4 視線轉(zhuǎn)率隨時間變化(情景一)Fig.4 LOSR rate versus time (scenario 1)

圖5 制導(dǎo)加速度大小隨時間變化(情景一)Fig.5 Guidance acceleration magnitude versus time (scenario 1)

制導(dǎo)律脫靶量/m總能量消耗/(m·s-1)AISMGL0.085411.16DGGL-FE0.203425.87PPN0.266582.44

情景二：目標(biāo)正弦機動，參數(shù)設(shè)置與情景一相同，仿真結(jié)果如圖7-11和表4所示。由仿真結(jié)果可知，與情景一相同，AISMGL的初始過載小，過載分布均勻。在脫靶量和總能量消耗方面AISMGL依然優(yōu)于PPN，稍遜于DGGL-FE，表明此時控制視線轉(zhuǎn)率盡早收斂可降低制導(dǎo)指令隨著目標(biāo)的正弦機動進行振蕩的幅度，更有利于節(jié)省能量。

圖7 攔截軌跡(情景二)Fig.7 Intercept trajectories (scenario 2)

圖8 系統(tǒng)變量隨時間變化(情景二)Fig.8 System variables versus time (scenario 2)

圖9 視線轉(zhuǎn)率隨時間變化(情景二)Fig.9 LOS rate versus time (scenario 2)

圖11 能量消耗隨時間變化(情景二)Fig.11 Energy consumption versus time (scenario 2)

制導(dǎo)律脫靶量/m總能量消耗/(m·s-1)AISMGL0.534461.91DGGL-FE0.480454.86PPN1.089478.88

與DGGL-FE相比，AISMGL可通過直接調(diào)節(jié)參數(shù)η來定量地控制視線轉(zhuǎn)率的收斂速率，而DGGL-FE由于嵌入的觀測器存在估計誤差無法精確地給出視線轉(zhuǎn)率的收斂時間。圖12給出了不同η條件下攔截常值和正弦機動目標(biāo)時視線轉(zhuǎn)率的變化，η值越大其收斂速率越快。圖13給出了脫靶量和總能量消耗隨η的變化，脫靶量稍有波動，基本處于同一水平，不同機動形式下總能量消耗隨η的變化趨勢不同。

情景三：情景一與情景二均是在確定性的條件下實施的攔截仿真，但在實際的攔截中，制導(dǎo)信息不可避免地含有測量噪聲。因此，為了驗證所設(shè)計制導(dǎo)律的噪聲特性，考慮相對距離、相對距離變化率、視線角和視線角速率的實際測量量中分別含有三倍標(biāo)準(zhǔn)差為10 m、10 m/s、0.01°和0.01/((°)/s)的高斯白噪聲，并在上述仿真條件的基礎(chǔ)上進行了300次的蒙特卡洛仿真，圖14～圖15分別給出了攔截常值和正弦機動目標(biāo)時脫靶量和總能量消耗的統(tǒng)計結(jié)果?？煽闯?，所設(shè)計的AISMGL具有良好的噪聲特性，脫靶量和總能量消耗的波動范圍較小，依然保持了確定性條件下的制導(dǎo)品質(zhì)，易于工程實現(xiàn)。

圖12 不同η下視線轉(zhuǎn)率收斂Fig.12 LOSR convergences under different values of η

圖13 脫靶量和總能量消耗隨η的變化Fig.13 Miss distance and total energy consumption versus η

圖14 常值機動的統(tǒng)計分布Fig.14 Statistical distributions of constant maneuvering

圖15 正弦機動的統(tǒng)計分布Fig.15 Statistical distributions of sinusoidal maneuvering

5 結(jié) 論

本文從抑制彈目視線旋轉(zhuǎn)的基本原則出發(fā)，設(shè)計了視線轉(zhuǎn)率收斂速率可調(diào)的跟蹤剖面，采用自適應(yīng)積分滑?？刂坪椭茖?dǎo)指令轉(zhuǎn)換方法推導(dǎo)了適用于攔截大氣層內(nèi)機動目標(biāo)的自適應(yīng)積分滑模制導(dǎo)律。仿真結(jié)果表明，文中所提出的制導(dǎo)律可精確命中機動目標(biāo)，剖面跟蹤誤差能夠在有限時間內(nèi)快速收斂，并具有良好的噪聲特性，易于工程實現(xiàn)。與已有制導(dǎo)律相比，可通過調(diào)整剖面參數(shù)靈活控制視線轉(zhuǎn)率的收斂速率，過載分布均勻，能量消耗少。后續(xù)研究考慮如何智能地調(diào)整視線轉(zhuǎn)率的收斂速率來進一步降低能量消耗。