李 敏，李惠峰，聶文明

(北京航空航天大學宇航學院，北京 100191)

0 引 言

傳統(tǒng)的火箭上升段制導控制系統(tǒng)設計是將制導和姿態(tài)控制子系統(tǒng)分開設計，通過對各子系統(tǒng)分別設計控制律再進行反復的迭代和整合來滿足系統(tǒng)整體的性能要求[1]。這種分離設計形式已經(jīng)廣泛地應用于火箭上升段制導和控制系統(tǒng)，基本可以滿足制導精度和控制性能要求[2-3]。然而，由于分離設計自身的局限性，針對制導和姿態(tài)控制子系統(tǒng)設計的控制律只能改善各子系統(tǒng)的控制性能，即使反復地協(xié)調設計也無法最大程度優(yōu)化系統(tǒng)整體的控制性能，如制導精度、控制需求等[4-5]。制導控制一體化(Integrated guidance and control，IGC)的概念最早在1983年由Williams等[6]提出，近年來已經(jīng)成為了制導與控制領域的研究熱點之一。不同于傳統(tǒng)的制導回路產(chǎn)生制導指令，姿態(tài)控制回路進行跟蹤并獲得執(zhí)行機構控制量的分離設計方式，IGC設計是將制導和姿態(tài)控制子系統(tǒng)作為一個整體進行設計，根據(jù)飛行器的運動狀態(tài)信息直接產(chǎn)生執(zhí)行機構需用的操縱指令[7]。IGC設計避免了大量的迭代整合，不僅可以減少設計周期和成本，而且具有減少控制量需求、提高控制精度等提升系統(tǒng)整體控制性能的潛力[8]。但是，IGC設計也存在很多難點，如一體化系統(tǒng)建模尚未形成完備的理論體系，系統(tǒng)模型階數(shù)更高、耦合性更強對控制方案設計造成很大困難等。目前，飛行器制導控制一體化設計還沒有形成系統(tǒng)的研究體系?，F(xiàn)有的文獻主要是針對導彈對目標的打擊段嘗試進行研究[9-11]，關于火箭上升段的IGC設計還比較少。

針對火箭上升段制導控制一體化系統(tǒng)，基于最優(yōu)控制理論設計控制器可以最大程度實現(xiàn)對標稱彈道的準確跟蹤，同時盡可能減少控制量需求。目前，最優(yōu)控制方法已經(jīng)廣泛應用于制導控制一體化設計中。Hughes等[12]針對目標攔截IGC問題，采用線性最優(yōu)控制方法進行IGC設計，但該方法難以滿足復雜非線性系統(tǒng)的設計要求。于是非線性最優(yōu)控制理論成為研究的熱點，但其存在難以求解Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程的問題。Vaddi等[13]針對尋的導彈IGC問題，采用狀態(tài)依賴Riccati方程的方法求解HJB方程，但其在線計算量很大。Xin等[14]基于目標攔截IGC問題，采用θ-D的次優(yōu)控制方法求解HJB方程的近似閉環(huán)解，該方法不需要在線求解HJB方程，但其推導過程非常復雜。上述傳統(tǒng)的最優(yōu)控制均需要準確的系統(tǒng)模型，并且沒有考慮系統(tǒng)的不確定性問題，系統(tǒng)魯棒性較差。于是，滾動時域控制(Receding horizon control，RHC)逐漸受到關注。RHC是一種基于最優(yōu)控制的計算機控制算法，它將全局優(yōu)化問題轉化為有限時域優(yōu)化問題，通過在線滾動優(yōu)化完成求解過程。RHC不需要準確的系統(tǒng)模型，且魯棒性較強，已經(jīng)廣泛地應用于工業(yè)控制領域，但在飛行器制導控制領域應用較少[15-16]。彭海軍等[17]將RHC策略應用于航天器在Halo軌道之間轉移的問題中，通過在線求解Riccati微分方程求解制導律，但其沒有考慮控制約束。一般而言，含有多種時域約束條件的滾動時域優(yōu)化問題的動態(tài)特性都是非線性的，很難求得解析解。

基于以上分析，本文針對火箭上升段IGC問題，提出一種基于凸優(yōu)化理論的滾動時域制導控制一體化設計方法。該方法采用RHC策略進行滾動優(yōu)化和反饋校正，可以及時彌補模型誤差或外界干擾等造成的不確定性。同時利用高效的凸優(yōu)化算法可以有效地求解含控制約束的優(yōu)化問題。通過李雅普諾夫穩(wěn)定性理論證明了該方法的穩(wěn)定性。相比傳統(tǒng)分離設計，該IGC設計方式具有提高系統(tǒng)控制精度，減小控制量需求的潛力。

本文結構如下：第一部分建立火箭上升段IGC模型并對其進行反饋線性化獲得面向控制的線性模型。第二部分結合控制約束建立凸優(yōu)化問題。第三部分采用RHC策略和凸優(yōu)化算法在線求解控制律并給出了算法穩(wěn)定性證明。第四部分進行數(shù)值仿真。

1 IGC模型

建立火箭上升段IGC非線性模型，采用反饋線性化的方法對其進行精確線性化和解耦獲得面向控制的線性模型。

1.1 火箭上升段IGC模型

假設滾轉通道姿態(tài)為理想的穩(wěn)定狀態(tài)，僅研究俯仰通道和偏航通道的制導控制一體化設計問題。本文忽略側向運動，建立火箭上升段IGC非線性模型為

(1)

(2)

式中：P為發(fā)動機推力，Isp為發(fā)動機比沖，g0為地球引力加速度。氣動阻力D、升力L和側力N分別為

(3)

1.2 反饋線性化

IGC模型非線性程度較高，傳統(tǒng)平衡點處進行近似線性化方法忽略了系統(tǒng)的高階項，控制過程中可能會出現(xiàn)較大誤差。因此，采用針對非線性系統(tǒng)的精確反饋線性化方法對IGC模型進行線性化和解耦。

選取y=[h,V]T為系統(tǒng)輸出量，系統(tǒng)狀態(tài)量為x=[h,V,θ,α,β,r,q]T，控制輸入為u=[Mcy,Mcz]T，將式(1)寫為如下仿射形式

(4)

對系統(tǒng)輸出y=H(x)=[H1,H2]T進行依次微分運算。通過對高度h進行4次求導，對速度V進行3次求導，控制量u可以顯式地出現(xiàn)在如下微分表達式中

H*=b(x)+a(x)u

(5)

(6)

系統(tǒng)相對階r=4+3=7與系統(tǒng)階數(shù)相等，系統(tǒng)可以進行解耦和精確線性化。

u=a(x)-1(v-b(x))

(7)

引入新的狀態(tài)變量

(8)

其具體形式為

(9)

經(jīng)過狀態(tài)轉換，原來的非線性系統(tǒng)模型轉化為如下面向控制的線性模型

(10)

2 凸優(yōu)化問題建模

將火箭上升段制導控制一體化(IGC)問題建模為最優(yōu)控制問題。由于控制約束的存在，系統(tǒng)整體呈現(xiàn)非線性動態(tài)，很難求得解析解。凸優(yōu)化算法作為一種高效的數(shù)值解法，可以方便地求解非線性優(yōu)化問題，且解的收斂性有保證[18]。因此將該最優(yōu)控制問題進行凸化處理和離散化進而轉化為標準凸優(yōu)化問題。

2.1 凸優(yōu)化問題描述

式(10)所示的線性模型中，z(t)為系統(tǒng)狀態(tài)量，v(t)為控制輸入。給定參考軌跡xref(t)，通過式(8)進行狀態(tài)轉換，得到線性系統(tǒng)參考狀態(tài)量zref(t)。依照最小化狀態(tài)跟蹤誤差和控制輸入的原則，設計系統(tǒng)代價函數(shù)為

zref(t))+vT(t)Rv(t))dt

(11)

式中：Q和R為加權矩陣，并且滿足Q≥0,R>0。t0=0為火箭上升段飛行初始時間，tf為終端時間?；鸺w行的初始條件為x(t0)=xref(t0)=x0，通過式(8)進行狀態(tài)轉換得到線性系統(tǒng)的初始條件為

z(t0)=z0

(12)

原非線性系統(tǒng)控制量為u=[u1,u2]T，給定控制約束的幅值為umax=[u1max,u2max]T，則原系統(tǒng)控制約束為

(13)

將式(7)所示的反饋控制律代入式(13)，得到線性系統(tǒng)的偽控制量不等式約束為

(14)

式中：φ(umax,x)=[φ1,φ2]T和ψ(umax,x)=[ψ1,ψ2]T為

(15)

控制約束φ(umax,x)和ψ(umax,x)是關于狀態(tài)量x的函數(shù)，是非凸的。由于初始狀態(tài)x(t0)=x0是確定的值，初始時刻求得的控制約束φ(umax,x0)和ψ(umax,x0)是常數(shù)矩陣，將其作為整個優(yōu)化過程的控制約束可以實現(xiàn)約束的凸化。式(11)的代價函數(shù)和式(12)的初始條件是凸的，滿足凸優(yōu)化問題求解要求。

2.2 離散化

對連續(xù)系統(tǒng)進行等時間間隔離散化，選取采樣時間為T，則時間區(qū)間[t0,tf]被分成如下時間序列

(16)

式(10)的線性系統(tǒng)被離散為如下形式

z[(k+1)T]=Gdz(kT)+Hdv(kT)

(17)

式中：

(18)

式(11)代價函數(shù)，式(12)的初始狀態(tài)條件及式(14)的控制約束做相應的離散變換。則離散化后的凸優(yōu)化控制問題可以描述為

vT(k)Rv(k)]

s.t.z(k+1)=Gdz(k)+Hdv(k)z(k=0)=z(0)-?1(umax,x0)≤v1(k)≤ψ1(umax,x0)-?2(umax,x0)≤v2(k)≤ψ2(umax,x0)

(19)

3 滾動時域控制算法

通過滾動時域控制(RHC)算法設計，將式(19)給出的全局凸優(yōu)化問題轉化為有限時域凸優(yōu)化問題，采用凸優(yōu)化算法進行求解，結合反饋控制律形成了閉環(huán)控制。在優(yōu)化問題中引入終端懲罰項和終端域來保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并給出了證明和分析。

3.1 滾動時域控制算法設計

滾動時域控制(RHC)的基本思想是預測模型、滾動優(yōu)化和反饋校正。在當前時刻，RHC方法以當前實際狀態(tài)作為初始條件進行反饋校正并求解有限時域優(yōu)化問題，然后將解的第一個量用于實際控制中。隨著時間的推移進行滾動優(yōu)化直至完成整個過程。

在當前時刻k，選取預測時域為p，則在有限時域[k,k+p]內，預測模型為

z(k+i+1|k)=Gdz(k+i|k)+Hdv(k+i|k)

(i=0,1,…,p-1)

(20)

式中：z(k+i+1|k)為在k時刻對k+i+1時刻的狀態(tài)預測量，v(k+i|k)為在k時刻對k+i時刻的控制輸入預測量。當前的實際狀態(tài)量x(k)作為有限時域優(yōu)化問題的初始條件，通過式(8)進行變量轉換得到線性模型的初始條件為

z(k|k)=z(k)

(21)

由于k時刻的狀態(tài)x(k)是確定的值，將其代入式(14)求得的控制約束φ(umax,x(k))和ψ(umax,x(k))是常值矩陣，將其作為[k,k+p]時域內的控制約束，則在有限時域內，可以保證控制約束是凸的。

有限時域最優(yōu)控制問題的穩(wěn)定性一般難以保證，根據(jù)準無限時域預測控制的思想[19]，在優(yōu)化問題中引入合適的終端域和終端懲罰項可以保證該有限時域優(yōu)化問題的穩(wěn)定性。穩(wěn)定性證明將在后續(xù)部分給出。在代價函數(shù)中增加終端懲罰項，則有限時域[k,k+p]內的代價函數(shù)變?yōu)?/p>

E(z(k+p|k)),i=0,1,…,p-1

(22)

式中：

(23)

Qf為終端懲罰項加權矩陣且Qf>0。在優(yōu)化問題增加終端狀態(tài)約束

(z(k+p|k)-zref(k+p))∈Ω

(24)

式中：Ω為終端域，它迫使系統(tǒng)在有限時域的末端回到平衡點的某一領域內。

于是得到第k時刻的滾動時域控制凸優(yōu)化問題表達式為

E(z(k+p|k))

(i=0,1,…,p-1)

(25)

采用凸優(yōu)化算法求解式(25)的有限時域凸優(yōu)化問題，得到如下k時刻的預測狀態(tài)序列z(k)為

z(k)=[z(k+1|k),z(k+2|k),…,z(k+p|k)]T

(26)

和預測控制序列v(k)為

v(k)=[v(k|k),v(k+1|k),…,v(k+p-1|k)]T

(27)

將式(27)代入式(7)，可得反饋控制律為

u(k)=[u(k|k),u(k+2|k),…,u(k+p-1|k)]T

(28)

下面給出火箭上升段IGC控制問題的滾動時域控制算法步驟。

1)初始化。給定采樣周期T和預測時域p，選擇合適的加權矩陣Q,R，離線計算終端懲罰項加權矩陣Qf和終端域Ω。令初始時刻k=0。

2)優(yōu)化。獲取系統(tǒng)k時刻的實際狀態(tài)x(k)，通過式(8)的狀態(tài)轉換，得到初始條件z(k)。在時域[k,k+p]內求解式(25)所示的優(yōu)化問題，得到式(28)的反饋控制律u(k)。

3)迭代。將解序列u(k)的第一個解用于實際的控制中。令k=k+1。如果k+p

3.2 穩(wěn)定性分析

假設2.U是緊的和凸的，X是連通的，并且平衡點(0,0)包含在集合X×U內部。

引理1[20]. 當假設1和2成立，若非線性系統(tǒng)關于控制u是仿射的，并且在域X中可以精確反饋線性化，并可以求得一個反饋控制器v=Kz使得GK:G+HK漸近穩(wěn)定，則得到非線性控制器

κ(x):u=a-1(x)(Kφ(x)-b(x))

(29)

對于由κ(x)控制的非線性系統(tǒng)有

1)系統(tǒng)軌跡滿足

(30)

式中：F(x,u)=xTQx+uTRu,E(x)=xTQfx，對應到z-v坐標中為F(z,v)=zTQv+vTRv,E(z)=zTQfz，其中Qf滿足

(31)

2)對于任意Qf>0，可以找到常數(shù)σ∈(0,∞)，使得

Ω:={x∈Rn|φT(x)Qfφ(x)≤σ}

(32)

是系統(tǒng)的一個不變域，且Ω和函數(shù)E可以作為準無限時域預測控制優(yōu)化問題的終端域和終端懲罰函數(shù)。

引理2[20]. 在k=0時刻開環(huán)優(yōu)化問題(25)有可行解，在不考慮外部擾動和模型誤差的情況下，問題在任意k>0時刻也有可行解。

定理1. 若假設1和假設2成立，式(1)的非線性系統(tǒng)可以精確反饋線性化，并且在k=0時刻開環(huán)優(yōu)化問題(25)有可行解，則該滾動時域控制設計可以保證閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

證. 非線性系統(tǒng)(1)可以進行精確的反饋線性化，根據(jù)引理1，可以計算出終端懲罰矩陣Qf和終端域Ω。根據(jù)引理2，可以保證在每一時刻k>0，式(25)中優(yōu)化問題都有可行解。

將代價函數(shù)作為李雅普諾夫函數(shù)，在k時刻，代價函數(shù)的優(yōu)化值為

E(z*(k+p|k))

(33)

在k+1時刻，優(yōu)化問題由可行解計算的代價函數(shù)值為

E(z(k+1+p|k+1))=

F(z(k+p|k+1),v(k+p|k+1))+

E(z(k+1+p|k+1))=

E(z*(k+p|k))-(z*(k|k),v*(k|k))+

F(z(k+p|k+1),v(k+p|k+1))+

E(z(k+1+p|k+1))-E(z*(k+p|k))

(34)

由式(33)，式(34)變?yōu)?/p>

p|k+1),v(k+p|k+1))+E(z(k+1+

p|k+1))-E(z*(k+p|k))

(35)

又因為z*(k+p|k)=z(k+p|k+1)且z*(k+p|k)∈Ω，根據(jù)引理1，可以推出

(36)

結合式(35)和式(36)可知

F(z(k+p|k+1),v(k+p|k+1))+E(z(k+

1+p|k+1))-E(z*(k+p|k))≤0

(37)

則式(35)變?yōu)?/p>

(38)

且優(yōu)化解不會差于可行解，式(38)變?yōu)?/p>

(39)

(40)

根據(jù)文獻[21]中引理4.3，推出

(41)

4 仿真校驗

為校驗所提滾動時域制導控制一體化控制方法的有效性和魯棒性，以某二級火箭上升段為研究對象進行仿真。上升段全程飛行時間為122 s，在飛行67 s后進行一二級分離?；鸺w行終端高度為89 km，終端速度為4538 m/s。一級控制力矩約束為|Mc1|≤1068000 N·m，二級控制力矩約束為|Mc2|≤3890000 N·m。仿真過程中采樣周期為T=1 s，預測時域p=20。式(22)所示代價函數(shù)為狀態(tài)誤差與控制需求最小。由式(9)可知，狀態(tài)量為高度和速度的各階導數(shù)，其數(shù)量級呈遞減趨勢。綜合考慮性能指標與各狀態(tài)量需求，并考慮適當偏重高度和速度狀態(tài)的權重，盡可能減小軌跡跟蹤誤差，選取適當?shù)目刂凭仃?。一級飛行階段控制器加權矩陣為

(42)

二級控制器加權矩陣為

(43)

終端懲罰加權矩陣Qf和終端域Ω為

(44)

仿真過程中控制器參數(shù)設置保持不變。各級發(fā)動機均采取耗盡關機方式。首先在標稱大氣的情況下，采用滾動時域IGC設計方法進行仿真，并與傳統(tǒng)分離設計的思路進行分析對比，進一步校驗該方法的有效性。另外，在有氣動干擾的情況下進行仿真，校驗了該方法的魯棒性。仿真在Matlab環(huán)境中進行，其中凸優(yōu)化問題的求解使用凸優(yōu)化工具箱CVX。

4.1 有效性仿真

在標準大氣的情況下，設計滾動時域IGC控制器并進行數(shù)值仿真。此外，基于傳統(tǒng)分離設計思想，姿態(tài)控制回路同樣采用滾動時域控制方法設計控制律，制導回路采用PID方法設計制導律并進行數(shù)值仿真。通過IGC和傳統(tǒng)分離設計兩種思路的對比仿真，進一步校驗了滾動時域制導控制一體化設計方法的有效性。仿真結果如圖1～6所示。圖中線型標注中，標稱表示給定的標稱彈道，IGC表示制導控制一體化設計，G & C表示傳統(tǒng)分離設計思路。

火箭飛行高度和速度的跟蹤曲線如圖1所示，跟蹤誤差曲線如圖2所示，彈道傾角和質量曲線如圖3所示。由圖1～3可知，基于本文滾動時域IGC的控制方法可以實現(xiàn)對標稱彈道的軌跡跟蹤，且高度跟蹤誤差不超過10 m，速度跟蹤誤差不超過

圖1 高度和速度變化曲線Fig.1 Curves of altitude and velocity

6 m/s。而傳統(tǒng)分離設計方式的軌跡跟蹤誤差較大，尤其在火箭一二級分離、質量突變后，質心運動受到較大影響，軌跡跟蹤誤差越來越大，高度跟蹤誤差最大達到104 m，速度跟蹤誤差最大為22 m/s。圖4和圖5分別為火箭上升段姿態(tài)角和角速率變化曲線，由圖4～5可知，IGC設計和傳統(tǒng)分離設計兩種方式都能保證火箭上升段飛行過程中的姿態(tài)穩(wěn)定，總體來說，基于IGC設計的姿態(tài)角變化更加平緩。

圖2 高度和速度跟蹤誤差變化曲線Fig.2 Curves of altitude and velocity tracking errors

圖3 彈道傾角和質量變化曲線Fig.3 Curves of flight path angle and mass

圖6是控制力矩曲線，兩種設計方式都能滿足系統(tǒng)控制約束。但是，從圖6也可以清晰地看出，基于IGC設計的俯仰力矩比傳統(tǒng)方式更小。偏航力矩存在較小的波動，IGC設計的偏航力矩的峰值比傳統(tǒng)方式減少約46%，整體來說，IGC設計的偏航力矩需求更小。由以上分析可知，在滿足姿態(tài)穩(wěn)定的情況下，IGC相比傳統(tǒng)分離設計方式，可以提高制導精度，減少控制量需求。

圖4 攻角和側滑角變化曲線Fig.4 Curves of angle of attack and sideslip angle

圖5 偏航和俯仰角速率變化曲線Fig.5 Curves of yaw and pitch angle rates

圖6 偏航和俯仰控制力矩變化曲線Fig.6 Curves of yaw and pitch control moments

4.2 魯棒性仿真

為校驗所提滾動時域IGC控制方案的魯棒性，考慮在有氣動干擾的情況下進行仿真分析。引入±20%的氣動力干擾和±40%的氣動力矩干擾，分別在氣動系數(shù)正、負拉偏兩種情況下進行數(shù)值仿真。

仿真結果如圖7～11所示。從圖7～10可以看出，在有氣動干擾的情況下，該方法也能以較小的跟蹤誤差實現(xiàn)對標稱軌跡的跟蹤且能保證姿態(tài)角穩(wěn)定，高度跟蹤誤差不超過50 m，速度跟蹤誤差不超過15 m/s。

圖7 氣動干擾下高度和速度變化曲線Fig.7 Curves of altitude and velocity with aerodynamic disturbance

圖8 氣動干擾下高度和速度跟蹤誤差變化曲線Fig.8 Curves of altitude and velocity tracking errors with aerodynamic disturbance

圖9 氣動干擾下攻角和側滑角變化曲線Fig.9 Curves of angle of attack and sideslip angle with aerodynamic disturbance

圖10 氣動干擾下偏航和俯仰角速率變化曲線Fig.10 Curves of yaw and pitch angle rates with aerodynamic disturbance

圖11 氣動干擾下偏航和俯仰控制力矩變化曲線Fig.11 Curves of yaw and pitch control moments with aerodynamic disturbance

圖11為控制力矩曲線，在有氣動干擾的情況下，控制力矩相對無干擾情況下的控制量有小幅波動，但飛行全程仍然嚴格滿足控制約束，沒有出現(xiàn)飽和。由以上分析可知，本文的滾動時域IGC控制方案不僅能較好地處理控制約束，而且有較好的魯棒性。

5 結 論

針對傳統(tǒng)火箭上升段制導與控制系統(tǒng)分離設計方式存在的問題，提出一種基于凸優(yōu)化理論的滾動時域制導控制一體化設計方法，并基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論證明了系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。該方法采用RHC策略進行滾動優(yōu)化，基于當前狀態(tài)信息進行反饋校正，能及時彌補模型誤差或外界干擾等造成的不確定性。同時基于凸優(yōu)化理論對優(yōu)化問題進行凸化和離散化，并采用凸優(yōu)化算法進行數(shù)值求解，有效解決了含控制約束的優(yōu)化問題的求解。數(shù)值仿真表明,該IGC方法具有較好的動態(tài)性能，且具有一定的魯棒性。與傳統(tǒng)分離設計方式相比，火箭上升段IGC設計可以減少設計周期和成本，并且可以提高系統(tǒng)的整體性能。